第七章 随机振动的响应分析

由于H(ω)是复数，它可表示为:
H () A() jB()
则互谱密度可以表示为:
S XY () [ A() jB()]S X ()
由于SX(ω)是实偶函数，则互谱密度函数可表示为：
S XY ( ) H ( ) S X ( ) B( ) XY ( ) arctg A( )
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
当系统的激励 ( 输入 ) 是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。 对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。 对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决
y(t ) x(t )h( )d

y(t ) x(t )h( )d


设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出 其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集 合平均为:
E[Y (t )] E X (t )h( )d
则响应的自相关函数可表示为:
RY ( ) E[Y (t )Y (t )]=



h(1 )h(2 ) RX ( 2 1 )]d1d2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。 该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机 过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定 是平稳的随机过程。
只要计算出如下的广义积分 I值，便可求得响应的均 方值：
I

H ( ) d
2
五、激励与响应的互相关函数
y(t ) x(t )h( )d


由互相关函数的定义，可得激励与响应之间的互相关 函数:
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )] E X (t ) h( ) X (t )d
SY ( ) H ( ) H ( ) S X ( ) H ( ) S X ( )
2
上式表明，若已知系统的增益因子 |H(ω)|和输入的自 谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。
事实上，若已知SX(ω) 、|H(ω)|和SY(ω) 三者中的任意 两个，就可以确定第三个。 此外，响应的自谱密度是与系统的相位因子无关的。

第二个积分就是脉冲响应函数 h(θ2) 的傅立叶变换， 即频率响应函数H(ω)。
H () h(2 )e j2 d2

SY ( ) h( 1 )e


j1
d1 h( 2 )e j2 d 2


RX ( 2 1 )e j ( 2 1 )d( 2 1 )


j
d RX ( )e j ( )d( )


上式第一个积分是频率响应函数H(ω)， 第二个积分就是激励X(t)的自谱密度SX(ω)
S XY () H ()S X ()
上式表明：输入与输出之间的互谱密度等于系统 的频率响应函数与输入自谱密度函数的乘积。 通过该式可完整地确定系统的频率特性H(ω)。
7-1
单输入单输出的线性系统
假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其 相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。
x(t) Input (excitation) 输入（激励） 常参数线性振动系统
y(t) Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
第七章 随机振动的响应分析
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下， 激励—系统—响应三者之间的关系。 系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性 模型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统 问题。 随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。

六、激励与响应的互谱密度
RXY ( ) h( ) RX ( )d


对互相关函数表达式作傅立叶变换，便可得到激励 与响应之间的互功率谱密度。
S XY ( ) RXY ( )e
j
d = [ h( ) R( )d ]e j d
2
SX(ω)和SY(ω)皆为实函数，故相干函数必为实函数。 可以证明，对于所有频率ω，相干函数满足以下不等 式：
2 0 XY ( ) 1
当输入与输出互不相关时，有RXY(τ)=0，从而互谱密 度SXY(ω)=0，于是由定义知相干函数也等于零。 对于线性X ( )
变换积分次序，并重新排列
SY ( ) h( 1 )e
j1
d1 h( 2 )e j2 d 2


RX ( 2 1 )e j ( 2 1 )d( 2 1 )
SY ( ) h( 1 )e
前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。
H ( ) H ( ) h(1 )e j1 d1

经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式:
SY ( ) H ( ) H ( ) S X ( ) H ( ) S X ( )
2
上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出 了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。
直流分量
E[Y (t )] Y = X H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
E[Y (t )Y (t )]
四、响应的均方值
已知响应的自谱密度 SY(ω)，则可计算出响应的均方 值E[Y2]:
1 E[Y ] RY (0) SY ( )d 2π
2
将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式
2 1 E[Y ] H ( ) S X ( )d 2π 2 2 Y
对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般 用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的， 初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。 在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统 计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况 下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均 值）、相关函数、功率谱密度、均方值等。
E[Y (t )] E[ X (t )]h( )d


E[ X (t )] E[ X (t )] x
E[Y (t )] x h( )d


H ( ) h( )e j d


0
H (0) h( )d

h( ) E[ X (t ) X (t )]d h( ) RX ( )d



常参数线性系统在受到平稳随机输入时，激励与响应 之间的互相关函数正好等于脉冲响应函数与输入自相 关函数的卷积
RXY ( ) h( ) RX ( )d
(1) 联系输入X(t)和输出Y(t)的系统是非线性的
(2) 测量中有外界噪声干扰
(3) 输出Y(t)是输入X(t)和其它输入的综合输出。
只讨论一种存在噪声干扰的情况：
x(t ) x0e jt
如图所示的单输入线性系统，假定只在输出测量中 混有噪声，则实测得到的输出Z(t)是真实输出Y(t)与 噪声干扰N(t)之和。
三、响应的自功率谱密度函数
对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应 的自功率谱密度SY(ω)为
SY ( ) RY ( )e j d

e

j
h( )h( ) R ( )]d d d 2 X 2 1 1 2 1

E[Y (t )] x h( )d


H (0) h( )d


输入与输出均值的关系式为：
E[Y (t )] Y = X H (0)
H(0) 是一个常数，它表示输入 X(t) 与输出 Y(t) 中，频 率ω=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。
y (t ) H ( 0) x(t )
Z (t ) Y (t ) N (t )
N(t)
X(t) H(ω) Y (t) Z(t)
假定X(t)与N(t)皆是均值为零的平稳随机过程，且N(t) 与X(t)和Y(t)都是不相关的，则有：
RNX ( ) RXN ( ) RNY ( ) RYN ( ) 0


j1
d1 h( 2 )e j2 d 2


RX ( 2 1 )e j ( 2 1 )d( 2 1 )
令 ξ=τ-θ1+θ2 ，由维纳 — 辛钦关系式知，最后一个积 分就是激励X(t)的自谱密度：
S X ( ) RX ( )e j d
x(t) Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t) Output (response) 输出（响应）
设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数 则系统输出y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数 设系统的脉冲响应函数h(t)， 则频率响应函数是H(ω)。 一、响应的均值 对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得 输出的一个样本函数
注意：当均值为零时，均方值就等于方差。
2 2 Y Y
2 1 E[Y ] H ( ) S X ( )d 2π 2 2 Y
在输入为理想白噪声的情况下，由于输入的自谱密 度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式 可得到简化:
2 S0 H ( ) d 2π 2 Y




-


h( ) RX ( )e j d d
与前面计算响应自谱相似的方法，将上式改写为：
S XY ( ) h( )e
j
d RX ( )e j ( )d( )


S XY ( ) h( )e
S XY ( ) H ( ) S X ( )
B( ) XY ( ) arctg A( )
上式表明：互谱密度的幅值等于系统的增益因子与 输入自谱的乘积 互谱密度的幅角又等于系统的相位因子。
七、相干函数
系统输入与输出的谱相干函数（又称凝聚函数）可 通过下式来定义：
S XY ( ) 2 XY ( ) S X ( ) SY ( )
2
S XY ( ) H ( ) S X ( )
在线性系统的假设下，输入输出线性相关，有
2 XY ( )
S XY ( )
2
S X ( ) SY ( )

2 H ( ) S X ( )
2
S X ( ) H ( ) S X ( )
2
1
输入输出互不相关时，相干函数的值等于0； 输入输出线性相关时，相干函数等于1。 相干函数的值在0与1之间。 如果相干函数值大于零但小于1，为以下三种情况之一