新教材高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.2导数及其几何意义课件

(2)由题意，知 k＝f′(0)
＝ lim Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，
∴b＝1，故选 A.]
1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义． 2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识， 如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
课堂 小结 提素 养
1．函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率即为 f′(x0)，且 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程可直接套用公式：y－y0＝
f′(x0)(x－x0)求解；求曲线过点(x0，y0)的切线方程时应注意分该点是 切点和不是切点两类分别求解．
2．一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2，其中 s 的单位是：m，t
的单位是：s，那么物体在 3 s 末的瞬时速度是( )
A．7 m/s
B．6 m/s
C．5 m/s
D．8 m/s
C [∵ΔΔst＝1－3＋Δt＋3＋ΔΔt t2－1－3＋32＝5＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(5＋Δt)＝5(m/s)．]
3．已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f′(x0)＝1，则函数 f(x)在 x0 处 切线的倾斜角为__________．
45° [设切线的倾斜角为 α，则 tan α＝f′(x0)＝1， 又 α∈[0°，180°)， ∴α＝45°.]
(2)求平均变化率ΔΔxy；
(3)求极限，得导数为 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx.
简记为：一差、二比、三趋近．
[跟进训练] 1．求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数．
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11
＝Δx＋1－1＋1Δx＝Δx＋1＋ΔxΔx，
∴ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．
()
(4)若函数 y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之
也成立．
()
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．如果一个函数的瞬时变化率处处为 0，那么这个函数的图像
是( )
A．圆
B．抛物线
C．椭圆
D．直线
D [结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于 x
.
拓展：导数定义的理解 (1)函数应在 x0 处的附近有定义，否则导数不存在． (2)在极限式中，Δx 趋近于 0 且 Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量， 所以 Δx 可正、可负，但不能为 0.当 Δx>0(或 Δx<0)时，Δx→0 表示 x0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于 x0. (3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自 变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
[解] 设切点为 Q(a，a2＋1)，fa＋ΔΔxx－fa＝a＋Δx2＋Δ1x－a2＋1＝2a ＋Δx，当 Δx 趋于 0 时，(2a＋Δx)趋于 2a，所以所求切线的斜率为 2a.因此， a2＋a－11－0＝2a，解得 a＝1± 2，所求的切线方程为 y＝(2＋2 2)x－(2＋2 2) 或 y＝(2－2 2)x－(2－2 2)．
∴ΔΔyx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对 于 Δy 与 Δx 的比值，感受和认识在 Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个 固定的常数 k 这一现象．
2．用定义求函数在 x＝x0 处的导数的步骤 (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)若曲线 f(x)＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝
0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切 线在点 A、B 处切线的斜率，由图像可知 f′(xA)＜f′(xB)．
情境 导学 探新 知
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进 行冷却和加热．如果在第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 y＝f(x)＝ x2－7x＋15(0≤x≤8)．你能计算出第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬 时变化率，并说明它们的意义吗？
1．瞬时变化率与导数 (1)瞬时变化率： 一般地，设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，自变量在 x＝x0 处的改变量 为 Δx，当 Δx 无限接近于 0 时，若平均变化率 ΔΔxf＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限接
∴f′(1)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
导数几何意义的应用 【例 2】 (1)已知 y＝f(x)的图像如图所示，则 f′(xA)与 f′(xB) 的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB) D．不能确定
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线 l 与曲线 y ＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
【例 3】 (教材 P70 例 4 改编)已知曲线 C：f(x)＝x3. (1)求曲线 C 在横坐标为 x＝1 的点处的切线方程； (2)求曲线 C 过点(1,1)的切线方程． [思路点拨] (1) 求f′1 → 求切点 → 点斜式方程求切线
利用导数的几何意义求切线方程的方法 1若已知点x0，y0在已知曲线上，求在点x0，y0处的切线方程， 先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程， 得切线方程 y－y0＝f′x0x－x0. 2若点x0，y0不在曲线上，求过点x0，y0的切线方程，首先应 设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标， 进而求出切线方程.
