《数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课后答案
1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：
()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-
2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪
=≤≤⎨⎪⎩
其它
（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：
（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）
()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-
（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如
题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()7
8x n A n π
π=-，A 是常数；
（2）1
()8
()j n x n e π-=。

解：
（1）3214
,
73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w
π
π==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n
m y n x m ==∑。

解：
（1）令：输入为0()x n n -，输出为
'000'
0000()()2(1)3(2)
()()2(1)3(2)()
y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=
故该系统是时不变系统。

12121212()[()()]
()()2((1)(1))3((2)(2))
y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-
1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+-
2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+
故该系统是线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为1()x n n -，输出为'10()()y n x n n n =--，因为
'110()()()y n n x n n n y n -=--=
故延时器是一个时不变系统。

又因为
12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+
故延时器是线性系统。

（5） 2()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'20()()y n x n n =-，因为
2'00()()()y n n x n n y n -=-=
故系统是时不变系统。

又因为
212121222
12[()()](()()) [()][()] ()()
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+
因此系统是非线性系统。

（7） 0()()n
m y n x m ==∑
令：输入为0()x n n -，输出为'
00
()()n
m y n x m n ==-∑，因为
0'
00
()()()n n m y n n x m y n -=-=
≠∑
故该系统是时变系统。

又因为
1212120
[()()](()())[()][()]n
m T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑
故系统是线性系统。

6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）1
1
()()N k y n x n k N
-==
-∑；
（3）0
()()n n k n n y n x k +=-=
∑
；
（5）()()x n y n e =。

解：
（1）只要1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。

如果()x n M ≤，则()y n M ≤，因此系统是稳定系统。

（3）如果()x n M ≤，0
0()()21n n k n n y n x k n M +=-≤
≤+∑
，因此系统是稳定的。

系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.
（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。

如果()x n M ≤，则()()()x n x n M y n e e e =≤≤，因此系统是稳定的。

7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入序列()x n 如题7图所示，要求画出输出输出()y n 的波形。

解：
解法（1）:采用图解法
0()()()()()m y n x n h n x m h n m ∞
==*=-∑
图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。

按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:
()(2)(1)2(3)1
()2()(1)(2)
2
x n n n n h n n n n δδδδδδ=-++-+-=+-+-
因为
()*()()
()*()()
x n n x n x n A n k Ax n k δδ=-=-
所以 1
()()*[2()(1)(2)]
2
1
2()(1)(2)
2
y n x n n n n x n x n x n δδδ=+-+-=+-+-
将x(n)的表达式代入上式，得到
()2(2)(1)0.5()2(1)(2) 4.5(3)2(4)(5)
y n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+-+-+-+-+-+-+-
8. 设线性时不变系统的单位取样响应()h n 和输入()x n 分别有以下三种情况，分别求出输出()y n 。

（1）45()(),()()h n R n x n R n ==； （2）4()2(),()()(2)h n R n x n n n δδ==--； （3）5()0.5(),()n n h n u n x R n ==。

解：
（1） 4
5
()()*()()()m y n x n h n R m R n m ∞
=-∞
==
-∑
先确定求和域，由4()R m 和5()R n m -确定对于m 的非零区间如下：
03,4m n m n ≤≤-≤≤
根据非零区间，将n 分成四种情况求解： ①0,()0n y n <=
②0
03,()11n
m n y n n =≤≤==+∑
③3
4
47,()18m n n y n n =-≤≤==-∑
④7,()0n y n <= 最后结果为
0, 0,7()1, 038, 47n n y n n n n n <>⎧⎪
=+≤≤⎨⎪-≤≤⎩
y(n)的波形如题8解图（一）所示。

（2）
444()2()*[()(2)]2()2(2) 2[()(1)(4)(5)]
y n R n n n R n R n n n n n δδδδδδ=--=--=+-----
y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）
55()()*() ()0.5
()0.5
()0.5()
n m
n
m m m y n x n h n R m u n m R m u n m ∞
∞
--=-∞=-∞
==
-=-∑
∑
y(n)对于m 的非零区间为04,m m n ≤≤≤。

①0,()0n y n <= ②111
10.504,()0.50.5
0.5(10.5)0.520.510.5
n n
n
m
n n n n m n y n ------=-≤≤===--=--∑ ③5410
10.55,()0.5
0.5
0.5310.510.5
n m
n n m n y n ---=-≤===⨯-∑ 最后写成统一表达式：
5()(20.5)()310.5(5)n n y n R n u n =-+⨯-
11. 设系统由下面差分方程描述：
11
()(1)()(1)22
y n y n x n x n =
-++-； 设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：
令：()()x n n δ=
11
()(1)()(1)22
h n h n n n δδ=
-++- 2
11
0,(0)(1)(0)(1)12211
1,(1)(0)(1)(0)1
22
11
2,(2)(1)2211
3,(3)(2)()22n h h n h h n h h n h h δδδδ==
-++-===++====
===
归纳起来，结果为
11
()()(1)()2
n h n u n n δ-=-+
12. 有一连续信号()cos(2),a x t ft πϕ=+式中，20,2
f Hz π
ϕ==
（1）求出()a x t 的周期。

