新浙教版八年级上数学知识点汇总

D C B A 第一、二章 三角形的初步知识和特殊三角形
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的角平分线、中线、高线都是线段；三条角平分线和中线分别交于三角形内部一点；锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点，直角三角形的三条高线交于直角顶点，钝角三角形的三条高线所在直
线交于三角形外部一点.
3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
如图：AD 是三角形ABC 的中线，则S △ABD ＝S △ACD ＝ 1 2 S △ABC 4.★★★三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.
两边之差＜第三边＜两边之和
5.★三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
6.★★★三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，看清楚所用的三个条件，
绝对不能用SSA 来判定. 直角三角形还可以用斜边直角边相等来判定，即HL .
（注意：在直角三角形较多的图形中，往往要用同角或等角的余角相等来证明某两个角相等） 注意：像这种△ABC ≌△DEF ，两个三角形已经用全等符号（≌）表示，说明对应点已经写在了对应位置上，我们在找对应边和对应角时可以根据它们的字母顺序来找，如边AC 是△ABC 的第1和3个字母，那么它的对应边应该是△DEF 的第1和3个字母，即DF . 这种方法有利于在一些复杂图形中找对应边和角.
7.★★★垂直平分线（中垂线）的性质和角平分线的性质.
①垂直平分线（中垂线）的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
几何语言：
∵AD ⊥BC ，BD ＝CD （注意：两个条件才能表示AD 是BC 的中垂线）
∴AB ＝AC （注意：结论不要跳步和张冠李戴，关键是理解哪两条线段是点到点的距离）
②角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC （注意：三个条件，不要漏掉后面两个垂直，
那是表示点到两边的距离）
∴DE ＝DF （注意：结论不要跳步和张冠李戴，关键是理解哪两条线段是点到两边的距离）
③记忆方法：垂直平分线是点到点的距离相等. 角平分线是点到线的距离相等.
④应用：如图，找一个点使得它到A 、B 、C 三点距离相等，
作线段AB 、BC 、AC 中任意两条的中垂线，
它们的交点即为所要作的点. （只有一个点满足条件）
如图，找一个点使得它到l 1、l 2、l 3三条线的距离相等，
作∠BAC 、∠BCA 、∠ABC 中任意两个角的角平分线，
它们的交点（一个）即为所要作的点.
还可以作三个外角的角平分线，交点有三个.
所以满足条件的点总共有4个.
8.在同一个三角形中，等边对等角. 在同一个三角形中，等角对等边. （注意条件）
9.等腰三角形三线合一的三线是指：底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线. （注意不能笼统的说中线、高线、角平分线三线合一，一定要加上它们的条件）
10.在描述某个轴对称图形的对称轴对称轴时，注意对称轴是直线，如：等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线或底边上的高线所在直线或顶角的平分线所在直线.
11.★★★注意需要分类讨论的几种情况.
①已知等腰三角形一个角的度数，求另外两个角时，要注意讨论已知角是顶角还是底角，底角的度数一定
小于90度.
②已知等腰三角形两条边的长度，求周长时，要注意讨论哪一条边作为腰，哪一条边作为底，同时注意所
讨论的情况能否组成三角形.
③已知直角三角形的两条边的长度，求斜边、斜边上中线、第三边、第三边上的中线时，要注意讨论已知
的两边都是直角边和其中一条边是斜边这两种情况，同时一定要弄清楚求的是什么（很多
同学所求的并不是所问的）.
④已知等腰三角形一腰上的高和底边夹角的度数，求顶角或底角度数时，画图要注意分锐角和钝角两种情
况讨论.
⑤已知两个定点和一个动点构成等腰三角形时，要讨论三条边两两相等3种情况. （注意并不是指3个答
案，有时一种情况可能会有两个答案）
如图：已知定点O 、A ，动点P 在x 轴上，当△POA 为等腰三角形时，求点P 的坐标.
首先判断这样的点P 有几个，我们可以作两个圆和一条中垂线（以O 为圆心，OA 长为半径作圆；以A 为圆心，OA 长为半径作圆；作OA 的中垂线），看它们与x 轴有几个交点. 如图可知，共四种情况. 注意：每种情况都画出相应的图形，有利于在图形上分析计算.
