两个重要极限 无穷小的比较
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2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
(3)如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, e x 1 ~ x,
ln(1 x) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x . 2 1 n 1 x 1 ~ x, n
2.等价无穷小替换 定理1.4.1(等价无穷小替换定理)
小结
一、两个重要极限
0 sin x 1.lim 1 带有三角函数的 0 型 x 0 x
极限存在准则I
1 x 2.lim(1 ) e x x
“1 ”型
极限存在准则II 单调有界数列必有极限 求极限的方法:公式法
二、无穷小的比较:
1.无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但 并不是所有的无穷小都可进行比较.
tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
从而有1
x 1 , sin x cos x
o
x
C
A
于是
cos 1, lim1 1, 所以 lim 因为 lim x 0 x 0
sin x 1 x 0 x
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2 sin x cos x 1. x
例1.4.1 例1.4.2
求 lim( x
x3 x ) x
2 x 1 x 1 ) 2 求 lim( x 2 x 1
应用两个重要极限求极限的方法称为公式法
1.4.2无穷小的比较
1.无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x0 x 极 1 2 x sin 限 1 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x0 x x
高(低)阶无穷小; 等价无穷小.
常用等价无穷小:（6个） 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
求极限的方法:等价代换法.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
x x0
则
x x0
lim f ( x) A
证明：作单位圆，其中 0 x 2 ，AT与 圆相切，BC⊥AO,所以
B
T
1 2 S AOB 1 sin x, 2 S△AOB 1 12 x, 2 1 2 S AOT 1 tan x, 2 由于S AOB <S△AOB < S AOT , 因此
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
第一章 函数与极限
1.4两个重要极限 无穷小的比较
1.4.1 两个重要极限 1.4.2 无穷小的比较
1.4.1 两个重要极限 sin x 0 1.lim 1 带有三角函数的 型 x 0 x 0 极限存在准则I 设在x0的某个去心领域内 有g(x)≤f(x) ≤h(x),且
x x0
lim g ( x) lim h( x) A
sin 3 x x 0 sin 7 x x3 x ) x
例1.4.6
求 lim( x
解
x 0 时， 1 cos 3
1 (3 x) 2 ,sin x 2
x,
1 (3x)2 1 cos3x 9 2 lim lim . x 0 x 0 x sin x xx 2
等价代换法.
tan x 求 lim x0 x
wk.baidu.com求lim
sin 3 x x 0 sin 7 x 1 cos x x 0 x2
例1.4.1 求 lim
1 x 2.lim(1 ) e x x
极限存在准则II 单调有界数列必有极限
lim(1 u ) e
u 0 1 u
“ 1 ”
例1.4.4 例1.4.5
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim lim( ) lim lim lim lim .
例1.4.2
求lim
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
(3)如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, e x 1 ~ x,
ln(1 x) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x . 2 1 n 1 x 1 ~ x, n
2.等价无穷小替换 定理1.4.1(等价无穷小替换定理)
小结
一、两个重要极限
0 sin x 1.lim 1 带有三角函数的 0 型 x 0 x
极限存在准则I
1 x 2.lim(1 ) e x x
“1 ”型
极限存在准则II 单调有界数列必有极限 求极限的方法:公式法
二、无穷小的比较:
1.无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但 并不是所有的无穷小都可进行比较.
tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
从而有1
x 1 , sin x cos x
o
x
C
A
于是
cos 1, lim1 1, 所以 lim 因为 lim x 0 x 0
sin x 1 x 0 x
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2 sin x cos x 1. x
例1.4.1 例1.4.2
求 lim( x
x3 x ) x
2 x 1 x 1 ) 2 求 lim( x 2 x 1
应用两个重要极限求极限的方法称为公式法
1.4.2无穷小的比较
1.无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x0 x 极 1 2 x sin 限 1 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x0 x x
高(低)阶无穷小; 等价无穷小.
常用等价无穷小:（6个） 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
求极限的方法:等价代换法.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
x x0
则
x x0
lim f ( x) A
证明：作单位圆，其中 0 x 2 ，AT与 圆相切，BC⊥AO,所以
B
T
1 2 S AOB 1 sin x, 2 S△AOB 1 12 x, 2 1 2 S AOT 1 tan x, 2 由于S AOB <S△AOB < S AOT , 因此
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
第一章 函数与极限
1.4两个重要极限 无穷小的比较
1.4.1 两个重要极限 1.4.2 无穷小的比较
1.4.1 两个重要极限 sin x 0 1.lim 1 带有三角函数的 型 x 0 x 0 极限存在准则I 设在x0的某个去心领域内 有g(x)≤f(x) ≤h(x),且
x x0
lim g ( x) lim h( x) A
sin 3 x x 0 sin 7 x x3 x ) x
例1.4.6
求 lim( x
解
x 0 时， 1 cos 3
1 (3 x) 2 ,sin x 2
x,
1 (3x)2 1 cos3x 9 2 lim lim . x 0 x 0 x sin x xx 2
等价代换法.
tan x 求 lim x0 x
wk.baidu.com求lim
sin 3 x x 0 sin 7 x 1 cos x x 0 x2
例1.4.1 求 lim
1 x 2.lim(1 ) e x x
极限存在准则II 单调有界数列必有极限
lim(1 u ) e
u 0 1 u
“ 1 ”
例1.4.4 例1.4.5
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim lim( ) lim lim lim lim .
例1.4.2
求lim