（2）用采样间隔0.02T s =对()a x t 进行采样，试写出采样信号()a x t 的表达式。

（3）画出对应()a x t 的时域离散信号(序列) ()x n 的波形，并求出()x n 的周期。

————第二章———— 教材第二章习题解答
1. 设()jw X e 和()jw Y e 分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）0()x n n -； （2）()x n -； （3）()()x n y n ； （4）(2)x n 。

解：
（1）00
[()]()jwn
n FT x n n x n n e
∞
-=-∞
-=
-∑
令''00,n n n n n n =-=+，则
'00()
'
0[()]()()jw n n jwn jw n FT x n n x n e
e X e ∞
-+-=-∞
-=
=∑
（2）*
*
**[()]()[()]()jwn
jwn jw n n FT x n x n e
x n e X e -∞
∞
-=-∞=-∞
=
==∑∑
（3）[()]()jwn
n FT x n x n e
∞
-=-∞
-=-∑
令'n n =-，则
'
''[()]()()jwn jw n FT x n x n e X e ∞
-=-∞
-=
=∑
（4） [()*()]()()jw jw FT x n y n X e Y e = 证明： ()*()()()m x n y n x m y n m ∞
=-∞
=
-∑
[()*()][()()]jwn
n m FT x n y n x m y n m e
∞
∞
-=-∞=-∞
=
-∑∑
令k=n-m ，则
[()*()][()()] ()() ()()
jwk jwn
k m jwk
jwn
k m jw jw FT x n y n x m y k e
e
y k e x m e
X e Y e ∞
∞
--=-∞=-∞∞
∞--=-∞
=-∞
==
=∑∑∑∑
2. 已知001,()0,jw
w w X e w w π⎧<⎪=⎨
<≤⎪⎩
求()jw X e 的傅里叶反变换()x n 。

解： 0
0sin 1
()2w jwn w w n
x n e dw n
π
π-=
=
⎰
3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)()()(),jw jw j w H e H e e θ=如果单位脉冲响应()h n 为实序列，试证明输入0()cos()x n A w n ϕ=+的稳态响应为
00()()cos[()]jw y n A H e w n w ϕθ=++。

解：
假设输入信号0
()jw n x n e =，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
00000
()
()()*()()()()jw n
jw n m jw n
jw m
jw m m y n h n x n h m e
e
h m e
H e
e
∞
∞
--=-∞
=-∞
==
==∑∑上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

0000000000000()()1
()cos()[]2
1
()[()()]21
[()()]
2
jw n jw n j j jw n jw jw n jw j j jw n jw j w jw n jw j w j j x n A w n A e e e e y n A e e H e e e H e A e e H e e e e H e e ϕϕϕϕϕθϕϕϕ---------=+=+=
+=+ 上式中()jw H e 是w 的偶函数，相位函数是w 的奇函数，
000000()()00()(),()()
1
()()[]2
()cos(())jw jw jw jw n j w jw n j w j j jw H e H e w w y n A H e e e e e e e A H e w n w θθϕϕθθϕθ----==--=
+=++ 4. 设1,0,1
()0,n x n =⎧=⎨⎩
其它将()x n 以4为周期进行周期延拓，形成周期序列
()x n ，画出()x n 和()x n 的波形，求出()x n 的离散傅里叶级数()X k 和傅
里叶变换。

解：
画出x(n)和()x n 的波形如题4解图所示。

23
1
4
2
2
00
4
4
4
4
()[()]()1 ()2cos()4
j kn j kn j k n n j k j k j k j k X k DFS x n x n e
e
e
e
e
e
k e
π
π
π
π
π
π
π
π
---==---====+=+=•∑∑,
()X k 以4为周期，或者
11111
2222
4
1110
2
4
4
4
1sin 1()2()1sin 1()
4
j k j k j k j k
j kn j k j k j k j k j k n k e e e e X k e
e
k e
e
e
e
ππππ
πππ
πππππ--------=--==
=
=--∑, ()X k 以4为周期
4
22()[()]()()4
4
()()
22
cos()()
42jw
k k j k
k X e FT x n X k w k X k w k k e w k π
π
πδπ
π
δπ
π
π
δ∞
=-∞
∞
=-∞
∞
-=-∞
==
-=
-
=-
∑
∑
∑
5. 设如图所示的序列()x n 的FT 用()jw X e 表示，不直接求出()jw X e ，完成下列运算： （1）0()j X e ；
（2）()jw X e dw π
π
-⎰；
（5）2
()jw X e dw π
π
-⎰
解：
（1）7
3()()6j n X e x n =-==∑
（2）()(0)24jw X e dw x π
π
ππ-=•=⎰
（5）7
2
2
3
()2()28jw
n X e dw x n π
π
ππ=--==∑⎰
6. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）211()(1)()(1)22
x n n n n δδδ=+++-； （3）3()(),01n x n a u n a =<< 解： （2）
2211()()122
1
1()1cos 2
jw
jwn jw jw n jw jw X e x n e e e e e w
∞
--=-∞
-=
=
++=++=+∑
（3） 30
1
()()1jw
n jwn
n jwn jw
n n X e a u n e
a e ae
∞
∞
---=-∞
==
==
-∑
∑ 7. 设:
（1）()x n 是实偶函数，
（2）()x n 是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，()x n 的傅里叶变换性质。

