第十二章-多元线性回归
第12章-多重线性回归分析
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)
Y
（Y Y） （Y Y）
（Y Y）
Y X
Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)
血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86
12章 多元线性回归
统计学第十二章 多元线性回归一． 选择题1. 在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ） A 总体线性关系的显著性 B.各回归系数的显著性 C.样本线性关系的显著性 D ．H 0：β1=β2=…βk =02.在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数 βi 的取值（ ）A.可能为0B.可能为1C.可能小于0 D 可能大于13.在多元线性回归方程 y i ˆ=βˆ0+x 11ˆβ+x 22ˆβ+…+xkkβˆ中，回归系数βˆi表示（ ） A.自变量x i 变动1个单位时，因变量y 的平均变动额为βˆiB.其他变量不变的条件下，自变量x i 变动1个单位时，因变量y的平均变动额为βˆiC.其他变量不变的条件下，自变量x i 变动1个单位时，因变量y的变动总额为βˆiD.因变量y 变动1个单位时，因变量x i 的变动总额为βˆi4.设自变量的个数为5个，样本容量为20。
在多元回归分析中，估计标准误差的自由度为（ ）A.20B.15C.14D.18 5.在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R a2，这样可以避免的值（）A. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1B. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0C. 由于模型中样本容量的增加而越来越接近0D. 由于模型中样本容量的增加而越来越接近16.在多元线性回归分析中，如果F检验表明线性关系显著，则意味着（）A.在多个变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著B.所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著C.在多个变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著D.所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著7.在多元线性回归分析中，如果t检验表明回归系数βi不显著，则意味着（）A.整个回归方程的线性关系不显著B.整个回归方程的线性关系显著C.自变量x i与因变量之间的线性关系不显著D.自变量x i与因变量之间的线性关系显著8.设多元线性回归方程为Yˆ=βˆ0+x11ˆβ+x22ˆβ+…+xkkβˆ，若自变量x i的回归系数βˆi的取值接近0，这表明（）A.因变量y对自变量ix的影响不显著B.因变量y对自变量ix的影响显著C.自变量ix对因变量y的影响不显著D.自变量x对因变量y的影响显著i9.一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（a=0.05）根据上表计算的判定系数为（）A. 0.9229B. 1.1483C. 0.3852D. 0.851610. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车四级每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（α=0.05）根据上表计算的估计标准误差为（）A. 306.18B. 17.50C. 16.13D. 41.9311. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（α=0.05）根据上表计算的用于检验线性关系的统计量F=（）A. 306.18B. 48.80C. 5.74D. 41.9312.一家产品销售公司在30个地区设有销售分公司。
第十二章 线性回归分析
回归是回归分析中最基本、最简单的一种，
回归方程
一、直线回归方程的一般表达式为
ˆ a bX Y
(12 1)
ˆ Y 为各X处Y的总体均数的估计。
回归方程的应用
一、线性回归的主要用途 1．研究因素间的依存关系 自变量和应变 量之间是否存在线性关系，即研究一个或多个 自变量对应变量的作用，或者应变量依赖自变 量变化而变化的规律。
否存在实际意义。 3．两变量间存在直线关系时，不一定
表明彼此之间就存在因果关系。
4．建立回归方程后，须对回归系数
进行假设检验。
5. 使用回归方程进行估计与预测时，
一般只适用于原来的观测范围，即自变量
的取值范围，不能随意将范围扩大。
6. 在线性回归分析时，要注意远离
群体的极端值对回归效果的影响。
