5-1定积分的概念及性质

x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
一点 i （ i x i ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f ( i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b]
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
解决步骤小结 :
a
n
x i i x i 1
记
.
b
b a
S = lim f ( i ) . x i
i 1
.

f ( x ) dx
.
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
(n 1)3 n3 3n 2
3n
1
n3 (n 1)3 3(n 1) 2 3(n 1) 1

23 13 3 12
两端分别相加, 得
3 1
1
(n 1)3 1 3(12 22 n 2 ) 3(1 2 n) n
x
.
4 取极限
令分法无限变细
b
.
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S i f ( i )x i
S
o x
.
3 求和(积零为整)
S f ( i )x i
i 1 n
.
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
y
o a
x1
x i 1 i xi
x n 1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f ( i ) 为高的小矩形面积为
i 1
n
取q 2 即 q 2
n
1 n
f ( i )xi n(2
i 1
1 x
n
1 n
1),
1 x
2 1 lim x ( 2 1) lim ln 2, x x 1 1 x n lim n( 2 1) ln 2,
n
1
2
1 1 dx lim xi lim n( 2 1) ln 2. 0 i 1 n x i
o a
xi 1xi
bx
ba 1 ( y0 yn ) ( y1 yn1 ) (梯形公式) n 2
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森 公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.
例4
设函数 f ( x ) 在区间[0,1]上连续，且取正值.
1) 分割(大化小)： 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 以直代曲：在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y (常代变) 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得
x i
1 x dx
0
p p p
1
i
1
x i
0
i 1 i n n
x
n 1 2 n i p1 (2) lim lim p 1 n n i 1 n n n
x p dx
0
1
i
说明: 设 f ( x) C[a, b] , 则
分定义可得如下近似计算方法:
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
n
积分和
积分下限
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
a f ( x )dx a f ( t )dt a f ( u)du
i 的取法是任意的. （2）定义中区间的分法和
（3）当函数 f ( x ) 在区间 [a, b] 上的定积分存在时，
x i i x i 1
xn1 b
x
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
2 以直代曲 (以常代变)
S i f ( i )x i
1 分割(化整为零)
3 求和(积零为整)
S f ( i )x i
i 1 n
.
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i 1
即
n 3n 3n 3
3 2
n

2 1 n (n 1)(2n 1) i 6 i 1
n
i 1
n ( n 1) i 3 2 n
2
例2
利用定义计算定积分
2
1
2
1 dx . x
n 1
解 在[1,2] 中插入分点 q , q , , q
典型小区间为[q
i 1
,
, q i ] ，（i 1,2, , n ）
试证 lim n
n
1 f n
2 n f f n n
ln f ( x ) dx e0 .
3、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
A3
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
A1
A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
b
A3 A4
各部分面积的代数和
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
特殊乘积和式的极限
求和(近似和) , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
二、定积分的定义
在[a , b]中任意插入 1. 定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界，
若干个分点
a x x x x
0 1 2
n 1
x b
n
把区间[a , b ]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
i i 1
小区间的长度xi q q
取 i q
i 1
q (q 1),
i 1
，（i 1,2,, n ）
n

i 1
n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 i i 1 q
1
n
(q 1) n(q 1)
0 n
2
0 x
1
2
dx lim i xi
0 i 1
n
y
yx
2
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
o
i n
1x
[注] 利用 (n 1)3 n3 3n 2 3n 1 , 得




例1
利用定义计算定积分
y
0 x dx .
2
1
yx
2
i o 1x i n 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2,, n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，( i 1,2,, n ) n 取 i xi ，(i 1,2,, n )
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi 1 , xi ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分， 记为
积分上限
f ( i )xi a f ( x )dx I lim 0 i 1

i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
2 i 1
i 1
n
n
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
2 以直代曲 (以常代变)
S i f ( i )x i
1 分割(化整为零)
3 求和(积零为整)
S f ( i )x i
i 1 n
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x 2
o a
x1
xi 1 xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
i
3) 求和(近似和)：.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
第五章 定积分
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
教学目的与要求：
• 理解定积分的概念 • 了解定积分的几何意义 • 重点： 定积分的概念
一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
y f ( x)
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
xo
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
解决步骤:
1)分割(大化小).
将它分成
n 个小段 在每个小段上物体经
过的路程为
2)以直代曲(常代变). 得
si v( i )t i
(i 1, 2,, n)
3)求和(近似和).
4) 取极限 .
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 : “分割(大化小) ,
以直代曲(常代变) ,
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
b
(右矩形公式)
y
3.
a f ( x) dx

n 1 i 1
b
1 [ yi 1 yi ]x 2
a
b
f ( x) d x 存在 , 根据定积
a, 将 [a , b] 分成 n 等份: x b n
y
xi a i x (i 0 ,1,, n) 记 f ( xi ) yi (i 0 ,1,, n)
1.
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
b
b
b
2. 可积的充分条件:
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
n
1 n
例3. 用定积分表示下列极限:
1 i (1) lim 1 n n i 1 n
n
1p 2 p n p (2) lim n n p 1
n 1 n i i 1 解: (1) lim 1 lim 1 n n i 1 n n i 1 n n