关于蹦极的受力分析及数学建模

关于蹦极的受力分析及数学建模

摘要

本文对人在蹦极跳过程中受到的重力、拉力和空气阻力等，分阶段进行了详细的受力分析，并根据牛顿第二定律，利用微分的理念证明了在人的质量和弹簧绳长度确定的条件下，蹦极者能够达到的最大速度和弹簧绳最大拉伸长度是一定的（选择不同的绳长可以获得不同的最大速度，得到不同的刺激体验）。

其次，分别在忽略或考虑空气阻力影响（数据借鉴自华东师大研究生数学建模比赛题目的条件）的基础上，探讨了蹦极过程中质量，绳长和最大速度，弹簧绳最大伸长量之间的关系。

利用这个模型，蹦极活动经营者可以改进服务，让消费者可以根据自身体重选择合适的弹簧绳长度，得到自己能够接受的最大速度和下跳深度，让蹦极运动成为一种可“自选式的”刺激体验。让更多的消费者接受。

关键词

数学建模 MATLAB 蹦极

前言

蹦极（bungee jumping ）是从国外开始流行、传入我国的一项运动, 由于蹦极时失重、速度与加速度带给人感官的极度体验, 使得这项运动深受喜欢刺激和冒险的青年的青睐。目前的蹦极塔多选在悬崖或水库上，让跳蹦极的人在跳下后第一次能“差一点儿”碰到水面，带给人最大的感官刺激。虽然保证安全，但是能够享受这样强烈刺激的人毕竟是很少数，所以至今蹦极也还被归类为极限运动，一定程度上限制了其推广。

本文根据牛顿第二定律，对蹦极者在运动过程中受到的重力、拉力和空气阻力等进行受力分析，找到最大速度Vmax 和蹦极者质量m 、弹簧绳长度L 之间的关系。根据分析建立起来的数学模型，可以指导蹦极经营者对现有设施稍作修改，让蹦极者可以“自选”能够接受的最大速度和下跳深度，让更广大的消费者人群能够体验蹦极运动带给人的刺激和乐趣。

忽略空气阻力条件下，在蹦极者下落过程中，其受力与运动情况在不同的阶段下是不相同的：

第一阶段，弹簧绳没有全部展开，蹦极者所受弹簧拉力为零，做自由落体运动； 第二阶段，弹簧绳开始被拉伸，蹦极者开始受到向上的弹力，蹦极者下落速度虽仍在增加，但加速度减小；

第三阶段，弹簧绳拉力和重力相等，此时加速度为零，蹦极者速度达到最大值； 第四阶段，弹簧绳继续被拉伸，弹力开始大于重力。蹦极者下落速度减小，直到为零时，达到最低位置。

之后蹦极者会在弹力作用下回升并再次下落，经过几个来回后静止下来。但最大速度和弹簧绳伸长量都不会超过初次下落。所以计算蹦极者的最大速度，就考虑初次下落即可。

分析及推导

一、不考虑空气阻力时推导蹦极者的最大速度和下跳深度

设蹦极绳长为L ，初速度00=v ，则 22

1gt L =

蹦极绳长全部展开时人的速度为 ：Lg v L 2=

之后，人不仅受到重力，还受到绳的拉力，加速度在减小，速度仍在增加，直至加速度为0时，速度最大。

设加速度为0时，蹦极绳被拉长量ΔL ，此时 L kg mg ∆=，即k

m

L =

∆ （ k= 千克/米 [1]) 为了求解最大速度，将L ∆平均分成n 小份，每一小份中，认为绳的拉力相同，人的加速度相同。

在第一小份中，认为g a =1，则

21112

1

t a t v n L

L ∆+∆=∆， 其中1t ∆为绳子第一次拉长

n

L ∆所需的时间，对上式求解得到：

g

n L g v v a n L a v v t L L L L ∆+

+-=∆+

+-=

∆222

112

1 所以，绳子拉长

n

L ∆时的速度为： n

L

g v t g v t a v v L

L L L ∆+=∆+=∆+=+221111。 在第二小份中，同样认为人的加速度也相同，由2ma n

L

kg mg =∆-，得 mn

L

kg g a ∆-=2 则

2

22212

1t a t v n L L ∆+∆=∆+， 其中2t ∆为绳子第二次拉长

n

L ∆所需的时间，对上式求解得到：

2

22

1122a n L

a v v t L L ∆+

+-=

∆++

所以，绳子拉长

n

L ∆2时的速度为：

n L

a v t a v v L L L ∆+=∆+=+++22

122122。 以此类推，绳子拉长L ∆时的速度为： n

L

a v t a v v n n L n n n L n L ∆+

=∆+=-+-++22

11， 其中mn

L

n kg g a n ∆--

=)1(。n L v +就是蹦极人能够达到的最大速度Vmax 。

蹦极人达到最大速度之后，继续下落时，绳子继续拉长，拉力大于重力，人受到的合力向上。因此蹦极人达到最大速度之后，加速度向上，速度开始下降，速度降为0时，蹦极人下落到最低点。为了求得这一最低点，仍然可以将蹦极人达到最大速度之后的下落段分成若干小段，例如设每一小段为d ＝，在每一小段内仍然认为加速度不变。与上述计算过程类似，可以依次求得每一下落小段的末速度，当末速度小于等于0时，记下此时下落了n 小段，即求得蹦极人达到最大速度之后的下落距离为d n ⨯，从而求得蹦极人下落的最大距离为：d n L L ⨯+∆+。

综上可见，如果人的质量、蹦极绳长、蹦极绳的弹性系数一定，蹦极人能够达到的最大速度和下落的最大距离就一定。换言之，消费者可以根据自己的体重，选择合适的弹簧绳长度来获得不同的最大速度，得到不同的刺激感受。

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二、考虑空气阻力时计算人的质量、绳长与能够达到最大速度、下落最大深度的关系

根据参考资料[1] 提供的空气阻力与速度的实测数据，利用图形分析和曲线拟合得到了一个经验公式如下：

[2]

v v F 2.005.02+＝空阻，单位：磅英尺/秒

2

，换算成国际单位，则

v 02765.00069.0)2.005.0(3048.045359.022++⨯v v v F ＝＝空阻，单位：千克米/秒 2

蹦极绳全部放开之前，人受到两个力的作用，重力和空气阻力，所以合力为： 空阻合F mg ma F -==