表12-1 12只大白鼠的进食量（g）与体重增加量(g)测量结果
序号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
X 进食量(g)
(2) 305.7 188.6 277.2 364.8 285.3 244.7 255.9 149.8 268.9 247.6 168.8 200.6 2957.9 (Σ X)
目前，“回归”已成为表示变量 之间某种数量依存关系的统计学术语， 并且衍生出“回归方程”“回归系数”
等统计学概念。如研究糖尿病人血糖
与其胰岛素水平的关系，研究儿童年 龄与体重的关系等。
两相关变量的散点图
一、直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。
特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系，
不同于一般数学上的X 和Y的函数 关系。
为了直观地说明两相关变量的线性 依存关系，用表12-1第（2）、（3）
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
12章多重线性回归与相关
一、自变量筛选的标准与原则
2.残差均方缩小与调整决定系数增大 MS残=SS残/（n-p-1） MS残缩小的准则可以看做是在SS残缩小准则的基础上 增加了（n-p-1）-1因子，该因子随模型中自变量个数 p的增加而增加，体现了对模型中自变量个数增加而 施加的“惩罚”。 调整决定系数Ra2越大越好，与MS残等价。
包含汽车流量、气温、气湿与风速这四个自变量的回
归方程可解释交通点空气NO浓度变异性的78.74%
2.复相关系数R (multiple correlation coefficient)
定义为确定系数的算术平方根，
R SS回 SS总
表示变量Y与k个自变量的线性相关的密切程度。 对本例R=0.8837，表示交通点空气NO浓度与汽车流量、
表12-5 空气中NO浓度与各自变量的相关系数与偏相关系数
自变量 车流X1 相关系数 0.80800 偏相关系数 0.6920 偏相关系数P值 0.0005
气温X2
气湿X3 风速X4
0.1724
0.2754 -0.67957
0.47670
-0.00218 -0.59275
0.0289
0.9925 0.0046
第十二章
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相关
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、整体回归效应的假设检验(方差分析)
表12-2 检验回归方程整体意义的方差分析表
变异来源 回归模型
残差 总变异
SS
0.0639 6 0.0172 7 0.0812 3
风速
(X4) 2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
第十二章 回归分析
回归分析
如果我们将存在相关的两个变量，一个作为自变 量，另一个作为因变量，并把两者之间不十分稳 定的、准确的关系，用数学方程式来表达，则可 利用该方程由自变量的值来估计、预测因变量的 估计值，这一过程称为回归分析。 相关表示两个变量之间的双向相互关系，回归表 示一个变量随另一个变量做不同程度变化的单向 关系。
• 线性回归的基本假设
– – – – 线性关系 正态分布 独立性假设 误差等分散性假设
• 回归方程的建立
– 步骤：1）作散点图；2）设直线方程；3）选定具体方 法，计算表达式中的a和b；4）将a和b代入表达式，得 到回归方程。 – 方法：1）平均数法；2）最小二乘法。 • 最小二乘法：在配置回归线时，回归系数b的确定原则是 使散布图上各点距回归线上相应点的纵向距离平方和为最 小，这种求b的方法即最小二乘法。
• 回归分析与相关分析的关系
– 理解： • 同属相关分析； • 对称设计与不对称设计。 – 回归系数与相关系数的关系 • 相关系数是两个回归系数的几何平均数。
第二节 一元线性回归方程的检验
• 估计误差的标准差
某一X值相对应的诸Y 值，是以Y的平均数YX 为中 ˆ 心呈正态分布的。而与某一X值相对应的回归值 Y 就是与该X值相对应的那些诸Y值的平均数YX的估 ˆ 计值。由 Y 估计YX 会有一定的误差。误差大小 与X值相对应的诸Y值分布范围有关，范围大，误 差大，估计的准确性、可靠性小，范围小，误差小， 估计的准确性、可靠性大。 ˆ 我们需要一个用来描述由Y 估计YX 时误差大小的 指标，即估计误差的标准差。平均数与标准差未知， 样本的无偏估计量为：
a YX Y bYX X
• 列回归方程式（见教材）
第十二章回归分析
-141-第十二章 回归分析前面我们讲过曲线拟合问题。
曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。
通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
从计算的角度看，问题似乎已经完全解决了，还有进一步研究的必要吗?从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。
