第二章 误差分布与精度指标

为 L~1、 L~2 L~n，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，
称为真误差，即：
i L~i Li
用向量表示：
L~
n ,1
L~1
L~2
...
L~n T
L
n,1
L1
L2
...
Ln T
n,1
1
2
...
n T
L~ L E(L) L
§2-3 偶然误差的规律性
二、偶然误差的规律特性
2 x1
x1x2
x1xn
x2x1
2 x2
x2xn
xn x1
xn x2
2 xn
§2-3 偶然误差的规律性
一、真值与真误差
1.真值 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小
的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 L~ 表示真值。 2.真误差
设 进 行 了 n 次 观 测 ， 各 观 测 值 为 L1 、 L2 、 … 、 Ln ， 真 值
P( 2 ) 95.5%
P(
3 )
99.7%
一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 限 ，并称为极限误差。
限 3
§2-4 衡量精度的指标
5. 相对误差
对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表 达观测结果的好坏 。
相对中误差，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化 为1，用 1 表示。
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性
衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1 随机变量的数字特征
一、数学期望
离散型
E(x) xi pi i 1
连续型
E(x) xf (x)dx
二、方差
_
D(x) E{[ x E(x)]2}
离散型 连续型
D(xห้องสมุดไป่ตู้ [xi E(x)]2 pi i 1
个数v i
频率vi/n
45 0.126
40 0.112
33 0.092
23 0.064
17 0.047
13 0.036
6
0.017
4
0.011
0
0.000
181 0.505
vi/ n d
0.063 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0.000
Δ为正值
D(x) [x E(x)]2 f (x)dx
§2-1 随机变量的数字特征
三、协方差
xy {[ X E(X )][Y E(Y )]}
四、相关系数
xy x y
§2-2 正态分布
一、一维正态分布
f(x)
1
2
exp
(
x 2 2
)2
x
其中 和 是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯
§2-3 偶然误差的规律性
频数/d
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
提示：观测值定 了其分布也就确 定了，因此一组 观测值对应相同 的分布。不同的 观测序列，分布 不同。但其极限 分布均是正态分 布。
闭合差
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
二、衡量精度的指标
1. 方差和中误差
误差Δ的概率密度函数为：
f ()
1
2
e 2 2
2
方差定义：
2 D() E(2 )
2 f ()d
E(2 )
就是标准差：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，
， X 拐 x 对于偶然误差，拐点在横轴上 拐 ，其大小可以反映
精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。
§2-3 偶然误差的规律性
三、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图： 3.误差分布曲线：
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△=
K/n
概率密度函数曲线
-0.8 -0.6 -0.4
0 0.4 0.6 0.8
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
闭合差
§2-3 偶然误差的规律性
偶然误差的特性：
1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多；
3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；
4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近
于零，
n
i
即nLim—in=1 —=
Lim
n
[] —n—
=0
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相 同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差 分布曲线的方法来比较。在实用上，是用一些数字特征来说明误差 分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡量精度的 指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。
§2-4 衡量精度的指标
ˆ mid{1 , 2 , 3 ........n }
§2-4 衡量精度的指标
4. 极限误差
误差落在( , ) 、(2 ,2 ) 和 (3 ,3 ) 的概率分别为：
P( ) 68.3% P(2 2 ) 95.5% P(3 3 ) 99.7%
P( ) 68.3%
ˆ n
平均误差与中误差的关系： 1.253 5 2 0.7979 4
2
4
5
所以 也可以作为衡量精度的指标。
§2-4 衡量精度的指标
3.或然误差
随机变量X落入区间（a,b)内的概率为：
b
P(a X b) a f (x)dx
b
对于偶然误差，误差Δ落入区间(a,b)的概率为：P(a b) a f ()d
+1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8
试根据Δi计算测角精度ˆ 2 ˆ 和
前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性， 即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一 定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从 无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分 布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。