解： 令 ()()jw
jwn
n X e x n e
∞
-=-∞
=
∑
（1）x(n)是实、偶函数，()()jw
jwn
n X e x n e
∞
-=-∞
=
∑
两边取共轭，得到
*
()()()()()jw
jwn
j w n
jw n n X e x n e
x n e
X e ∞
∞
---=-∞
=-∞
=
=
=∑∑
因此*()()jw jw X e X e -=
上式说明x(n)是实序列，()jw X e 具有共轭对称性质。

()()()[cos sin ]jw
jwn
n n X e x n e
x n wn j wn ∞
∞
-=-∞
=-∞
=
=
+∑∑
由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn 是奇函数，那么
()sin 0n x n wn ∞
=-∞
=∑
因此()()cos jw
n X e x n wn ∞
=-∞
=
∑
该式说明()jw X e 是实函数，且是w 的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换()jw X e 是实、偶函数。

（2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，()jw X e 具有共轭对称性质，即
*()()jw jw X e X e -=
()()()[cos sin ]jw
jwn
n n X e x n e
x n wn j wn ∞
∞
-=-∞
=-∞
=
=
+∑∑
由于x(n)是奇函数，上式中()cos x n wn 是奇函数，那么()cos 0n x n wn ∞
=-∞
=∑
因此()()sin jw
n X e j x n wn ∞
=-∞
=∑
这说明()jw X e 是纯虚数，且是w 的奇函数。

10. 若序列()h n 是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:
()1cos jw R H e w =+
求序列()h n 及其傅里叶变换()jw H e 。

解：
/211()1cos 1[()]()221
,12()1,0
1
,12
0,01,0()(),01,1
2(),00,()()12cos
2
jw
jw jw
jwn
R e e n e e e jw
jwn jw
jw n H e w e e FT h n h n e n h n n n n n h n h n n n h n n w
H e h n e e
e ∞
--=-∞
∞
---=-∞
=+=++==⎧=-⎪⎪
==⎨⎪⎪=⎩<=⎧⎫⎧⎪⎪⎪
====⎨⎬⎨⎪⎪⎪>⎩⎭⎩=
=+=∑∑
其它n
12. 设系统的单位取样响应()(),01n h n a u n a =<<，输入序列为
()()2(2)x n n n δδ=+-，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列()y n ；
（2）分别求出()x n 、()h n 和()y n 的傅里叶变换。

解： （1）
2
()()*()()*[()2(2)] ()2(2)
n n
n y n h n x n a u n n n a u n a
u n δδ-==+-=+-
（2）
20
2()[()2(2)]121
()()112()()()1jw
jwn
j w
n jw
n jwn
n jwn jw
n n j w
jw jw
jw
jw
X e n n e e H e a u n e
a e ae
e Y e H e X e ae δδ∞
--=-∞
∞
∞
---=-∞
=--=+-=+=
==
-+==
-∑∑
∑ 13. 已知0()2cos(2)a x t f t π=，式中0100f Hz =，以采样频率400s f Hz =对
()a x t 进行采样，得到采样信号()a x t 和时域离散信号()x n ，试完成下面
各题：
（1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式；
（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 序列的傅里叶变换。

解： （1）
000()()2cos() ()j t j t a a j t
j t
j t
X j x t e dt t e dt
e
e
e
dt
∞
∞
-Ω-Ω-∞-∞
∞
Ω-Ω-Ω-∞
Ω==Ω=+⎰⎰⎰
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
00()2[()()])a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω
（2） 0
ˆ()()()2cos()()a a
n n x
t x t t nT nT t nT δδ∞∞
=-∞
=-∞
=-=Ω-∑∑
0()2cos(), x n nT n =Ω-∞<<∞
001
2200, 2.5s
f rad T ms f ππΩ===
= （3）
01ˆ()()2 [()()]
a a s k s s k X j X j jk T k k T
πδδ∞=-∞
∞
=-∞
Ω=Ω-Ω=
Ω-Ω
-Ω+Ω+Ω-Ω∑∑
式中2800/s s f rad s ππΩ==
0000
0()()2cos()2cos() []2[(2)(2)]
jw
jwn
jwn
jwn
n n n jw n
jw n jwn n k X e x n e nT e
w n e
e
e e w w
k w w k π
δπδπ∞
∞
∞
---=-∞=-∞
=-∞
∞
∞--=-∞
=-∞
==
Ω=
=
+=--++-∑∑∑∑∑
式中000.5w T rad π=Ω=
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

