人教版八年级数学专题复习 两个等腰直角三角形共点专题

两个等腰直角三角形共点专题

共锐角顶点直角开口方向相反 基本方法：

△EDB 中与△ABC 不共顶点B 的那条线段DE 平行移到另外等腰三角△ABC 的底边BC 的另一个点C 处的CF 。

(3)

(1)

典型例题 同侧型 ：

连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M 是中点，求EM,AM 的大小关系

.

C

A

C

A

C

A

方法：平移DE 到CF ，或倍长EM 到MF 思路:证明△AEB ≌△AFC 关键:证明∠ABE =∠ACF 方法：∵DE ⊥BE

∴CG ⊥BG

∴∠ABE =∠ACF

回头看：1.△ABC 和△

AEF 是共直角顶点旋转

2.四边形GBCA 是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直） 对侧型：

G

F

A

四边形ABGC 对角互补，共圆

推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长

提高 ．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.

（1）FG 与DC

的位置关系是

,FG 与DC 的数量关系是 ； （2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.

两个方法：已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN

正方形 逆向

15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG 、PC 。探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？

小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。 （1）求证：四边形BEFG 是矩形；

（2）PG 与PC 的夹角为多少度时？四边形BEFG 是正方形，请说明理由。

B

A

C

B

D

A

F

E G

C

14、正方形ABCD和正方形CEFG，M为AF的中点，连接MD、ME．

⑴如图①，B、C、G依次在同一条直线上，求证：△MDE等腰直角三角形；

⑵如图②，将正方形CEFG绕顶点C旋转45°．使B、C、F依次在同一条直线上，则△MDE的形状是

⑶如图③、将正方形CEFG任意旋转，设∠DCE=α°，猜想△MDE的形状？写出你的结论并给予证明．

反开口，两个中点变一个中点再找关系

19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。

**反开口，角平分线对角互补模七

直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a-t）2+|b-t|=0（t＞0）．

（1）证明：OB=OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标

反开口模六

在直角坐标系中, 直线y＝x＋4交x轴于A ,交y轴于B, △AEF为等腰Rt△, ∠AEF＝90°, 连BF, M为BF中点.

(1) 连EM、OM, 问OM与EM的关系是, 并证明;

(2) 当△AEF绕A点旋转如图位置时, EM与OM的关系是否变化, 画图并说明理由;

(3) 若P为AB中点, G为第三象限内一点, 且∠AGO＝90°, 求GA+GO/GP的值.

反开口模型把中线位长作出来了（平行四边形，也就隐含了中点）

已知△ABC和△ADE分别是以AB.AE为底的等腰直角三角形，以CE,CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH.

(1)如图(1)，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_____；CH与CD的数量关系是_________，并说明理由，’

(2)将图(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图(2)：则∠DEH的度数为______，CH与CD之间的数量关系为________．

(3)将图(1)中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°<α<45°）得图(3)，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．

找隐性反开口模型

4、如图，ABCD 、DFGE 均为正方形，连AG ，作AG 的中点H ，连BH 。 （1）求BH ：HE 的值。

（2）当正方形ABCD 绕点D 旋转时，上述结论是否改变？画图，直接写出结论。

反开口

例1、如图，以△ABC ，AB 、AC 边构造等腰Rt △ABD 、等腰Rt △ACE ，M 、N 、P 分别是AD 、AE 、BC 中点，求线段PM 、

PN 的关系。

P

A

B

C

D

E

N

M

变式1：若P 为DE 中点，求线段BP 、CP 的关系；

E

D

C

B

A

P

变式2：若以△ABC ，AB 、AC 边为直角边构造Rt △ABD 、Rt △ACE ，且∠DAB=∠CAE=α，P 为DE 中点，求BP 、CP 的数量关系；

A

D

B

P

E

C