另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。
简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：（i ）建立因变量y 与自变量m x x x ,,,21 之间的回归模型（经验公式）； （ii ）对回归模型的可信度进行检验；（iii ）判断每个自变量),,2,1(m i x i =对y 的影响是否显著；（iv ）诊断回归模型是否适合这组数据；（v ）利用回归模型对y 进行预报或控制。
§1 多元线性回归回归分析中最简单的形式是x y 10ββ+=，y x ,均为标量，10,ββ为回归系数，称一元线性回归。
它的一个自然推广是x 为多元变量，形如m m x x y βββ+++= 110 (1)2≥m ，或者更一般地)()(110x f x f y m m βββ+++= （2）其中),,(1m x x x =，),,1(m j f j =是已知函数。
这里y 对回归系数),,,(10m ββββ =是线性的，称为多元线性回归。
不难看出，对自变量x 作变量代换，就可将（2）化为（1）的形式，所以下面以（1）为多元线性回归的标准型。
1.1 模型在回归分析中自变量),,,(21m x x x x =是影响因变量y 的主要因素，是人们能控制或能观察的，而y 还受到随机因素的干扰，可以合理地假设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作⎩⎨⎧++++=),0(~2110σεεβββN x x y m m （3） 其中σ未知。
第十二章 多元线性回归
第十二章多元线性回归今天要一起走进一个超级有趣的数学世界，去了解一个叫做多元线性回归的奇妙东西。
啥是多元线性回归？简单来说，就是看看好多好多不同的因素，是怎么一起影响一个结果的。
先来讲个小故事。
想象一下，你和小伙伴们一起种小树苗。
小树苗能不能长得又高又壮，可不是只由一个因素决定的。
比如说，浇水的多少、施肥的多少、晒太阳的时间长短，这些都会影响小树苗的生长。
就像你每天给小树苗浇适量的水，它就会像喝足了甜甜的饮料一样，开心地茁壮成长；要是施肥施得刚刚好，小树苗就像吃了营养大餐，会长得更结实；还有，让小树苗每天都能晒到充足的阳光，它就会像在温暖的怀抱里一样，变得越来越强壮。
这时候，浇水、施肥、晒太阳这些因素，就像是好多只小手，一起拉着小树苗往上长。
而小树苗最后长得多高多壮，就是它们共同作用的结果。
这就有点像多元线性回归，多个不同的因素，共同影响着一个最后的结果。
再举个生活里常见的例子。
你想想，考试的成绩好不好，也不是只看一个方面的。
比如说，你平时有没有认真听讲？就像在课堂上，老师在黑板上写着有趣的知识，你瞪大眼睛，竖起小耳朵，全神贯注地听着，这样就能学到好多好多东西。
还有，课后有没有按时完成作业？做完作业后，有没有复习和预习？这些都是影响你考试成绩的因素。
就好像好多小魔法，一起施在你的学习上，最后决定了你考试成绩这个神奇的结果。
多元线性回归，就是帮助我们弄清楚这些因素和结果之间的关系。
就好像是给我们一双超级厉害的眼睛，让我们能清楚地看到，哪些因素对结果的影响大，哪些因素的影响小。
这样，我们就能更好地去做事情。
比如说，种小树苗的时候，我们就知道要怎么合理浇水、施肥、让它晒太阳，让它长得更好；学习的时候，我们也知道要在哪些方面多下功夫，让自己的成绩变得更棒！现在你们对多元线性回归是不是有了一点点了解？其实，生活中还有好多好多这样的例子，只要你用心去发现，就会觉得数学真的很有趣！。
第十二章 回 归 分 析
求截距： ya b a y bx x aYX y bYX x a XY y bXY x
回归系数的几种算法：
1、原始数据计算：
bYX
XY ( X )( Y ) / n (由X估计Y ) 2 2 X ( X ) / n
XY ( X )( Y ) / n b XY (由Y估计X ) 2 2 Y (Y ) / n
b XY
XY n X Y (由Y估计X ) 2 (n - 1)S Y
2
2
X ( X ) / n 其中： S x n 1
4、用两个标准差及相关 系数计算 （ ）、用两个样本的标准 差及相关系数计算 1
y b yx r （由X估计Y） x x b xy r （由Y估计X） y
x
也就是说，回归线上的某一点就是与某一X值相对 ˆ 应的诸Y值的代表 y 这时，X与 y 的对应关系就可 ˆ 以用一条直线来表示 即当两个变量间存在线性相关关系时，常常希望建 立二者间的定量关系表达式，这便是两个变量间的 ˆ y 一元线性回归方程。 假定x是自变量，y是因变量，y对x的一元线性回归 方程的表达式为：ˆ =a+bx （其中a为常数，b称为y y 对x的回归系数。 对给定的n对数据（Xi Yi) ,i=1,2,3,……n，根据这些 ˆ 数据去估计a 和 b，于是y也是一个估计值，就用 y 来 表示区别。 因此字母头上加个“^”表示回归值，表 示真实值的一种预测，实际的观测值与回归值是存 在偏差的
相关关系
(correlation)
1.
2.
3.
4.
变量间关系不能用函数关系 精确表达 一个变量的取值不能由另一 个变量唯一确定，即当一个 或若干个变量X取一定值时， 与之相对应的另一个变量Y的 值虽然不确定，但却按某种 规律在一定范围内变化。 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围
陈庆云《公共政策分析》课后习题详解(公共政策分析的量化方法(二))【圣才出品】
第十二章公共政策分析的量化方法（二）一、概念题1．描述统计答：统计方法一般分为描述统计和推断统计。
描述统计是指用归纳性的数值来概括一组数据的空间分布和相互之间的关系。
当统计数据是用来描述数据总体特征时，或当数据量比较小时，可以采用描述统计方法。
在公共管理领域，描述统计是大量存在的。
2．推断统计答：推断统计是指通过对样本的统计，来推断或估计总体的分布特性。
在公共管理活动中，统计对象往往相当复杂，数据量较大，因此一般是从总体中抽取出有代表性的样本，然后通过样本来推断总体的特征。
在推断统计的基础上，管理者做出解释、预测或估价。
3．抽样分布答：抽样分布是指只要样本容量n小于总体容量N，总体中样本就不止一个。
不同的样本有不同的统计量。
其中任意两个样本的统计量相等的概率几乎为0。
因此这些统计量也有相应的概率分布，比如均值抽样分布、标准差抽样分布等，这种分布称为抽样分布。
4．置信区间答：虽然希望抽样误差越小越好，但误差总是难以避免的，因此某个样本统计量能否用来估计总体参数，取决于公共管理者对抽样误差的精度要求。
公共管理者可以根据样本给出一个随机范围，这个范围以某种可以接受的概率保证对参数估计的正确性，即总体参数以某种概率包含在这个范围内。
这个范围被称为置信区间，可以接受的概率被称为置信度或置信水平，通常记为1－α（α为一个较小数）。
当样本容量足够大时，如果已知总体标准差σ，则总体均值的置信区间为：。
其中，是样本均值，是正态分布函数在上的分位值，是均值标准误。
被称为置信区间下限，被称为置信区间上限。
5．回归分析答：回归分析法是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式。
这是一种从事物因果关系出发进行预测的方法。
在操作中，根据统计资料求得因果关系的相关系数，相关系数越大，因果关系越密切。
通过相关系数就可确定回归方程，预测今后事物发展的趋势。
6．时间序列答：时间序列分析是回归分析的一个重要应用。
贾俊平统计学第十二章 多元线性回归_09
12 - 32
Excel 输出结果的分析
SPSS共线性诊断
• • 自变量间的相关系数矩阵，观察是否存在自变量的相关系数非 常高。一般，相关系数>0.9将会存在共线性问题；相关系数在 0.8以上可能有问题 容忍度（Tolerance）：容忍度即以每个自变量作为应变量对其 他自变量进行回归分析时得到的残差比例，大小用1减决定系 数来表示。该指标越小，说明该自变量被其余自变量预测的越 精确，共线性可能就越严重。陈希孺根据经验得出：如果某个 自变量的容忍度小于0.1，则可能存在共线性问题严重 方差膨胀因子（Variance inflation factor,VIF）：实际上是容忍 度的倒数，VIF越大，说明共线性问题可能越严重 特征根（Eigenvalue）：实际上是对自变量进行主成分分析， 如果相当多维度的特征根约等于0，则可能有较严重的共线性 条件指数（Condition Index）：当某些维度的该指标数值大于 30时，可能存在共线性 12 - 33
12 - 35
多重共线性
(例题分析 例题分析) 例题分析
1. tα/2(25-2)=2.0687，所有统计量 α/2(25-2)=2.0687 ，所有统计量t>t 所以均拒绝原假设， 说明这4个自变量两两之间 ， 所以均拒绝原假设 ， 说明这 个自变量两两之间 都有显著的相关关系 由表Excel输出的结果可知 ， 回归模型的线性关系 输出的结果可知， 由表 输出的结果可知 显著(Significance-F＝ 1.03539E-06<α=0.05)。 而 显著 ＝ α 。 回 归 系 数 检 验 时 却 有 3 个 没 有 通 过 t 检 验 (PValue=0.074935 、 0.862853 、 0.067030>α=0.05) α 。这也暗示了模型中存在多重共线性 固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193) ， 固定资产投资额的回归系数为负号 与预期的不一致