14. 求以下序列的Z 变换及收敛域： （2）2(1)n u n ----； （3）2()n u n --； （6）2[()(10)]n u n u n --- 解：
（2） 11
11
[2()]2()2,122
n
n n
n n n n ZT u n u n z
z z z ∞
∞
-------=-∞
==
==
>-∑
∑ （3）
1
1
11[2(1)]2
(1)2
2211
,12122
n
n
n
n
n
n n
n n n ZT u n u n z
z
z z z z z ∞
∞
∞
-----=-∞
=-=-----=---=
-=--=
=<--∑∑∑
（6）
9
01010
11
[2()(10)]212 ,012n
n n
n ZT u n u n z z
z z
---=------=-=
<≤∞-∑
16. 已知:
1132
()11212
X z z z --=
+
-- 求出对应()X z 的各种可能的序列的表达式。

解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：
三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1）当收敛域0.5z <时，
11
()()2n c
x n X Z z dz j π-=
⎰
令11
1
115757()()(10.5)(12)(0.5)(2)
n n n z z F z X z z
z z z z z z -------===---- 0n ≥，因为c 内无极点，x(n)=0；
1n ≤-，C 内有极点0，但z=0是一个n 阶极点，改为求圆外极点留
数，圆外极点有120.5,2z z ==，那么
0.52
()Re [(),0.5]Re [(),2]
(57)(57) (0.5)(2)
(0.5)(2)(0.5)(2)
1
[3()22](1)
2
n n
z z n n x n s F z s F z z z z z z z z z z z u n ===----=-------=-+--
（2）当收敛域0.52z <<时，
(57)()(0.5)(2)
n
z z F z z z -=
-- 0n ≥，C 内有极点0.5；
1
()Re [(),0.5]3()2
n x n s F z ==
0n <，C 内有极点0.5，0，但0是一个n 阶极点，改成求c 外极点留
数，c 外极点只有一个，即2，
()Re [(),2]22(1)n x n s F z u n =-=---
最后得到1()3()()22(1)2
n n x n u n u n =--- （3）当收敛域2z <时，
(57)()(0.5)(2)
n
z z F z z z -=
-- 0n ≥，C 内有极点0.5，2；
1
()Re [(),0.5]Re [(),2]3()222
n n x n s F z s F z =+=+
n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C 内有极点0.5，2，0，但0是一个n 阶极点，改成求c 外极点留数，c 外无极点，所以x(n)=0。

最后得到
1
()[3()22]()2
n n x n u n =+
17. 已知()(),01n x n a u n a =<<，分别求： （1）()x n 的Z 变换； （2）()nx n 的Z 变换； （3）()n a u n --的z 变换。

解：
（1）1
1
()[()](),1n
n n n X z ZT a u n a u n z z a az ∞
--=-∞
==
=
>-∑
（2）1
12
[()](),(1)d az ZT nx n z X z z a dz az --=-=
>-
（3）10
1
[()],1n
n n n n n n ZT a u n a z a z z a az
-∞
∞
----==-===
<-∑∑ 18. 已知1
12
3()252z X z z z ----=-+，分别求：
（1）收敛域0.52z <<对应的原序列()x n ； （2）收敛域2z >对应的原序列()x n 。

解：
11()()2n c
x n X z z dz j
π-=
⎰
11
1
12
33()()2522(0.5)(2)
n n n z z F z X z z
z z z z z -------•===-+-- （1）当收敛域0.52z <<时，0n ≥，c 内有极点0.5，
()Re [(),0.5]0.52n n x n s F z -===,0,n <
c 内有极点0.5,0,但0是一个n 阶极点,改求c 外极点留数,c 外极点只有2,
()Re [(),2]2n x n s F z =-=,
最后得到
()2()2(1)2
n
n n x n u n u n --=+--=
（2（当收敛域2z >时，
0,n ≥c 内有极点0.5,2,
()Re [(),0.5]Re [(),2]x n s F z s F z =+
30.5(2)
22(0.5)(2)
0.52n
n
n n z z z z z -•=+-=--=-
0,n <c 内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n 阶极点,改成求c 外极点留
数,可是c 外没有极点,因此()0x n =, 最后得到
()(0.52)()n n x n u n =-
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
()(),()(),01,01n n x n a u n h n b u n a b ==<<<<，
试：
（1）用卷积法求网络输出()y n ； （2）用ZT 法求网络输出()y n 。