2．曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有 什么不同？
[提示] 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切 点，只要求出 k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线 f(x) 过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲 线上也不一定是切点．
3．根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线 f(x)在 x＝x0 处 的升降及变化快慢情况，若 f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若 f′(x0)<0，则曲线在该点处下降．
1．已知函数 y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线 3x－y－2＝0 平行， 则 f′(2)等于( )
A．1 B．－1 C．－3 D．3 D [由题意知 f′(2)＝3.]
轴的直线，故选 D.]
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x－y＋2＝0， 则 f′(1)＝________.
2 [由导数的几何意义可知 f′(1)＝2.]
4．质点 M 的运动规律为 S＝4t2，则质点 M 在 t＝1 时的瞬时速 度为________．
8 [ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)，
＝0.
(2)设切点为 Q(x0，y0)，由(1)可知 f′(x0)＝3x02，由题意可知 kPQ＝f′(x0)， 即yx00－ －11＝3x02，又 f (x0)＝x03，所以xx300－ －11＝3x20，即 2x20－x0－1＝0，解得 x0 ＝1 或 x0＝－12. ①当 x0＝1 时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为 3x－y－2＝0. ②当 x0＝－21时，切点坐标为－12，－18，相应的切线方程为 y＋18＝34 x＋12，即 3x－4y＋1＝0.
[解] (1)将 x＝1 代入曲线 C 的方程得 y＝1，∴切点 P(1,1)．
f′(1)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋ΔΔxx3－1＝Δlixm→0
[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝f′(1)＝3.
∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2
[解] (1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)
＋2＝3Δx－(Δx)2，
∴ΔΔyx＝3Δx－ΔxΔx2＝3－Δx，
∴f′(－1)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴ΔΔSt ＝4(Δt)＋8.
∴ lim
Δx→0
ΔΔSt ＝8.]
合作 探究 释疑 难
求函数在某点处的导数
【例 1】 (1)求函数 f(x)＝－x2＋x 在 x＝－1 附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数；
(2)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数． [思路点拨] 求函数 f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化 率，再求 f′(x0)．
第六章 导数及其应用
6．1 导数 6.1.2 导数及其几何意义
学习目标
核心素养
1.理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、 1.借助瞬时变化率的学
难点) 习，培养数学抽象的素养．
2．理解导数的几何意义．(重点、难点) 2．通过导数的几何意义，
3．会用导数的定义及几何意义求曲线在 提升直观想象的素养.
某点处的切线方程．(易混点)
2．导数的几何意义 (1)割线的斜率 已知 y＝f(x)图像上两点 A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过 A， B 两点割线的斜率是 ΔΔxf＝fx0＋ΔΔxx－fx0 ，即曲线割线的斜率就是
函数的平均变化率 ．
(2)导数的几何意义
曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数 f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x) 在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 ．
(3)曲线的切线方程
曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数 y＝f(x)在某点处的导数是一个变量．
()
(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的
物理量．
()
[跟进训练] 2．设曲线 f(x)＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平 行，则 a 等于( ) A．1 B.12 C．－12 D．－1
A [由题意可知，f′(1)＝2.
又 lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝Δlixm→0
a1＋Δx2－a Δx
＝ lim Δx→0
(aΔx＋2a)＝2a.
故由 2a＝2 得 a＝1.]
3.(一题两空)如图所示，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方程 是 y＝－x＋8，则 f(5)＝______，f′(5)＝________.
3 －1 [由图像知 f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点 P 处切线 的斜率，故 f′(5)＝－1.]
求曲线的切线方程 [探究问题] 1．如何求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？ [提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数 y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由 直线方程的点斜式求出切线方程．
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共 点？
[解] 由yy＝＝3x3x，－2， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－28，， 从而求得公共点为 P(1,1)或 M(－2，－8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－ 8)．
2．(变条件)求曲线 f(x)＝x2＋1 过点 P(1,0)的切线方程．
近于一个常数 k，那么称常数 k 为函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率．简记
为：当 Δx→0 时，fx0＋ΔΔxx－fx0→k 或Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0＝k.
(2)导数
①f(x)在 x0 处的导数记作 f′(x0) ；
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②f′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx