信号与线性系统分析1.3-1.4

2、用单位阶跃信号描述其他信号 （1）门函数：也称窗函数
门函数特点:宽度为，幅度为1。
g(t)
1
g (t ) (t

2
) (t

2
-/2
0 /2
sgnt
t
)
（2）符号函数：(Signum)
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
O
t
sgn(t ) u (t ) u (t ) 2u (t ) 1
是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。
例：若f(t)=4t2-1,则有
1 1 1 1 [4t 1] (t ) (t ) 4 2 4 2
2
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t ) (t ) f (0) (t )
（5）冲激偶
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t )



(t ) d t 1
r(t) =
3、冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶（一阶导） 4．标度变换
sin t
sint
t
t sin8t
sin 8t
t sin t sin 8t
t
sint sin8t
t
t
例1 已知序列f1(k)和f2(k)求二者之和以及二者之 积
2 , k 0 ; f 2(k ) 0,k 2 f 1(k ) 2 k ,k 2 k 1, k 0
1 [ f (t )] [ f '(ti )(t ti )] (t ti ) | f '(ti ) |
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti
处f’(ti)0，则在t=ti附近有： n 1 (t ti ) ※ [ f (t )] i 1 | f '(ti ) |
3. 尺度变换（横坐标展缩）
• 将f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 • 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩至原来的1/a； • 若0< a < 1 ，则展宽为原来的1/a倍。如
※ 对于离散信号：由于f
(a k) 仅在为a k 为整数时才有意义，
进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。（课本P11） 因此一般不作波形的尺度变换。
k


二．信号的自变量的变换（波形变换）
1.信号的移位 2.信号的反褶 3.信号的展缩（尺度变换） 4.一般情况（三者结合）
1．信号的平移（或移位）
（1）对于连续信号：将信号f t 沿 t 轴平移 即 得时移信号 f t , 为常数
① > 0，右移(滞后) ② < 0，左移(超前)
（3）r(t)=t(t),斜升函数
1
O
R(t )
1
t
二、冲激函数（难点）
1、定义
（1）狄拉克定义：
（2）极限直观定义：对γ n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
冲激函数可描述为：高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄 脉冲。单位冲激函数是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理 想化模型。
（1）抽样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t ) f (t ) f (0) (t )




(t ) f (t ) d t f (0)
对于移位情况：
(t ) f (t t 0 ) f (t0 ) (t )


(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
2、冲激函数的导数和积分
（1 ）冲激函数的导数
●一阶导数δ’(t)也称冲激偶，定义为：
移位



'


' (t ) f (t )dt f ' (0)
源自文库
(t t1 ) (t )dt (t1 )
'
●
(t )
(n)
的定义：
例题
（2 ）冲激函数的积分



'(t )dt 0
上节课习题 判断以下各信号是否具有周期性， 若是，确定其对应周期。 （1）f(t)=cos8t-sin12t; （2）f(t)=cos2t+2sinπt; （3）f(k)=cosωk, ω为正整数; （4）f(k)=cosπk/4 +2sin4πk
§1.3 信号的运算
一．两信号相加和相乘
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
( t ) (t )
1 1 ( at ) (t ) a a



f (t ) (t ) d t f (0)
（2）奇偶性 (t ) (t ) （3）尺度变换性 1 (at ) t a （4）微积分性质 d u (t ) t (t ) ( ) d u(t ) dt
（3）冲激函数的广义函数定义 根据广义函数理论，冲激函数 (t ) 由式子
来定义，即冲激函数作用于检验函数 (t ) 的效果是给它赋值 (0) 这也常称为冲激函数的取样性质或筛选性质。 移位



(t ) (t )dt (0)



(t t1 ) (t )dt (t1 )
4．一般情况 f t f at b f at b a 设a 0 先展缩：a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位 加上倒置：f at b f at b a 注意！
注意所有变换始终都是对时间t进行的。 三种运算的次序可任意。
（2） 对(t)的尺度变换
1 at t a 冲激偶的尺度变换
1 1 at t a a

(k )
1 1 (k ) k at t a a
（3）奇偶性
冲激函(t) 的偶数阶导数是偶函数； (t)的奇数阶导数为奇函数






t
(t ) d t 0
(t ) d t (t )
f (t ) (t ) d t f (0)


(t ) d t 1
例：已知f(t) = 2ε (t +1)-2ε (t -1) 求 f′(t)
解：f′(t) = 2δ (t +1)-2δ (t -1)
f t 1
O
1
t
2
t
平移与反转相结合
• 已知f(t)如下图所示，请画出f(2-t)
法一：①先平移f (t) → f (t +2),
②再反转f (t +2) → f (– t +2)
• 法二：①先反转
f (t) → f (– t)
②再平移
f (– t) → f (– t +2)= f [– (t – 2)]
（2）对于序列:将序列f(k)沿k轴平移 k 0 单位， ①k 0 > 0，右移(滞后) 得到f(k- k 0 ) ②k 0 < 0，左移(超前)
▲
平移规律：“左加右减”
例：
2．反褶（反转）
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
f (t ) f ( t )
例：
2
f t 1 1 O
（4）复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，
其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互 不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)； •f(t)可以展开成泰勒级数
'
1 2 f (t ) f (ti ) f (ti )(t ti ) f ''(ti )(t ti ) ... 2 ' f (ti )(t ti )
例



(5t ) f (t )dt ?
1 f 0 5
例：已知f (t)，画出f (– 4 – 2t)。
可以先平移、再压缩、最后反转。
也可以先压缩、再平移、最后反转。
1.4 阶跃函数和冲激函数
• 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究
奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。
一、阶跃函数
1、单位阶跃函数定义
选定一个函数序列yn(t)如图所示。