解：
（1）用卷积法求()y n
()()()()()m
n m m y n h n x n b
u m a u n m ∞
-=-∞
=*=
-∑，0n ≥,
1111
1
1()1n n n n n
n
n m m
n
m m
n
m m a b a b y n a
b a a b a a b a b --+++---==--====--∑∑，0n <，()0y n = 最后得到
11
()()n n a b y n u n a b
++-=-
（2）用ZT 法求()y n
11
11
(),()11X z H z az bz
--=
=-- ()()
111
()()()11Y z X z H z az bz --==
--
1
1
()()2n c
y n Y z z dz j π-=
⎰
令()()11
1
11
()()()()
11n n n z z F z Y z z
z a z b az bz -+---===---- 0n ≥,c 内有极点,a b
1111
()Re [(),]Re [(),]n n n n a b a b y n s F z a s F z b a b b a a b
++++-=+=+=---
因为系统是因果系统，0n <,()0y n =，最后得到
11
()()n n a b y n u n a b
++-=-
28. 若序列()h n 是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
2
1cos (),112cos jw R a w
H e a a a w
-=
<+- 求序列()h n 及其傅里叶变换()jw H e 。

解：
221cos 10.5()
()12cos 1()
jw jw jw
R jw jw
a w a e e H e a a w a a e e ----+==+-+-+ 121110.5()10.5()
()1()(1)(1)
jw jw R a z z a e e H z a a z z az az -----+-+==+-+--
求上式IZT ，得到序列()h n 的共轭对称序列()e h n 。

11
()()2n e R c
h n H z z dz j π-=
⎰
21
1
1
0.50.5()()()()
n n R az z a F z H z z
z a z a z a ----+-==--- 因为()h n 是因果序列，()e h n 必定是双边序列，收敛域取：1a z a -<<。

1n ≥时，c 内有极点a ,
211
0.50.51()Re [(),]()()()
2n n
e az z a h n s F z a z z a a z a a z a z a ---+-==-==--- n=0时，c 内有极点a ,0，
21
1
10.50.5()()()()
n R az z a F z H z z
z a z a z a ----+-==--- 所以
()Re [(),]Re [(),0]1e h n s F z a s F z =+=
又因为
()()e e h n h n =-
所以
1,0()0.5,00.5,0n e n n h n a n a n -=⎧⎪
=>⎨⎪<⎩
1,0(),0
()2(),0,0()0,00,0e n n e n h n n h n h n n a n a u n n n =⎧⎫=⎧⎪⎪⎪
=>=>=⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭
01
()1jw
n jwn jw
n H e a e ae ∞
--===
-∑
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N 点DFT,在变换区间01n N ≤≤-内,序列定义为 （2）()()x n n δ=；
（4）()(),0m x n R n m N =<<； （6）2()cos(
),0x n nm m N N
π
=<<； （8）0()sin()()N x n w n R n =•； （10）()()N x n nR n =。

解：
（2）1,,1,0,1)()()(1
1
-====∑∑-=-=N k n W n k X N n N n kn N
δδ
（4）1,,1,0,)
sin(
)sin(
11)()
1(1
-==--=
=---=∑N k m N
mk N
e
W
W W
k X m k N
j
k N
km N N n kn N
π
π
π
10,,0,1
1111212121)(2)(2)(2)(210
)(210)(2-≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠-===⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡
--+--=+=+-+----=+--=-∑∑N k m
N k m k m N k m k N e e e e e e k m N j N k m N j k m N
j N k m N j N n n k m N j N n n k m N j 或且ππ
πππ
π
（6）kn N j mn N
j N n mn N j N n kn N e e e W mn N k X π
πππ221021
0)(2
12cos )(---=-=+=•⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑
（8）解法1 直接计算
[]
)(21)()sin()(0008n R e e j
n R n w n x N n jw n
jw N --=
= []
∑∑-=---=-==10
210
80021)()(N n kn N j n
jw n jw N n kn
N
e e e j W n x k X π
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+--=+--∑)2()2(102200000011112121k N
w j N jw k N w j N jw N n n N w j n N w j e e e e j e e j π
πππ）（）（
解法2 由DFT 的共轭对称性求解 因为
[])()sin()cos()()(0070n R n w j n w n R e n x N N n jw +==
[])(Im )()sin()(708n x n R n w n x N ==
所以
[][][])()(Im )(7078k X n x j DFT n jx DFT ==
即
[]
)()(2
1)()(77708k N X k X j
k jX k X ---=-=*
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=+-*---)11(1121)11(1121)2()2()(2()2(0
0000000k N
w j N jw k N w j N jw k N N w j N jw k N w j N jw e e e e j e e e e j π
πππ结果与解法1所得结果相同。

