高中物理课件--运动图像-追及与相遇问题

运动，加速度 a2＝5.0 m/s2，求两辆汽车相遇处距 A 处的距
离．
解析 甲车运动 6 s 的位移为 x＝12a1t0 2＝45 m
此时甲车尚未追上乙车，设此后经时间 t 与乙车相遇，则有
本
12a1(t＋t0)2＝12a2t2＋85
课
将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0
栏 目
解得：t1＝4 s，t2＝8 s
课
栏 目 开
即 Δs＝12×6×2 m＝6 m.
关 (2)两车距离最近时，即两个 v－t 图线下方面积
相等时，由图像得此时汽车的速度为
v＝12 m/s.
解法三：用数学方法求解
(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为 Δs＝v0t－12at2
本 课
因二次项系数小于零，当 t＝2×－(－v012a)＝2 s 时有最大值
课
栏 于后面的客车减速，前面的货车匀速运动的情况，若两车不致相撞，
目
开 这就要求做减速运动的物体的速度尽快地减小，当客车的速度减小 关 到与货车速度相同时，两车相对静止，若客车速度继续减小，两车
距离会越来越大．问题的关键是当两车速度相等时，两车处于相撞 的临界状态．要两车不相撞的条件是，当两车速度相等时，两车的 位移之差Δx 必须满足Δx≤x0.
开 关
时间内的位移方向为 负 ．
【深度思考】
本 课
x－t 图线是物体的运动轨迹吗？能
栏 目
否画曲线运动的 x－t、v－t 图像？
开
关
答案 不是 不能
二、追及与相遇问题
【基础导引 】
1．甲、乙两物体同时同地出发，甲做速度为 v0 的匀速直线运动，
本 课 栏
乙做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，二者相距最远
(3)相对运动法：选择合适参考系，列出相应方程求解．
跟踪训练 3 如图 6 所示，直线
MN 表示一条平直公路，甲、
乙两辆汽车原来停在 A、B 两
本
课
处，A、B 间的距离为 85 m，
栏 目
现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度 a1＝
开 关
2.5 m/s2，甲车运动 6.0 s 时，乙车开始向右做匀加速直线
考点二
【考点解读】
讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物
体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
本 1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个
课 栏
临界条件”、“两个等量关系”．
目 开
(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物
关 体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临
界条件，也是分析判断问题的切入点．
栏 目 开
关键
关
跟踪训练 1 质量为 2 kg 的质点在 x－y 平面上做曲线运动，
在 x 方向的速度图像和 y 方向的位移图像如图 5 所示，下
列说法正确的是
( AC)
本
课
栏
目
开
关
图5
A．质点的初速度为 5 m/s
B．质点初速度的方向与合外力方向垂直
C．质点所受的合外力为 3 N
D．2 s 末质点速度大小为 6 m/s
本 从后边超过汽车，试问：
课 栏
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最
目 远？最远距离是多大？
开
关 (2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？
解析 解法一：用临界条件求解
(1)当汽车的速度为 v1＝v0＝6 m/s 时，二者相距
本 课
最远，所用时间为 t1＝va1＝2 s
表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．例如 v
本
和 t 的乘积 vt＝x 有意义，所以 v－t 图线与横轴所围“面
课 栏
积”表示位移，x－t 图像与横轴所围面积无意义．
目 开
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，例
关
如 t＝0 时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：例如交点、拐点(转折点)等．例如 x－
本 课 栏
专题1
目 开 关
运动图像 追及与
相遇问题
基础再现·深度思考
运动图像
基础导引
本 课
知识梳理
栏 目
深度思考
开
关
追及与相遇问题
基础导引 知识梳理 深度思考
一、运动图像
【基础导引】
1．如图 1 所示是 a、b、c、d 四个物体
的 x－t 图像，则：
(1)四个物体运动的起始坐标分别为：
本 课
xa＝ 0 ，xb＝ 5 m ，xc＝ 4 m ，
t 图像的交点表示两质点相遇，但 v－t 图像的交点只表示
速度相等．
【典例剖析】
例 1 如图 3 所示的位移－时间和速度－时间图像中，给出
的四条图线 1、2、3、4 代表四个不同物体的运动情况．下
本
列描述正确的是
课
栏
目
开
关
图3
(B)
A．图线 1 表示物体做曲线运动
B．x－t 图像中 t1 时刻 v1>v2 C．v－t 图像中 0 至 t3 时间内 3 物体和 4 物体的平均速度
规律．
(2)图线斜率的意义
①图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的
加速度的大小 ．
②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的 方向 ．
(3)图线与坐Leabharlann Baidu轴围成的“面积”的意义
本
①图线与坐标轴围成的“面积”表示 位移的大小．
课 栏 目
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方 向为 正 ；若此面积在时间轴的下方，表示这段
关 好不相撞；若 vA＝vB 时，xA＋x0>xB，则不
能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定
要注意判断追上前该物体是否已经停止运
动．
【典例剖析】
例 3 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3 m/s2 的加
速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以 v0＝6 m/s 的速度匀速驶来，
2．如图 2 所示是 a、b、c、d 四个物体的 v－t 图像，则：
本
课
栏
目 开
图2
关
(1)它们的初速度分别为
va＝ 0 ，vb＝ 4 m/s ，vc＝ 4 m/s ，vd＝ －1 m/s .