多元线性回归课件
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
第十二章 多元线性回归
第十二章多元线性回归12.1根据下面的数据用Excel进行回归，并对回归结果进行讨论，计算x1=200，x2=7时y的预测值。
解：用Excel进行回归的结果如下：结果讨论如下：（1）从复判定系数看，x1和x2可解释y 变异的21%，这是一个相当低的程度。
（2）从方差分析的结果看，F 统计量不是统计上显著的。
（3）从单个回归系数看，也都是不显著的。
（4）该模型是无效的。
当x 1=200，x 2=7时y 的预测值为25.0287 - 0.04971*200+1.928169*7 = 28.58388312.2 根据下面Excel 输出的回归结果，说明模型中涉及多少个自变量、多少个观察值？写出回归方程，并根据F ，s e ，R 2及调整的2R α的值对模型进行讨论。
SUMMARY OUTPUT回归统计Multiple R 0.842407 R Square 0.709650 Adjusted R Square 0.630463 标准误差 109.429596 观测值 15 方差分析df SS MS F Significance F回归分析 3 321946.8018 107315.6006 8.961759 0.002724 残差 11 131723.1982 11974.84 总计 14 453670Coefficients 标准误差 t Stat P-valueIntercept 657.0534 167.459539 3.923655 0.002378 X Variable 1 5.710311 1.791836 3.186849 0.008655 X Variable 2 -0.416917 0.322193 -1.293998 0.222174 X Variable 3 -3.471481 1.442935 -2.405847 0.034870解：该模型有3个自变量，15个观察值。
估计的回归方程为：123ˆ657.0534 5.7103110.416917 3.471481yx x x =+-- 结果讨论。
第十二章 回归分析预测法
全面分析影响预测对象的相关因素， 全面分析影响预测对象的相关因素，确定自变量 1、首先对所有影响因素进行分析 2、比较相关因素，找出最主要的影响因素 比较相关因素， 选择回归预测模型， 选择回归预测模型，确定模型参数 实际预测 检验预测模型和预测结果的可靠性程度
三、随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
回归分析预测法 从各种经济现象之间的相关关系出发， 从各种经济现象之间的相关关系出发， 通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的 分析， 分析，推算预测对象未来状态数量表现的一 种预测法。 种预测法。
回归分析预测法的基本步骤 （一）根据预测的目的，选择确定自变量和 根据预测的目的， 因变量 (二)收集历史统计资料 分析.计算并建立回归 (二)收集历史统计资料,分析.计算并建立回归 收集历史统计资料,分析 预测模型 （三）进行相关分析 （四）检验回归预测模型 计算预测误差 检验回归预测模型,计算预测误差 回归预测模型 （五）计算并确定预测值
回归模型 定义：
回归分析是对具有相关关系的变量之间的 数量变化规律进行测定， 数量变化规律进行测定，研究某一随机变量 因变量）与其他一个或几个普通变量（ （因变量）与其他一个或几个普通变量（自变 之间的数量变动关系， 量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进 行估计和预测的分析方法。 行估计和预测的分析方法。由回归分析求出的 关系式， 关系式，称为回归模型
P( − t α < t < t α ) = 1 − α
2 2
即
P( −t α <
2
ɵ βi − βi sβɵ
i
i
< tα ) = 1− α
2
ɵ ɵ P ( βi − t α × sβɵ < βi < βi + t α × sβɵ ) = 1 − α