此题验证了共轭对称性。

（10）解法1
1,,1,0)(1
0-==∑-=N k nW k X N n kn
N
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。

因为 )()(n nR n x N =
所以 )()()())1(()(n R n N n R n x n x N N N =+•--δ 等式两边进行DFT 得到
)()()(k N N W k X k X k
N δ=+-
故 1,2,1,1]
1)([)(-=--=
N k W k N k X k
N
δ 当0=k 时，可直接计算得出X （0）
2)
1()0(1
100
-==*=∑∑-=-=N N n W n X N n N n N
这样，X （k ）可写成如下形式：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧-=--=-=1,2,1,10,2)
1()(N k W N k N N k X k N
解法2
0=k 时，
2
)
1()(1
0-=
=∑-=N N n k X N n
0≠k 时，
N
N W N W
k X W k X N W N W W W k X W W N W W W k X N n kn
N N n kn N
kn
N
k N N k N k N k N kn N k
N N
k N k N k N -=---=--=--+-+++++=-+++++=∑∑-=-=--1
1
1
)1(432)1(32)1(1)1()()()
1()2(320)()1(320)(
所以，
0,1)(≠--=
k W N
k X k
N
即
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧-=--=-=1,2,1,10,2)
1()(N k W N k N N k X k N 2. 已知下列()X k ，求()[()];x n IDFT X k =
（1）,2(),2
0,j j N e k m N X k e k N m k θ
θ
-⎧=⎪⎪
⎪==-⎨⎪⎪⎪⎩其它;
（2）,2(),2
0,j j N je k m N X k je k N m k θ
θ
-⎧-=⎪⎪
⎪==-⎨⎪⎪⎪⎩
其它
解： （1）
=
1,1,0),2cos(212211
)]([)()
2()2()(221
-=+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+==
=+-+---=-∑N n mn N e
e e e N e e N N
W
N k X IDFT n x mn N
j mn N
j n m N N j j mn N j j N n kn N
θπθπθππθπθ
（2）
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=
----n m N N j mn N j W e N W je N N
n x )(221
)(θθ 1,1,0),2sin(21)2()2(-=+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=+-+N n mn N e e j mn N j mn N j θπθπ
θπ
3. 长度为N=10的两个有限长序列
11,04()0,59n x n n ≤≤⎧=⎨
≤≤⎩ 21,04
()1,59
n x n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 作图表示1()x n 、2()x n 和12()()()y n x n x n =⊗。

解：
1()x n 、2()x n 和12()()()y n x n x n =⊗分别如题3解图（a ）、（b ）、（c ）所示。

14. 两个有限长序列()x n 和()y n 的零值区间为:
()0,0,8()0,0,20x n n n
y n n n
=<≤=<≤
对每个序列作20点DFT,即
()[()],0,1,,19
()[()],0,1,,19
X k DFT x n k Y k DFT y n k ====
如果
()()(),0,1,,19
()[()],0,1,,19
F k X k Y k k f n IDFT F k k =•===
试问在哪些点上()()*()f n x n y n =，为什么？ 解：
如前所示，记()()*()f n x n y n =，而)()()]([)(n y n x k F IDFT n f ⊗==。

)(n f l
长度为27，)(n f 长度为20。

已推出二者的关系为
∑∞
-∞
=•+=
m l
n R
m n f n f )()20()(20
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足)()(n f n f l =所以
197),()()()(≤≤*==n n y n x n f n f l
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率为1kHZ ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间min p T ； （2）最大取样间隔max T ； （3）最少采样点数min N ；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N 值。

解：
（1）已知HZ F 50=
s F T p 02.050
11min ===
（2）ms f f T 5.010
21
2113
max min
max =⨯==
= （3）40105.002.03
min =⨯=
=
-s
T
T N p
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s 实现频率分辨率提高一倍（F 变为原来的1/2）
805.004.0min ==
ms
s
N 18. 我们希望利用()h n 长度为N=50的FIR 滤波器对一段很长的数据
序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT 来实现。

所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V 个点，然后计算各段与()h n 的L 点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列()m y n ，m 表示第m 段计算输出。

最后，从()m y n 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出()y n 。

（1）求V ； （2）求B ；
（3）确定取出的B 个采样应为()m y n 中的哪些采样点。

解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列()m y n 的序列标号为0，1，2， (127)
先以()h n 与各段输入的线性卷积)(n y lm 考虑，)(n y lm 中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列)(n y 的一段，即B=51。

所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的)(n y ，必须重叠100-51=49个点，即V=49。