(2)它们的加速度分别为
aa＝ 2 m/s2 ，ab＝ 0 ，ac＝ －2 m/s2 ，ad＝－1.5 m/s2 . (3)图线 a、c 交点的意义为：1 s时两物体速度大小均
开 关
A．在 0～t0 时间内加速度不变，在 t0～3t0 时间内加速度减小
B．降落伞打开后，降落伞和伞兵所受的阻力越来越小
C．在 t0～3t0 的时间内，平均速度 v >v1＋2 v2
D．若第一个伞兵在空中打开降落伞时第二个伞兵立即跳下，
则他们在空中的距离先增大后减小
【思维突破】
本 课
把握好图像的“六看”是解题的
者的速度一定不 小于 前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等
时，两者相距 最近．
【深度思考】
追及问题中，“刚好能追上”、
本 课
“刚好追不上”以及两物体间
栏
目 开
有最大距离或最小距离的条件
关 是什么？
答案 速度相等
课堂探究·突破考点 考点一
本 课 栏
运 考点解读
动 的
典例剖析
栏 目 开
最大值 Δsm＝v0t－12at2＝6×2 m－12×3×22 m＝6 m.
关
(2)当 Δs＝v0t－12at2＝0 时相遇
得 t＝4 s，汽车的速度为 v＝at＝12 m/s.
【思维突破】
1．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼(如“刚好”、“恰好”、
本 “最多”、“至少”等)，充分挖掘题目中的隐含条件．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通
过画草图找出两物体的位移关系是解题的
突破口．
2．能否追上的判断方法
做匀速直线运动的物体 B 追赶从静止开始
本 做匀加速直线运动的物体 A：开始时，两个
课 栏
物体相距 x0.若 vA＝vB 时，xA＋x0<xB，则
目 开
能追上；若 vA＝vB 时，xA＋x0＝xB，则恰
时乙的速度为 v0 ，追上甲时乙的速度为 2v0 .
目 开 关
2．加甲速、度乙a相由距静s0止，开当始甲运开动始，以若速甲度刚v0好匀追速上追乙赶，前则方s的0＝乙时v20a，2 乙. 以
3．甲、乙相距 s0，甲做速度为 v0 的匀速直线运动，乙在甲后做初
速度为 则 s0＝
2vv0、0 2加速度为 2a .
跟踪训练 3 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他
旁边以 10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前
去追赶，经过 5.5 s 后警车发动起来，并以 2.5 m/s2 的加速
本
度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在 90 km/h
课 栏
以内．问：
目 开
大小相等
D．图线 2 和图线 4 中，t2、t4 时刻都表示物体反向运动
例 2 在反恐演习中，中国特种兵进行了
飞行跳伞表演．某伞兵从静止的直升
飞机上跳下，在 t0 时刻打开降落伞，
本
在 3t0 时刻以速度 v2 着地．伞兵运动
课
的速度随时间变化的规律如图 4 所示．
栏
目
下列结论正确的是
( ABD )
开 关
哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图像表示研究对象的变化过程和规律．在 v－t
图像和 x－t 图像中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时
间变化的运动情况，.