第十二章_线性回归分析
变量的筛选问题
回归方程中到底引入多少解释变量x
变量的筛选策略
向前筛选策略（Forward）；
向后筛选策略（Backward）；
逐步筛选策略（Stepwise）。
向前筛选策略（Forward）
解释变量x不断进入回归方程的过程； 首先，选择与y具有最高线性相关系数的 变量进入方程，进行回归方程的各种检 验； 然后，在剩余变量中寻找与当前解释变 量偏相关系数最高且通过检验的变量进 入方程； 该过程一直重复，直到用尽所有的自变 量。
最小二乘估计
(图示)
y
(xn , yn)
(x2 , y2)
ˆ ˆ ˆ y b0 + b1 x
(x1 , y1)
｝
(xi , yi)
ei = yi-yi ＾
x
ˆ 和 ˆ 的计算公式) b 0 b1 (
ˆ和 ˆ 根据最小二乘法的要求，可得求解b 0 b1的公 式如下
根据变量的取值来预测或控制另一个特 定变量的取值，并给出这种预测或控制 的精确程度；
回归分析的一般步骤
步骤1 步骤 2 步骤 3 步骤 4
确定回归 确定 对 方程中的 利用 回归模型 回归方程 解释变量 回归方程 建立 进行各种 和 进行预测 回归方程 检验 被解释变量
重点内容
1
确定解释变量和被解释变量
一个单位时，y 的平均变动值；
估计的回归方程
(estimated regression equation)
总体回归参数 b 0 b1 和 是未知的，必须利用样本数 据去估计；
ˆ ˆ 用样本统计量 b 0 和 b1代替回归方程中的未知参 数b 0和 b1 ，就得到了估计的回归方程； 一元线性回归中估计的回归方程为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
根据下面的数据用Excel进行回归，并对回归结果进行讨论，计算x
=200，
1
=7时y的预测值。
x
2
解：用Excel进行回归的结果如下：
结果讨论如下：
（1）从复判定系数看，x1和x2可解释y变异的21%，这是一个相当低的程
度。
（2）从方差分析的结果看，F 统计量不是统计上显著的。
（3）从单个回归系数看，也都是不显著的。
（4）该模型是无效的。
当x 1=200，x 2=7时y 的预测值为 - *200+*7 =
根据下面Excel 输出的回归结果，说明模型中涉及多少个自变量、多少个
观察值写出回归方程，并根据F ，s e ，R 2及调整的2
R α的值对模型进行讨论。
SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 15 方差分析
df SS MS F Significance F
回归分析 3 残差 11 总计 14 453670
Coefficient
s
标准误差 t Stat P-value
Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3
解：该模型有3个自变量，15个观察值。
估计的回归方程为：
123ˆ657.0534 5.7103110.416917 3.471481y
x x x =+-- 结果讨论。
（1）F 统计量是显著的，表明方程具有整体的线性关系。
（2）在5%的显著性水平下，x2的偏回归系数不是统计上显著的，其它系数均是显著的。
（3）复判定系数为，表明y 的变异可由x 1，x 2和x 3解释%。
根据两个自变量得到的多元回归方程为12ˆ18.4 2.01 4.74y
x x =-++，并且已知n=10，SST=，SSR=，1
ˆs β=，2
ˆs β=。
要求：
（1）在α=的显著性水平下，x 1，x 2与y 的线性关系是否显著 （2）在α=的显著性水平下，β1是否显著 （3）在α=的显著性水平下，β2是否显著 解：
（1）SSE=SST-SSR= – = 。
则F 统计量计算为
6216.3752
12.8504(1)507.757
SSR k F SSE n k =
==--，
而(2,7)=，F > (2,7)，因而x 1，x 2与y 的线性关系是显著的。
（2）对于β1，t = = ，而临界值(7) = ，故β1是显著的。
（3）对于β2，t = = ，而临界值(7) = ，故β2是显著的。
一家电器销售公司的管理人员认为，月销售收入是广告费用的函数，并想通过广告费用对月销售收入作出估计。
