定积分及其应用举例

1 2 ) f ′ ( t ) = t 2 − 2at + a 2 .令f ′ ( t ) = 0，得t = (2 − 2)a或t = (2 + 2)a. ( 2 因为0 < t ≤ 1，a > 1，所以取t = (2 − 2)a. 2+ 2 若(2 − 2)a ≥ 1，即a ≥ 时，则f ′ ( t ) ≥ 0， 2 1 所以f ( t ) 在区间 ( 0,1] 上单调递增，则S max = f (1) = a 2 − a + ； 6 2+ 2 ， 2 当0 < t < (2 − 2)a时,则f ′ ( t ) > 0;当(2 − 2)a < t ≤ 1时,f ′ ( t ) < 0. 若(2 − 2)a < 1，即1 < a < 所以f ( t ) 在区间(0， − 2)a ]上单调递增，在区间[(2 − 2)a,1] (2 上单调递减．
定积分的几何应用
例3：求直线y = 2x + 3与抛物线y = x 2所围成图形的面积．
y = 2x + 3 解析：联立方程组 ，得x1 = −1，x2 = 3.在区间 2 y = x [ −1,3] 上，直线在抛物线的上方，故围成图形的面积为 32 S = ∫ ( 2x + 3 − x ) dx = ( x + 3x − x ) | = . −1 3
n 2 n 0 0
C． 4
D． 5
即n3 + 2n = 8 + 4n 2 ⇒ ( n − 4 ) ( n 2 + 2 ) = 0 ⇒ n = 4. 答案：C
解析：依题意得 ∫ ( 3t + 2 ) dt = ∫ 8 + 8tdt，
反思小结：位移(关于时间的函数)的导数的物理意义就是 速度；反之，速度(关于时间的函数)的积分的物理意义就 是位移．本题就是利用该物理意义解题．
(1) 写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关 系式S = f ( t )；2 ) 求函数S = f ( t ) 在区间 ( 0,1] 上的最大值． (
y = x2 ，得O ( 0, 0 )，A(a，a 2 )． 解析： )由 1 ( y = − x 2 + 2ax − 又由已知得B(t， t 2 + 2at )，D(t，t 2 )．所以 t 1 2 1 2 S = ∫ ( − x + 2ax ) dx − it + ( −t 2 + 2at − t 2 ) ( a − t ) 0 2 2 1 3 1 2 t 3 = (− x + ax ) |0 −t + ( −t 2 + at ) ( a − t ) 3 2 1 3 1 3 2 3 = (− t + at ) − t + t − 2at 2 + a 2t 3 2 1 3 = t − at 2 + a 2t， 6 1 3 所以S = f ( t ) = t − at 2 + a 2t (0 < t ≤ 1)． 6
定积分的物理应用
例2： (2010i揭阳一模)一物体A以速度v = 3t 2 + 2(t的单位:s,v的 单位:m / s)在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的 同时，物体B在物体A的正前方8 m处以v = 8t (t的单位:s,v的 单位:m / s)的速度与A同向运动,设ns后两物体相遇,则n的值 为( ) 4 + 10 A. 3 B．+ 10 2
1
0
4 − x dx =
2
3 1 + π . 2 3
x 2 ( 0 ≤ x < 1) 的图象与x轴所围成的封闭 ( 2 )函数f ( x ) = 2 − x(1 ≤ x ≤ 2 ) 5 图形的面积等于 图形的面积等于 ． 6
解析： ) 根据积分的几何意义，由下图 (1 可得∫
2 1 0
解析： 因为 2π
1
ω
2
= 4，所以ω =
π
2
，则y = sinx.
从而阴影部分 的面积S = ∫ sinx
0
π
2
dx 4
π = 1. = − cos x | = .故所求概率为 2 4 π π π
2
2 0
π
4
用微积分基本定理求定积分
例1： ) ∫ (1
2
1
1 dx; x
( 2 ) ∫0 ( x
所以S max = f [(2 − 2)a ] 1 = [(2 − 2) a 3 −a (2 − 2 )a ]2 + a 2 (2 − 2)a 6 2 2 −2 3 = a. 3
反思小结：定积分的几何意义是定积分的直接应用． 对于两条曲线所围成的平面图形先要找出交点的横 坐标，再看哪一条曲线在给定区间上的上方，求上 方曲线与下方曲线差的定积分．如果函数中含有参 数，要对参数进行分类讨论． 数，要对参数进行分类讨论．
( 2 ) ① ∫02 ( 3x + sin x ) dx
π 3 2 3 2 2 = ( x − cos x) |0 = π + 1. 2 8
π
② ∫ ( 4 − 2 x ) ( 4 − 3 x 2 ) dx
2 0
= ∫ ( 6 x 3 − 12 x 2 − 8 x + 16 ) dx
2 0 2 = ( x 4 − 4 x 3 − 4 x 2 + 16 x) |0 = 8.
3 1 4 − x dx = + π. 2 3
2 1 2 2
( 2 ) ∫0 f ( x ) dx = ∫0 x dx + ∫1 ( 2 − x ) dx
1 31 5 2 2 = x |0 +(2x − x ) |1 = . 3 6
定积分的综合应用
例4：已知曲线C1：y = x 2与曲线C2：y = − x 2 + 2ax ( a > 1) 交于点O、A，直线x = t (0 < t ≤ 1)与曲线C1、C2分别相交 于D、B，连接OD、DA、AB.
① ∫ 2 ( 3x + sinx ) dx；
0
π
Leabharlann Baidu
② ∫ ( 4 − 2x ) ( 4 − 3x 2 ) dx.
