空间直线与平面平行的性质

M
B
求证：AP∥GH。 P
M
D
G
C
H
A
N
B
直线l∥平面α，平面α内的所有 直线和直线l有那些位置关系。
l
eb

cd
平行或异面
直线l∥平面α，α内一定有直线
与l平行。 你能快速地找出一条，且
有理由保证它与l平行吗？
l
β

m
直线 l∥ 平面α
β
l
l ∥m
m
α
直线与平面平行的性质定理：
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。
是 AB, PC 的中点，
l 是面 PAD 与面 PBC的交线， （1）求证：BC // l
（2）求证：MN // 面PAD.
P
N
D
C
A MB
符号表示：
a //, a , b
作用： 可证明两直线平行。
a // b
β
a
α
b
欲证“线线平行”，可先证明“线面平 行”。
已知:直线a , a , b
求证:a // b
证明：Q a //
a与没有公共点 a
又因为b在内
a与b没有公共点
b
又Q a与b都在平面内
线a，b。
B
求证：a∥b
A

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例题示范
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的
一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所 画的线和面AC有什么关系？
解：（1）过点P作EF∥B’C’， 分别交棱A’B’，C’D’于点E，
F。连接BE，CF，则
填空：
（1）若两直线a、b异面，且 a ∥ α,则b与
α的位置关系可能是 b∥α，或b α， 或b与 α相交
（2）若两直线a、b相交，且a ∥ α，则b与 α的位置关系可能是 b ∥ α，b与 α相交
3．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与
这条直线平行.
（真）
（2）过平面外一点只能引一条直线与
的位置关系？
ßγ n
l
已知：平面，ß ，γ ， ∩ß =l, ɑ ∩ γ =m, ß ∩ γ =n,且l// m
求证： n// l ，n// m
m
证明：l// m
l γ mγ
l// γ l ß
n// l
ß ∩ γ =n
同理， n// m
练习：
1、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
的性质 ❖ ４．利用线段成比例的关系 ❖ ５．利用直线和平面平行的性质
1，P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为
AB，PD上的中点
。
P
求证：MN∥平面PBC。
N
Q
2，ABCD是平行四边形，P
是平面ABCD外一点，M D
C
是PC的中点，在DM上取
一 交点平G面，BD过MG于和GAHP。作平面 A
例题示范
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α,a,b都在平面 α外.求证:b//α.
证明:过a作平面β,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β,α Çβ=c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
例3 求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且 其中两条直线相平交行，那么第三条直线也和和这它两们条平直行线。有怎样
复习：线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行，那么这条直线和这个平面平行。
a
a
b
a∥
a∥ b
b

注明：
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记：线线平行，则线面平行。 3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找
一条线，使线线平行。
如何寻找互相平行的直线
❖ １．在三角形中利用中位线 ❖ ２．利用平行四边形做载体 ❖ ３．利用平行四边形、矩形对角线互相平分
线//线
线//面
面//面
要证 a // ，通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
作业：
1. P 是 YABCD所在平面外一点，E, F 分别 是 AB, PD 的中点，求证：AF // 面PEC.
P F
A
B
E
D
C
2. P 是 YABCD所在平面外一点，M , N 分别
这个平面平行.
（假）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，
则这两条直线平行.
（假）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，
则这两条直线平行.
（真）
小结
线面平行的判定定理 线线平行 线面平行
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理 线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直 线作一个平面.应用线面平行性质定理的要诀： “见到线面平行，先过这条直线作一个平面找 交线”.
证明线面平行的 转化思想：
强调
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行
课堂练习：
（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
其中正确命题的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
练习：
2。如果一条直线和一个平面平行，则这条直线 （ D）
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
画出过G和AP的平面。 P
M
G
D
C
H
O
A
B
2.已知直线a,b和平面α，下列命 题正确的是（ D）
A.若a // ,b ,则a // b B.若a // ,b // ,则a // b C.若a // b,b ,则a // D.若a // b, a //,则b //或b
A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
练习：
3、如果两个相交平面分别经过两条平行直线中 的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
l
a
b
α
β
4.已知：直线AB∥平面α,经过AB的
两个平面β和γ分别和平面α交于直
EF，BE，CF就是应画的线。
D1
E
C1
P
A1
F
B1
D
C
B A
例题示范
例1：有一块木料如图，已知棱
BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面
A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应
怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平 面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知， EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF平面AC,BC平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
例题示范
例2：已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
第一步:将原题改写成数学 符号语言
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α,a,b都在平面 α外.求证:b//α. 第二步:分析：怎样进行平 行的转化？→如何作辅助平 面？
第三步:书写证明过程
且没有公共点
a // b
直线和平面平行的判定定理:
直线与直线平行
直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理:
注意:
平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行； 但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面 内与它共面的直线平行．