在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观 测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180º。各个 三角形内角和的真误差：
解:
［ΔΔ］=22.61
ˆ 2 [] / n 22.61 / 25 0.90()2
ˆ n 0.90 0.95"
§2-4 衡量精度的指标
2. 平均误差
在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称
为平均误差。以 表示 。
E( ) f ()d
lim n n
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
§2-2 正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间
内的概率是：
( k , k )
P( k x k )
或然误差的定义是：误差出现在 (,) 之间的概率等于 1 2 ，即
与中误差的关系：
1
f ()d
2
称为或然误差
1.4826 3 2
0.6745 2
3
实用上只能得到的估值：将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值 的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则 取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值 ，然后关系式求出或然误差。
四、偶然误差的概率分布密度函数
f ()
1
2
e 2 2
2
式中 为标准差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的
误差分布曲线。由于 E() 0，所以该曲线是以横坐标为0处的
纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形
状将发生变化。偶然误差Δ是服从 N (0, 2 ) 分布的随机变量。
i 180 (L1 L2 L3)i
将计算的真误差按大小和符号列于下表：
§2-3 偶然误差的规律性
误差的 区间″
0.00-0.20 0.20-0.40 0.40-0.60
，，
0.60-0.80 0.80-1.00 1.00-1.20 1.20-1.40 1.40-1.60 1.60以上
和
Δ为负值
f (X)
DXX
1
1 2
2
n 2
exp 1 X
2
X
T
DX1X
X
X
E( X ) f ( X ) XdX X
D(X ) E X E(X )2
f
(X)
X
E(X )
2 dX
DXX
§2-2 正态分布
1 E(x1 )
E(
X
)
2 n
E(x2
E(xn
) )
X
DXX E X E( X )X E( X )T
1、方差和协方差的基本概念 设两个随机变量X和Y，其真值分为 X~ E(X ) Y~ E(Y )
真误差分别为 X E(X ) X....Y E(Y) Y ， 并且 E( X ) 0, E(Y ) 0
那么它们的方差和协方差分别定义为：
2 X
E X E( X )2
E(2X )
N
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问： 这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度 是否相同？
解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为 ±2cm 。 它 们 的 相 对 精 度 不 相 同 ， 前 一 段 距 离 的 相 对 中 误 差 为 2/100000=1/50000 ， 后 一 段 距 离 的 相 对 中 误 差 为 2/50000=1/25000 。第一条边精度高。
3.一定的测量条件对应确定的
4.等精度观测是指每次的
相同，并非值每次观测的真误差相同
5.一系列等精度观测结果求得的
，反映了这一系列观测结果的精度，它又是每一观测值的精度
§2-5 精度、准确度和精确度
一、精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测
值与数学期望的接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。
k
f (x)dx
1
k
2
k k
exp
(x
E(x))2
2 2
dx
t x
P( k x k )
1
2
k k exp
t 2
2
dt
2
2
k 0
exp
t 2
2
dt
§2-2 正态分布 二、N 维正态分布
服从N维正态分布的随机向量 X ( x1, x2 , , xn )T
的概率密度函数是：
对于离散型：
2 D() E(2 ) (E()) 2 E(2 ) lim
n n
lim
n n
方差和中误差的估值：
ˆ 2
n
ˆ
n
21 22 2n
§2-4 衡量精度的指标
例 为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精度, 现对 某一精确测定的水平角(β=65°28′34.0″)作 25 次观 测, 根据观测结果算得各次观测误差为(单位:秒):
2 Y
E
Y
E(Y )2
E(2Y )
XY EX E(X )Y E(Y ) E( X Y )
§2-5 精度、准确度和精确度
在相同测量条件下，随机变量X和Y的方差和协方差的计算
个数 vi
频率vi / n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0.000
177
0.495
vi/ n d
0.064 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0.000
备注
d
=0.02″
闭合差
频数/d
f ()
1
e
2 2 2
2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
§2-4 衡量精度的指标
一、概述
精度的定义：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。
误差分布相同，观测成果的精度相同；若误差分布不同，则精度 也就不同。
从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附 近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则 误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。 这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。
角度元素没有相对精度。
§2-4 衡量精度的指标
相对真误差＝ 真误差 ＝ 1 观测值 N
相对中误差＝ 中误差 ＝ 1 观测值 N
相对极限误差＝ 极限误差 ＝ 1 观测值 N
注意：
§2-4 衡量精度的指标
1.只有当n较多时， 才能够比较准确地反映测量的精度
2.当n较少时 比 更可靠反映测量的精度