2 0
解析： ) ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx + ∫ e x dx (1
1 0 2 1 −1 −1 0
1 3 0 1 2 x 1 = x |−1 + e |0 = + e − 1 = e − . 3 3 3
( 3) 是否存在实数a,使φ ( x )的极大值为3？若存在,求出
a的值；若不存在，请说明理由．
当φ ′ ( x ) < 0时，x > 1或x < 0.所以φ ( x )的
则φ ′ ( x ) = e − x ( − x 2 + x )．当φ ′ ( x ) > 0时，< x < 1； 0 单调递增区间为 ( 0,1)，单调递减区间为(−∞，，， ∞)． ，单调递减区间为 0) (1 + 2 ) 切线的斜率为k = g ′ ( 0 ) = −e − x |x =0 = −1， ( 所以切线方程为y = − x + 1. 所求封闭图形的面积为S = ∫ e − x − ( − x + 1) dx 0 1 1 1 −x −x 2 1 = ∫ ( e + x − 1) dx = (−e + x − x) |0 = − . 0 2 e
1
解析： ) 当a = 1时，φ ( x ) = ( x 2 + x + 1) e − x， (1
( 3) φ ( x ) = ( 2x + a ) e− x − e− x ( x 2 + ax + a ) = e − x − x 2 + ( 2 − a ) x ．令φ ( x ) = 0，得x = 0或x = 2 − a. 当x变化时，φ ′ ( x ) 、φ ( x )的变化情况如下表： 由表可知，φ ( x )极大值 = φ ( 2 − a ) = ( 4 − a ) e a −2 . 设µ ( a ) = ( 4 − a ) e a −2，则µ ′ ( a ) = ( 3 − a ) e a −2 > 0 ( a < 2 )， 所以µ ( a ) 在(−∞， 上是增函数，所以µ ( a ) ≤ µ ( 2 ) = 2 < 3， 2] 即 ( 4 − a ) e a −2 ≠ 3. 所以不存在实数a，使φ ( x )的极大值为3.
1
3
− x ) dx；
2
( 3) ∫
x 2 0
x x 2 (cos − sin ) dx. 2 2
21 1 2 解析： )因为 ( lnx ) ′ = ，所以∫ dx = lnx |1 = ln2 − ln1 = ln2. (1 1 x x 1 4 1 3 ( 2 )因为( x − x )′ = x3 − x 2， 4 3 1 1 1 1 所以∫ ( x 3 − x 2 ) dx = ( x 4 − x 3 ) |1 = − . 0 0 4 3 12 x x 3)因为(cos − sin ) 2 = 1 − sinx，且 ( x + cosx ) ′ = 1 − sinx， ( 2 2 x x π x x 2 π 2 2 2 2 所以∫ (cos − sin ) dx = ∫ (1 − sinx ) dx = ( x + cosx ) |0 = − 1. 0 0 2 2 2
1.(2010i深圳一模)曲线y = sinx，y = cosx与直线x = 0，x = 所围成的平面区域的面积为( D A．2 ( sinx − cosx ) dx ∫
0
π
2
)
π
B．∫ 4 ( sinx − cosx ) dx 2
0
π
C．2 ( cosx − sinx ) dx ∫
0
π
D．∫ 4 ( cosx − sinx ) dx 2
拓展练习4：已知f ( x ) = x 2 + ax + a (a ≤ 2，x ∈ R )，
(1) 当a = 1时，求φ ( x )的单调区间； 处的切线与直线 ( 2 ) 求g ( x ) 在点 ( 0,1) 处的切线与直线x = 1及曲线g ( x ) 所
围成的封闭图形的面积；
g ( x ) = e − x，φ ( x ) = f ( x )i g ( x )．
3 2 2 3 3 −1
反思小结：求平面曲边梯形的面积可以看成是两个函数 的图象与x轴围成图形的面积的差．本题是直线与x轴在
[ −1,3]内围成的梯形面积减去抛物线与x轴在 [ −1,3]内围
成的曲边梯形面积．计算两曲线围成的面积需要先求出 曲线的交点的横坐标，确定积分的上、下限．
拓展练习3： ) ∫ (1
x (-∞，0) ↘ 0 0 极小值 (0,2-a) + ↗ 2-a 0 极大值 (2-a，+∞) ↘
反思小结：因为定积分的被积函数是原函数的导数， 所以熟练掌握基本初等函数的导数公式，准确观察 被积函数，逆运用导数公式是迅速、准确求定积分 的前提．要牢记微积分基本定理．
拓展练习1：
1 x 2 (−1 ≤ x ≤ 0 ) ，求 ∫ f ( x ) dx； (1)已知函数f ( x ) = x −1 e ( 0 < x ≤ 1) ( 2 ) 计算下列定积分：
拓展练习2： 010i广州二模)一个人以6 m / s的匀速度去 (2 追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时交通灯由 红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向 相同)，汽车在时刻t的速度为v ( t ) = tm / s，那么此人 ( D ) A．可在7 s内追上汽车 B．可在9 s内追上汽车 C．不能追上汽车，但其间最近距离为14 m D．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m
3.(2010i惠州一模)直线y = x与曲线y = x 2所围成图形 的面积S =
1 6
.
4.若∫
( 2x + 1) dx = 2，则a = −1
a
1
.
5.如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面 画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图案(阴影部分)．某 人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上 每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 π .
0
π
2.等比数列{an }中，a3 = 6，前三项和S3 = ∫ 4xdx，则公比
3
q的值为( A． 1
)
1 C． − 1或 2
3 2 3 0
0
1 B． − 2
1 D． 1或 − − 2
a3 解析： S3 = ∫ 4xdx = 2x | = 18，所以a1 + a2 = 2 (1 + q ) 因为 0 q 1 2 = 12 ⇒ 2q − q − 1 = 0 ⇒ q = 1或q = − ，故选C. 2