⑥已知两个定点和一个动点构成直角三角形时，要讨论三个角分别是直角3种情况. （注意并不是指3个
答案，有时一种情况可能会有两个答案）
例如，当△ABC 为直角三角形时，应分∠ABC 为直角时，∠ACB 为直角时，∠BAC 为直角时，这三种情况讨论.
注意：每种情况都画出相应的图形，有利于在图形上分析计算.
12.★★★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
★★在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
★★直角三角形斜边上的高线＝ 两条直角边的乘积 斜边
. （可用等面积法证明） 13.★★★勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
★勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （注意使用该定理证明一个三角形是直角三角形时的书写格式）
第二种：当PO ＝P A 时，作AC ⊥x 轴，设PO ＝P A ＝t ， 则PC ＝x A －t ，AC ＝y A ，由P A 2＝PC 2＋AC 2列出方程， 解出 t 即可知P 点的坐标.
第三种：当OP ＝OA 时，只需求出 OA 的长度即可知P 点的坐标. 第四种：当AO ＝AP 时，作AC ⊥x 轴，由等腰三角形三线合一可知OP ＝2OC ＝2x A .
第一种：当OP ＝OA 时，只需求出 OA 的长度即可知P 点的坐标.
14.★★记住一些规律性的结论（注意结论成立的条件，绝不能乱套用结论）.
如图①，BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC＝90°＋1
2∠A
BP 和CP分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线，则∠BPC＝90°－1
2∠A
如图②，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，则∠E＝1
2∠A
如图③，AB＝AC，AD＝AE，则∠CDE＝1
2∠BAD
如图④，BA＝BE，CA＝CD，则∠DAE＝1
2(180°－∠BAC)
15.常用辅助线的添法.
①已知角平分线，可尝试作角平分线上点到角两边的垂线段.
②已知垂直平分线，可尝试连结垂直平分线上的点与线段两个端点.
③已知中线，可尝试倍长中线来构造全等三角形.
例如：如图，AD是△ABC的中线，可延长AD至E使得ED＝AD，
连结BE，则△ACD≌△EBD.
④当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：a＋b＝c，如直接证不出来，可采用截长法：在
较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法. 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来.
⑤★★围绕等腰直角三角形，作如图的基本图形，
记住该图形的一些结论：
如△ABD≌△CAE，BD＋CE＝DE
在证明∠ABD＝∠CAE或∠BAD＝∠ACE时，
注意利用同角的余角相等来证.
16.★★★作图，请翻阅课本36页至38页.特别是例3.
17.★★★把一个命题改写成“如果……那么……”的形式或写出它的逆命题.
例如：命题：等腰三角形的两个底角相等.
逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
（逆命题中千万不能写“两个底角”）
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
逆命题：一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
（逆命题中千万不能写“斜边上”）
命题：内错角相等，两直线平行.
改写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线被第三条直线所截构成的内错角相等，那
么这两条直线平行. （一般情况下，“如果”后面的主语和“那么”后面的主语一致，“那么”
后面往往紧跟着“这”这个字！）
①②③④
18.求两条线段和或差的最值.
①如图，点P为直线l上一动点，作出AP＋BP的值最小时点P的位置.
作点A关于直线l的对称点A1，再连结A1B，A1B与直线l的交点就是使AP＋BP的值最小时的点P，此时AP＋BP的最小值就是A1B的长度. 要求A1B的长度可构造如图的直角三角形求解.
②如图，点P为直线l上一动点，作出|AP－BP|的值最大时点P的位置.
连结BA并延长，与直线l所交的点就是使|AP－BP|的值最大时的点P，此时该最大值就是AB的长度.
③如图1，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝1，当AC在滑动时，求点B到点O的最大值.
如图2，取AC的中点P，连结BP、OP、BO，BP＝BC2＋PC 2＝2，OP＝1
2AC＝1，由三角形三边关
系可知，BP＋OP＞BO，即BO＜2＋1.
如图3，当BP和OP与BO重合时，BO＝BP＋OP＝2＋1，此时BO的长度最大，故最大值为2＋1.