下面说明，对128点的循环卷积()m y n ，上述结果也是正确的。

我们知道
∑∞
-∞
=•+=
r lm
m n R r n y
n y )()128()(128
因为)(n y lm 长度为
N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域， )()(n y n y lm m =，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的()m y n 。

综上所述，总结所得结论
V=49,B=51
选取()m y n 中第49~99点作为滤波输出。

5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
311
()(1)(2)()(1)483
y n y n y n x n x n -
-+-=+-， 试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：
311
()(1)(2)()(1)483
y n y n y n x n x n -
-+-=+- 将上式进行Z 变换
121311
()()()()()483
Y z Y z z Y z z X z X z z ----+=+
1
12113()31148
z H z z z ---+=
-+ （1）按照系统函数()H z ，根据Masson 公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。

（2）将()H z 的分母进行因式分解
1
12113()31148
z H z z z ---+=
-+
1
11113
11(1)(1)
24
z z z ---+=
--
按照上式可以有两种级联型结构：
(a) 1
111113()11(1)(1)
24
z H z z z ---+=•
-- 画出级联型结构如题1解图（二）（a ）所示
(b) 1
111
113()11(1)(1)
24
z H z z z ---+=•-- 画出级联型结构如题1解图（二）（b ）所示 （3）将()H z 进行部分分式展开
1
111
13
()11(1)(1)
24z H z z z ---+=
--
1()31111()()2424z H z A B z z z z z +
==+
---- 11103()11123()()224
z A z z z z +
=-==-- 1173()11143()()424z B z z z z +
=-=-=-- 107
()
331124
H z z z z =---
11
1071073333()1111112424
z z H z z z z z ---
=-=+
----
根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。

2. 设数字滤波器的差分方程为
()()(1)(2)(2)()(1)()y n a b y n aby n x n a b x n abx n =+---+-++-+，
试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。

解：
将差分方程进行Z 变换，得到
1221()()()()()()()()Y z a b Y z z abY z z X z z a b X z z abX z ----=+-++++
12
12
()()()()1()Y z ab a b z z H z X z a b z abz
----+++==-++ （1）按照Massion 公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。

（2）将()H z 的分子和分母进行因式分解：
111211
()()
()()()(1)(1)
a z
b z H z H z H z az bz ----++==-- 按照上式可以有两种级联型结构：
(a) 111
()1z a
H z az
--+=- 121
()1z b
H z bz --+=-
画出级联型结构如题2解图（二）（a ）所示。

(b) 111
()1z a H z bz --+=-
121
()1z b
H z az
--+=- 画出级联型结构如题2解图（二）（b ）所示●。

3. 设系统的系统函数为
1121124(1)(1 1.414)
()(10.5)(10.90.18)
z z z H z z z z ------+-+=-++，
试画出各种可能的级联型结构。

解：
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

12()()()H z H z H z =
（1） ()111
41()10.5z H z z --+=
-，
12
212
1 1.414()10.90.81z z H z z z -----+=-+
画出级联型结构如题3解图（a ）所示●。

（2） 12
11
1 1.414()10.5z z H z z
----+=-, ()121
2
41()10.90.81z H z z z
---+=
-+
画出级联型结构如题3解图（b ）所示。

4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。

图d 解：
(d) 12345()()[()()()]()h n h n h n h n h n h n =*+*+ 121345()()()()()()h n h n h n h n h n h n =*+**+
121345()()()()()()()H z H z H z H z H z H z H z =++
5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。

图d 解：
(d) 1
11222222sin ()1cos cos sin cos r z H z r z r z r z r z θθθθθ-----•=-•-•+•+•
1
122
sin 12cos r z r z r z θθ---•=-•+
2()2cos (1)(2)sin (1)
y n r y n r y n r x n θθ=---+•-
6. 写出图中流图的系统函数。

图f 解：
(f) 1112121122242()1313114848
z z H z z z z z ------+
•+==-+-+ 8．已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为()()(1)(4)h n n n n δδδ=--+-，试用频率采样结构实现该滤波器。

设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。

解：
已知频率采样结构的公式为
1
1
01
()
()(1)1N N
k k N H k H z z
N
W z
----==--∑ 式中，N=5
1
4
00()[()]()[()(1)(4)]N kn kn
N
N n n H k DFT h n h n W
n n n W δδδ-=====--+-∑∑ 2
85
5
1,0,1,2,3,4j k j k e
e
k ππ--=-+=
它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2 教材第六章习题解答
1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。

求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。

解：
（1）求阶数N 。

lg lg sp sp
k N λ=-
0.0562sp k ==≈
33
2121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯
将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得
lg 0.0562
4.15lg 2
N =-
= 所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。

