寿险精算 第二讲 生存分布与生命表讲解

死亡年龄(K) 0
1
2
3
…
概 率 (q)
q0
q1
q2
q3
…
其中，

qi 1, qi 0 (i=0,1,2, )
i0
分布函数为：
F (k ) qi (i 0) ik
均值为：

E(K ) iqi i0
方差为：

Var(K ) (i E(K ))2 qi i0 = E(K2 ) (E(K ))2
• q x ：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx
• t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
关系式:
t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t | X x)
新生儿在x岁时的未来寿命: 用符号(x)表示年龄为x岁的人,X是新生儿的死亡年龄,则X-x 称为新生儿在x岁时的未来寿命(余命),并用符号T(x)表示,即
T(x) =X-x
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
1.2.2 连续型未来寿命的生存分布
• 剩余寿命与分布函数
• 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活 的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
f (x) F(x)
这时，其均值与方差分别是：

E(x) 0 xf (x)dx
Var(X )

(x

E(X
))2
f
(x)dx
0
E( X 2 (E( X ))2 )
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
§1.1.2 离散型死亡年龄的有关概率
• 若将新生婴儿的死亡年龄X取整数值（即取周岁数）并用字母K表示， 则K=[X]，那么，离散型随机变量K的概率分布律可表述为：
运用式(1.2.2),并且 z=x+t, 则
s(x t) t qx 1 s(x)
(1.2.8)
t px 1 t qx s(x t) s(x)
(1.2.9)
t u qx q t u x t qx
s(x t) s(x t )
s(x)
= s(x t) s(x t) s(x t )
• 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) x p0 exp( 0 sds)
(1.3.3)
= s(x) s(z) 1 s(z)
s(x)
s(x)
(1.2.2)
新生婴儿在x岁时仍活着的条件下,于年龄y岁与z(y<z)岁之 间死亡的条件概率是:
Pr( y X z | X x) Pr( y X z) Pr( X x)
= s(y) s(z) s(x)
(1.2.3)
s(x)
s(x t)
= t px qxt
(1.2.10)
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表 1.2.3 离散型未来寿命的生存分布
• 设K(x) 表示 (x) 未来寿命的周年数,即 K(x)=[T(x)], 则 随机变量K(x) 的概率分布率为:
Pr(K(x) k) Pr(k T(x) k 1) (k=0,1,2, )
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
§1.2 生存分布
• 1.2.1 生存函数 • 定义
s(x) Pr(X x)
• 意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
• 与分布函数的关系： s(x) 1 F(x)
• 与密度函数的关系： f (x) s(x)
• 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
• 对于连续型随机变量T(x),有
Pr(T(x) k) Pr(T(x) k 1) =0 (k=0,1,2, )
• 故K(x) 的概率分布率又可表示为:
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
• 分布函数 ：t qx
t qx Pr(T ( X ) t) (t 0)
(1.2.4)
• 剩余寿命的生存函数 ：
t px 1 t qx Pr(T (X ) t) (t 0)
(1.2.5)
• 特别： x p0 s(x)
x q0 F (x)
• px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 px 1 px
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
§1.1 死亡年龄的概率
1.1.1 连续型死亡年龄的有关概率
对于一个刚出生的婴儿来说，其死亡年龄X是一个连续型随机变量，用F(x) 表示这个随机变量X 的分布函数，则
F(x) Pr(X x) (x 0)
(1.1.1)
这里，通常假设 F(0) =0 。 假设随机变量X的分布函数F(x) 是可导的，且用f(x) 表示随机变量X的密度函数，则
Pr(x X z) s(x) s(z)
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
• s(x)的性质：
• ① s(0) 1, lim s(x) 0 x
• ② s(x) 是单调递减函数；
• ③ s(x) 是一个连续函数
• 极限年龄：存在一个正数ω ，当x<ω 时，s(x)>0; 当x≥ω 时，s(x)=0。这时称正数ω 为极限年龄。
例如，某一群体人的生存服从生存在函数
s(x)

1
x 96
0
(0 x<96) (x 96)
，其极限年龄是ω =96岁
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
条件概率
• 新生婴儿在x岁时仍活着的条件下,于年龄x岁与z(x<z)岁之 间死亡的条件概率是:
Pr(x X z | X x) Pr(x X z) Pr(X x)
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
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§1.3死力
• 1.3.1 死力的定义及性质 • 定义： (x) 的瞬时死亡率，简记
x

lim
x0
s(x) s(x x
x)

1 s(x)
= s(x) F(x) ln[s(x)] s(x) 1 F(x)
(1.3.1)