3．三看“斜率”：x－t 图像中斜率表示运动物体的速度大小和
方向．v－t 图像中斜率表示运动物体的加速度大小和方向．
4．四看“面积”：即图线和坐标轴所围的面积，也往往代
由匀变速运动的公式有－2ax＝vt 2－v0 2
得 a＝v20x2
将 x≤x0 代入上式得 a≥(v12－x0v2)2
建模感悟 在一条直线上运动的两物体，后面物体的速度只要大于前面物体的 速度，两物体之间的距离将会越来越小，就有相撞的危险，若后面 本 的物体减速，或前面的物体加速，就有避免相撞的可能性，此题属
目 开
图 像
思维突破
关
跟踪训练
考点二
追 及
考点解读
与 相
典例剖析
遇 问
思维突破
题 跟踪训练
【考点解读】
运动学图像主要有 x－t 图像和 v－t 图像，运用运动学图像解题
本 可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看
课 “面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．
栏
目 1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图像是描述
正在以 v2 匀速前进，且 v2<v1，货车车尾与客车头相距 x0，客车立即
本 刹车，做匀减速运动，而货车仍保持原速度前进．求客车的加速度符
课 栏
合什么条件，客车与货车才不会相撞？
目
开 关
解析 以货车为参照物，客车的初速度为 v0，则
v0＝v1－v2
客车的末速度 vt＝0(两车速度相等)，客车相对货车的位移为 x≤x0，
课 栏
2．求解追及和相遇问题常用的方法：
目 (1)图像法：x－t 图像中两物体的位移图像相交、v－t 图像中所
开 关
围面积相等都说明两物体相遇．
(2)数学分析法：设在 t 时刻两物体能相遇，然后根据几何关系列
出关于 t 的方程 f(t)＝0，若其方程无正实数解，则两物体不可能
相遇，如有正实数解，则两物体可能相遇．
栏 目 开
xd＝ －2 m .
(2)四个物体的运动方向为：a
正方向 ，
关
B 静止 ，c 负方向，d 负方向 ．
图1
(3)四个物体的运动速度分别为：
va＝ 2.5 m/s ，vb＝ 0，vc＝ －2 m/s ，vd＝ －2 m/s .
(4)图线 a 与 c 交点的意义为： 1 s时两物体均到达x＝
2 m处 ．
开 关
t1、t2 都有意义，t1＝4 s 时，甲车追上乙车；t2＝8 s 时，乙车
追上甲车再次相遇
第一次相遇地点距 A 的距离：s1＝12a1(t1＋t0)2＝125 m 第二次相遇地点距 A 的距离：s2＝12a1(t2＋t0)2＝245 m.
思维方法建模
1.直线追及模型
例 4 一列客车以速度 v1 前进，司机发现前面在同一轨道上有列货车
栏 目 开 关
最远距离为 Δs＝v0t1－12at1 2＝6 m.
(2)两车距离最近时有 v0t2＝12at2 2
解得 t2＝4 s 汽车的速度为 v＝at2＝12 m/s.
解法二：用图像法求解
(1)汽车和自行车的 v－t 图像如图所示，
由图像可得 t＝2 s 时，二者相距最远．
本 最远距离等于图中阴影部分的面积，
为2 m/s .
【知识梳理 】
1．对 x－t 图像的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体 位移 随 时间 变化的
本
规律．
课 栏
(2)图线斜率的意义
目
①图线上某点切线的斜率大小表示物体 速度的大小 ．
开 关
②图线上某点切线的斜率正负表示物体 速度的方向 ．
2．对 v－t 图像的理解
(1)物理意义：反映了做直线运动的物体 速度 随 时间 变化的
a
的匀减速直线运动，若乙刚好追上甲，
【知识梳理 】
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在 同一直线上运动时，由于两物体的运动情况
本
课
不同，所以两物体之间的 距离会不断发生变化，两物体间
栏 目
距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和避免碰
开
撞等问题．
关
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一 位置 ，后