概率统计在数学建模中的应用课件

人口发展方程
一阶偏微分方程
2019/11/27
太原理工大学
14
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
e t
1
（7）
Dt的大小表示人口Zt在平均值 Et附近的波动
范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净
增长率r 的增加而变大，而且即使当r 不变时， 它也随着 和 的上升而增长，这就是说，当出生和死 亡频繁出现时，人口的波动范围变大。
E E(t)+(t)
进一步假设
4)bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
模型建立
由假设1~ 3，可知Z t t n可分解为三个互不相
容的事件之和：
Z t n 1且t 内出生一人； Z t n 1且t 内死亡一人； Zt n且t 内无人出生或死亡。
n0
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
2019/11/27
太原理工大学
25
实例1.3 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
6
1.2 常见概率分布及其数字特征
二项分布 泊松分布 指数分布 负二项分布 均匀分布 正态分布
7
1.3 林德贝格-勒维中心极限定理
8
实例1.1 报童的诀窍
9
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
区间估计：以一定的置信水平保证参数落入某 随机区间的一种估计，此法考虑到统计量的随 机性。因而较为常用。区间估计的方法有：枢 轴量法，大样本法，假设检验法，自助法（ bootstrap法）
2019/11/27
太原理工大学
36
假设检验：用统计方法检验某种想法或问题是 否正确的一种统计手段。 原假设与备择假设：地位是不对等的 检验：在样本空间里考虑，如何切割样本空间 ，一部分支持原假设，一部分支持备择假设（ 接受域，拒绝域） 两类错误 显著性水平 检验统计量（在原假设成立的 小概率事件原理
n 1
k 1
代入（4）并利用（3），则有
dE dt

(


) npn t n 1


Et
（5）
由（2）得 Et 的初始条件 E0 n0，求解微分方程（5）
在初始条件下的解为
Et n0ert , r
（6）
可以看出这个结果与指数模型 xt x0ert 形式上完全
的概率 p ，则 s mp 。
由于任何一只钩子被一名指定工人挂上产品的概
率
1 m
，挂不上产品的概率1

1 m
，即任一只钩子为空钩
的概率是
1

1 m
n
，非空钩的概率
p

1
1
1 m
n
。这样
传送带效率指标为
D m [1 (1 1 )n ]
n
m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
确定性连续模型，主要使用微积分、微 分方程及其稳定性、变分法等方法建立 模型；
3
随机性模型，是指研究的对象包含有随 机因素的规律，以概率统计为基本数学 工具，其结果通常也是在概率意义下表 现出来。随机因素的影响可以用概率、 平均值（即数学期望）等的作用来体现 。
4
1.1 概率论基础知识
5
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
n

G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n1
求 n 使 G(n) 最大
dpn dt
bn1 pn1 t d n1 pn1 t bn
dn pn t
又由假设 4，方程为
dpn dt
n 1pn1t n 1pn1t
npn t
（1）
若初始时刻(t 0)人口为确定数量 n0 ，则 pn t 的初始
概率统计在数学建模 中的应用
1
1 概率模型
自然界中的现象总的来说可以概括为两 大现象： 确定性现象和随机现象。 在确定性现象中可以忽略随机因素的影 响，在随机现象中必须考虑随机因素的 影响。
2
确定性离散模型，主要使用差分方程方 法、层次分析方法以及比较简单的图的 方法和逻辑方法等方法建立模型；
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
(a b) n , (b c) n
实例1.2 随机人口模型
指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
x(t) x0ert
阻滞增长模型（Logistic模型）
x(t)
xm
1
xm x0
1ert
D

m [1 (1 n
n m

n(n 1)
2m2 )] 1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比
若n=10, m=40,
提高效率
D87.5%
的途径：增加m
2 统计回归模型
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限 制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎 机理规律的数学模型.通过对数据的统计分析，找 出与数据拟合最好的模型.回归模型是用统计分析 方法建立的最常用的一类模型.
太原理工大学
34
统计推断：找到描述总体的真实分布或 对某些问题的解答，包括统计量的分布 ，参数估计（点估计，区间估计），假 设检验，统计决策等。
统计量的分布：相当于随机变量函数的 分布情况，大样本下的中心极限定理。
2019/11/27
太原理工大学
35
参数估计：点估计与区间估计
点估计：用样本值的某个函数值（即统计量的 值）作为参数值的估计。点估计的方法有：矩 估计法，极大似然估计法，最小二乘估计法， 贝叶斯估计法
按全概率公式有
pn t t pn1(t)bn1t pn1 t dn1t pn t1 bnt dnt
即
pn
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

t
t
pn t

bn1
pn1t
d n1
pn1t
bn

dn
pn
(t)
令t 0，得关于 pn t的微分方程
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
问题分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。
• 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数；
2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的；
3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；
2019/11/27
太原理工大学
37
2.2 统计建模过程：
step1:理论建模（问题的形成及建模） 这部分事实上与数据无关，主要是用统计、概 率、数学语言去描述问题，然后形成统计模型 去表达该问题（主要考虑到随机性）。
注：一定要弄清楚问题的背景，避免遗漏重要因 素或包含不重要因子； 理解解决问题的目标； 确信客户要达到的目标； 用统计语言描述问题。
条件为
pn
0

1, n 0, n

n0 n0
（2）
（1）在（2） 条件下的求解非常复杂，且没有简
单的结果，不过人们感兴趣的是 EZ t和DZ t 。（以 下简记成 E(t)和 D(t) ）
按定义
Et


npn
t

n1
对（3）求导并将（1）代入得
（3）
dE
2019/11/27
太原理工大学
32
2.1 统计基本概念
总体：研究对象的全体集合，在统计中往 往是用随机变量来刻画。
样本：相当于做试验，获得证据。数据 （或样本）的获取：抽样调查，试验设计， 记录观测数据
从数据中提取信息：统计量
常用统计量：中心位置（均值，众数，中 位数，分位数等）
研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
从钩子角度考虑，一周期内的 m 只钩子每只非空
dt


n1
nn
1pn1t


nn 1pn1t n2 pn t
n 1
n1
（4）
注意到


nn 1pn1t kk 1pk t
n 1
k 1


nn 1 pn1 t kk 1pk t
n

(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
dG 0 dn
n
0

n
p(r)dr p(r)dr

a b bc
结果解释
n
0

n
p(r)dr p(r)dr

ab bc
取n使
n
0
p(r)dr

P1 ,

n
p(r)dr

P2
p
P ab 1
P bc 2
一致。随机性模型（6）中出生率 与死亡率 之差 r 即
净增长率，人口期望值呈指数增长，Et 是在人口数
量很多的情况下确定性模型的特例。
对于方差Dt ，按照定义
Dt


n2
pn t
E 2 t
n1
用类似求Et 的方法可以推出
Dt
n0
e()t
求解 将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
G(n)

n
0
[(
a

b)r

(b

c)(n

r
)]
p(r
)dr


n
(a

b)np(r
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0

(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
2019/11/27
太原理工大学
33
离散程度（方差，标准差，极差，四分 位极差，变异系数）
分布形状（偏度系数，峰度系数）
充分统计量：不损失有效信息的统计（ 考虑方差达到最小的完备充分统计量）
衡量统计量的标准：无偏性，渐近无偏 性，相合性，均方误差（包含了方差及 偏差）
2019/11/27
2019/11/27
太原理工大学
38
step2:收集数据（抽样调查，试验设计，观测 数据）
注： 数据是观测到的，还是实验得到的？ 如何收集有代表性的数据？ 分类数据还是连续数据 数据是如何编码的？ 数据测量的单位（量纲） 注意有没有异常数据