）
（2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为
5
4
3
2
1
() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611
a H p p p p p p =
+++++
或 221
()(0.6181)( 1.6181)(1)
a H p p p p p p =
+++++
当然，也可以按（6.12）式计算出极点:
121()
22,0,1,2,3,4k j N
k p e
k π++==
按（6.11）式写出()a H p 表达式
4
1
()()
a k k H p p p ==
-
代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。

由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此
()()
a a c
H s H p s p ==
Ω
5
54233245
3.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c c c c
s s s s s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω 对分母因式形式，则有
()()
a a c
H s H p s p ==
Ω 5
2222(0.6180)( 1.6180)()
c c c c c c s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω
如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率3p f kHz =，通带最在衰减速0.2p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减
50s a dB =。

求出归一化传输函数()a H p 和实际的()a H s 。

解：
（1）确定滤波器技术指标：
0.2p a dB =，32610/p p f rad s ππΩ==⨯
350,22410/s s s a dB f rad s ππ=Ω==⨯
1,4s
p s p
λλΩ==
=Ω （2）求阶数N 和ε：
1()
()s Arch k N Arch λ-=
1
1456.65k -=≈ (1456.65)
3.8659(4)
Arch N Arch =
=
为了满足指标要求，取N=4。

0.2171ε==
（2）求归一化系统函数()a H p
4
1
11
1
1
()2()
1.7386
()
a N
N k k k k H p p p p p ε-===
=
•--
其中，极点k p 由(6.2.38)式求出如下：
(21)(21)()sin(
)()cos(),1,2,3,422k k k p ch jch k N N ππ
ξξ--=-+= 1111()()0.558040.2171
Arsh Arsh N ξε==≈ 1(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.4438 1.071588p ch jch j ππ
=-+=-+
233(0.5580)sin()(0.5580)cos() 1.07150.443888p ch jch j ππ
=-+=-+
355(0.5580)sin()(0.5580)cos() 1.07150.443888p ch jch j ππ
=-+=--
477(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.4438 1.071588
p ch jch j ππ
=-+=--
（3）将()a H p 去归一化，求得实际滤波器系统函数()a H s
()()
a a c
H s H p s p ==
Ω 4
4
4
4
111.7368()
1.7368()
p p p k k k k s p s s ==ΩΩ=
=
-Ω-∏∏
其中3610,1,2,3,4k p k k s p p k π=Ω=⨯=，因为4132,p p p p =*=*，所以
4132,s s s s =*=*。

将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因
子的形式，其系数全为实数。

16
2
2
2
2
11227.268710()(2Re[])(2Re[])
a H s s s s s s s s s ⨯=
-+-+
16
2
482487.268710( 1.673110 4.779110)( 4.039410 4.779010)s s s s ⨯=+⨯+⨯+⨯+⨯
4. 已知模拟滤波器的传输函数()a H s 为： (1)22
()()a s a
H s s a b +=++；
(2)22
()()a b
H s s a b
=
++。

式中，a,b 为常数，设()a H s 因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器()H z 。

解：
该题所给()a H s 正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。

所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的
()a H s 的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T 。

（1）22
()()a s a
H s s a b
+=
++ ()a H s 的极点为：
1s a jb =-+，2s a jb =--
将()a H s 部分分式展开（用待定系数法）：
1222
12
()()a A A s a
H s s a b s s s s +=
=+++-- 1221121221
2222
()()()()()A s s A s s A A s A s A s s a b s a b
-+-+--=
=++++ 比较分子各项系数可知： A 、B 应满足方程：
1212211
A A A s A s a
+=⎧⎨
--=⎩ 解之得
1211,22
A A ==
所以
2
1()1()110.50.5()111k k s T a jb T a jb T k A H z e
z e z e z --+----===+---∑
11
22()()()
a H s s a j
b s a jb =+--+--- 2
1()1()1
1
0.50.5
()111k k s T a jb T a jb T k A H z e z e z e z --+----===+---∑
按照题目要求，上面的()H z 表达式就可作为该题的答案。

但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。

由于两个极点共轭对称，所以将()H z 的两项通分并化简整理，可得
1122
1cos()()12cos()aT aT aT z e bT H z e bT z e z -------=-+
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，
且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。

（2） 22
()()a b
H s s a b =
++
()a H s 的极点为：
1s a jb =-+，2s a jb =--
将()a H s 部分分式展开：
1122()()()
a j j H s s a j
b s a jb -=+-----+ ()1
()1
0.50.5()11a jb T a jb T j j
H z e z
e z
----+--=
+-- 通分并化简整理得
1122
sin()
()12cos()aT aT aT z e bT H z e bT z e z ------=-+
5. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）21
()1
a H s s s =++；
（2）21
()231
a H s s s =
++试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其
转换为数字滤波器，设T=2s 。

解：
（1）用脉冲响应不变法 ①21
()1
a H s s s =
++
方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，()a H s 的极点为：
10.52s j
=-+
，20.52
s j =--。