下面是近8个月的月销售收入与广告费用数据。
要求：
（1）用电视广告费用作自变量，月销售收入作因变量，建立估计的回归方程。
（2）用电视广告费用和报纸广告费用作自变量，月销售收入作因变量，建立估计的回归方程。
（3）上述（1）和（2）所建立的估计的回归方程，电视广告费用的系数是否相同对其回归系数分别进行解释。
（4）根据问题（2）所建立的估计的回归方程，在销售收入的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少
（5）根据问题（2）所建立的估计的回归方程，检验回归系数是否显著（α=）。
解：
（1）作一元回归，建立的估计的回归方程（括号中的数字为标准差）为
1ˆ88.637681.603865(0.477781)y
x =+ （2）作二元回归，建立的估计的回归方程（括号中的数字为标准差）为
12ˆ83.23009 2.290184(0.304065)1.300989(0.320702)y
x x =++ （3）对于（1）中的回归方程，电视广告费用的回归系数的t 统计量等于，根据2倍的t 法则，是显著的，表示电视广告费用每增加1万元，月销售收入增加万元。
对于（2）中的回归方程，电视广告费用的回归系数的t 统计量等于，也是显著的，表示在报纸广告费用不变的情况下，电视广告费用每增加1万元，月销售收入增加万元。
（4）对于（2）中的回归方程，复判断系数R 2等于，表示在销售收入的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是%，这是一个相当高的比例。
（5）对于（2）中的回归方程，F 统计量等于，P 值为，是高度显著的。
某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下：
要求：
（1）试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。
（2）解释回归系数的实际意义。
（3）根据你的判断，模型中是否存在多重共线性 解：
（1）估计的二元线性回归方程为
12ˆ0.59122.38646(9.600544)327.6717(98.79792)y
x x =-++ （2）春季降雨量的回归系数为，表示在春季温度不变的情况下，春季降雨量每增加1mm ，早稻收获量增加 kg/hm 3。
春季温度的回归系数等于，表示在春季降雨量不变的情况下，春季温度每提高1℃，早稻收获量增加 kg/hm 3。
（3）从回归结果看，方差的整体线性相关关系是显著的，但春季降雨量的回归系数不是统计上显著的，意味着x1和x2可能存在一定的线性相关关系。
计算x1和x2的线性相关系数，r=，r 的t 统计量为，是高度显著的，证明自变量之间确实存在严重的多重共线性。
一家房地产评估公司想对某城市的房地产销售价格（y ）与地产估价（x1）、房产估价（x2）和使用面积建立一个模型，以便对销售价格作出合理预测。
为此，收集了20栋住宅的房产处评估数据。
用Excel 进行回归，回答下面的问题： （1）写出估计的多元回归方程。
（2）在销售价格的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少 （3）检验回归方程的线性关系是否显著（α=）。
解：
（1）Excel 的回归方程为
123ˆ148.70050.8147380.820980.135041y
x x x =+++ （2）回归中，R 2 = ，在销售价格的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是%。
（3）F 统计量的P 值是，是高度显著的。
单个自变量的回归系数中，只有x 2的回归系数是显著的，x 1和x 3的回归系数不是统计上显著的。
也许自变量之间存在多重共线性。
根据题中的数据，回答下面的问题：
（1）α=的水平下，检验二元回归模型线性关系的显著性。
（2）在α=的水平下，检验回归系数β1的显著性，你认为x1应该从模型中剔除吗
（3）在α=的水平下，检验回归系数β2的显著性你认为x1应该从模型中剔除吗
解：
（1）在α=的水平下，F 统计量的P 值等于，是显著的。
（2）在α=的水平下，回归系数β1是显著的，x1不应该从模型中剔除。
（3）在α=的水平下，回归系数β2是显著的，x2不应该从模型中剔除。