常用小波的分类剖析

的支撑范围在
， 的支撑范围在
。小波
(t) 具有N阶消失矩t ，0 ~在(2N 1) (t)
处具(有1NN阶) ~零N点。但db(t小) 波是非对称的，(其)相应的 0滤
常用小波的分类
基本内容
1.小波的分类 2.常用的基本小波
3.正交小波 4.双正交小波
2020/11/8
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1.小波的分类
第一类:是所谓地“经典小波”，在 MATLAB中又称作“原始小波”。 第二类：是Daubecheis构造的正 交小波 第三类：是由Cohen， Daubechies构造的双正交小波
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2.常用的基本小波
Gaussian小波
高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到
的，定义为： (，t)
c
dk dt k
et2 / 2
k 1,2,,8
式中定标常数是保证 (t) 。 1 2 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧
支撑的。当k取偶数时 (t正) 对称，当k取奇数时， (t)
它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到
待分析的信号一般是实信号。
Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用
于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广
泛的一种小波。
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2.常用的基本小波
MATLAB中将Morlet小波定义改造为： (t) et2 / 2 cos0t
Haar小波是不连续小波，由于 t (t)dt 0 ， 因此处() 只有一阶零点 0 ，这就使 得Haar小波在实际的信号分析与处理中 受到了限制。
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2.常用的基本小波
Morlet小波
Morlet小波定义为
(t) et2 / 2e jt
其傅里叶变换
() 2 e(0 )2 / 2
并取 0 5 该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取 ~ 但是当 0 5 ，或再取更大的值时，() 和 (t) 在时域和
频域都具有很好的集中，如图所示。
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2.常用的基本小波
Morlet wavelet: Psi 1
The FT of Psi 16
0.8
14
0.6 12
0.4
反对称。下图中给出了k=4时的 (t的) 时域波形及对
应的频谱。
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2.常用的基本小波
Gaussian wavelet: Psi 1.2
1
0.8
0.6
0.4பைடு நூலகம்
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-10
-5
0
5
10
15 10
5 0
0
The FT of Psi
0.5
1
高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱
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3.正交小波
Daubechies小波
Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者 Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造。 Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献， 特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交 小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作 《Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）》
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2.常用的基本小波
(t ) 1
1/ 2 1
t
0
1 (t 1)
1 0
2
t
(t / 2)
1
2t
0
Harr小波
(a) (t) ，(b) (t 1)，(c) (t / 2)
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2.常用的基本小波
➢ Haar小波的优点
• Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1） • Haar小波属正交小波。若取 a 2 j , j Z , b Z ，那么
(t), (2 j t) 0 • Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有 利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限 支撑的正交小波；
• Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
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2.常用的基本小波
➢ Haar小波缺点
0.2
10
0
8
-0.2
6
-0.4 4
-0.6
-0.8
2
-1
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称
Marr小波。它定义为:
(t) c(1 t2 )et2 / 2
式中 c 2，其1/傅4 里叶变换为
3
() 2 c2e2 / 2
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形
和其频谱如图所示。
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2.常用的基本小波
Mexican hat wavelet: Psi 1
The FT of Psi 20
18 0.8
16
0.6
14
12 0.4
10 0.2
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3.正交小波
dbN中的表示db小波的阶次N， 2 ~ 1，0 N 。1当时，db1即是
Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小
波”类。Daubechies计算出了N 2 ~ 1时0 的 (t及), h0,h。1, g0
db小g波1 是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。
8
0
6
4
-0.2 2
-0.4
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 处0 有二阶零点，因此它满足容许 条件，且该小波比较接近人眼视觉的空 间响应特征
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3.正交小波
目前提出的正交小波大致可分为四种， 即Daubechies小波，对称小波， Coiflets小波和Meyer小波。这些正交 小波和前面所讨论的“经典小波”不同， 它们一般不能由一个简洁的表达式给出，(t) 而是通过一个叫做“尺度函数”的 (的t) 加权组合来产生的。
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2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1
(t) 1
0
0 t 1/ 2
1/
2
t
1
其它
其波形如图所示。 (t的) 傅里叶变换是：
() j 4 sin2 ( )e j / 2 a
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