第三章一元一次不等式
1.★★★不等式的基本性质：
①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个数，不等号的方向不变．
②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．（注意什么时候要改变不等号的方向）
2. ★★★会把用文字描述的不等关系用不等式表示.（注意看清题目，正确使用不等号！）
图1 图2 图3
3.在数轴上表示不等式的解时，取到等号的用实心圆，取不到等号的用空心圆.学会在数轴上找不等式组的解.
4.★★★解不等式时的注意点：
如： x －1 2 － 3x －5 4 ＜1 ①去分母得：2(x －1)－(3x －5)＜4
②去括号得：2x －2－3x ＋5＜4
③移项得：2x －3x ＜4＋2－5
④合并同类项得：－x ＜1
⑤两边同除以－1得：x ＞1
5.★解不等式组时记得写出最终的解，防止解完两个不等式后就结束了.
6.★★对于含参数（如不等式中含有字母a ）的不等式（组），求参数的取值范围时，注意利用数轴分析，同时学会用特殊值法解题.
第四章 图形与坐标
1.确定平面内物体位置的两种方法.
①用有序数对来确定.需要两个数据.
②用方向和距离（方位）来确定. 需要两个数据.
2.★★★掌握各象限内及x 轴，y 轴上点的坐标的特点：
第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）
x 轴上的点纵坐标为0，表示为（x ，0）；y 轴上的点横坐标为0，表示为（0，y ）
3.一个点到x 轴的距离是该点纵坐标的绝对值；一个点到y 轴的距离是该点横坐标的绝对值.
4.★★★关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5.点的平移：向左平移，是向x 轴正方向，x 坐标会增大，所以x 坐标加上平移的距离.
向右平移，是向x 轴负方向，x 坐标会减少，所以x 坐标减去平移的距离.
向上平移，是向y 轴正方向，y 坐标会增大，所以y 坐标加上平移的距离.
向下平移，是向y 轴负方向，y 坐标会减少，所以y 坐标减去平移的距离.
第五章 一次函数
1.一次函数：形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)的函数．注意自变量x 上的指数为1.
当b ＝0时，y ＝kx ，y 叫x 的正比例函数．
2.★★★求函数与x 轴和y 轴的交点坐标.
当x ＝0时，y ＝b ，则函数于y 轴的交点坐标为（0，b ）；
当y ＝0时，x ＝－ b k ，则函数于x 轴的交点坐标为（－ b k
，0）. 3.若直线y ＝k 1x ＋b 1和直线y ＝k 2x ＋b 2平行，则k 1＝k 2；
若直线y ＝k 1x ＋b 1和直线y ＝k 2x ＋b 2垂直，则k 1•k 2＝－1；
要求直线y ＝k 1x ＋b 1和直线y ＝k 2x ＋b 2交点坐标，只需解方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋b 1y ＝k 2x ＋b 2
或k 1x ＋b 1＝k 2x ＋b 2. 4.★★★一次函数y ＝kx ＋b 的图象与k ，b 的关系.
①去分母时不要漏乘，同时记得分子要加上括号. 去分母时要每一项都乘以4，千万不要忘记1也要乘以4，
同时分母去掉后记得3x －5加上括号. ②去括号时，注意符号. ③移项时，注意改变符号.
④合并同类项时，注意符号. ⑤两边除以负数时，记得不等号要改变方向.
①当k大于0时，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大.
当k小于0时，从左到右，图象下降，y随x的增大而减小.
②b是图象与y轴的交点所表示的数字，所以b大于0时，图象与y轴的交点在y轴正半轴上，b小于0
时，图象与y轴的交点在y轴负半轴上.
5.会用待定系数法求一次函数的表达式.
求一次函数的表达式时，只需知道图象上的两个点的坐标，把坐标代入一次函数表达式，列出二元一次方程组，求出k，b的值即可.
6.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝－1
2x＋m与x、y轴的正半轴分别相交于点
A、B，过点C（－4，－4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（共4种情况，每种各画一个图）
7.模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED 于D，过B作BE⊥ED于E．
求证：△BEC≌△CDA．
模型应用：
（1）已知直线l1：y＝4
3x＋4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的
函数解析式．
（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x－6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．（每种情况各画一个图）。