随机过程期末复习题

随机过程期末复习题库（2015）

一、填空题

1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函

数只与有关, 而与和无关。

2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函

数只与有关, 而与和无关。

3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 .

4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则.

5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则

.

6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍

历性的一个充分条件：．

7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性

的一个充分条件：．

8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数

．

9.设为两个随机事件，，则 0.6 ．

10.设为二随机变量，，则 2 ．

11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的

泊松分布．

12.是二维正态分布，即，．

13.设随机变量的数学期望均存在，则．

14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则

．

15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均

值为的同一指数分布.

16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函

数为.

17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则．

18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则

．

解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有

从而，

19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发

生的时间间隔.则.

解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．

20.设，是速率为的泊松过程. 则对于，

.

21.设，是速率为的泊松过程. 对于，

.

解对于，有

增量与独立

22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发

生的时间间隔.则对，.

解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．

23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发

生的时间间隔，则.

24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则

.

25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参

数为和的分布.

26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则

.

解对于，有

27.设是一个强度函数为的非齐次泊松过程，为过程均值函数的反

函数，则随机过程是一个强度为 1 的泊松过程．

28.事件的发生形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时能够以概率

被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．如以表示到时刻被记录下来的事件总数，则是一个强度为的泊松过程．

29.事件的发生形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时能够以概率

被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．如以表示到时刻被记录下来的事件总数，则的均值函数．

30.事件的发生形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发生被记录到的概

率是，若以表示到时刻记录的事件数，则计数过程是非时齐的泊松过程，的分布

，

31.设是一个速率为的泊松过程，并且假设在时间发生的一个事件独立于

前发生的事件，并以概率计数．以记直到时间为止被计数的事件个数，则计数过程是一个强度函数为的非时齐的泊松过程．

32.设是一个速率为的泊松过程，并且假设在时间发生的一个事件独立于

前发生的事件，并以概率计数．以记直到时间为止被计数的事件个数，则计数过程的均值函数．

33.设和是独立的泊松过程，分别具有强度和，则

是具有强度的泊松过程.

34.设和是独立的泊松过程，分别具有强度和．如果过程

在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件以概率来自过程．

35.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数

和，则是具有强度函数的非时齐泊松过程.

36.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数

和．如果过程在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件以概率来自过程．

37.保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程，每次要求赔付的金额都相

互独立，且有相同分布，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，表示时间内保险公司需要赔付的总金额，则随机过程是一个复合泊松过程．

38.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司．每

次赔付服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额是240000

元．

解题思路：索赔次数为一速率为（次月）泊松过程，每次的赔付金额,总索赔金额为一复合泊松过程，故一年中保险公司的平均赔付额为

39.设顾客以每分钟6人的平均速率进入某商场，这一过程可以用泊松过程来描述．又设

表示进入该商场的第位顾客在该商场所花费的金额（单位：元），且有，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关．则该商场一天（12小时）的平均营业额为432000 元．

解题思路：到达顾客数为一速率为（人小时）泊松过程，每个顾客的消费金额,商场营业金额为一复合泊松过程，故该商场一天（12小时）的平均营业额为

40.假设家庭以每星期的泊松速率移民到一个地区．如果每个家庭的人数是独立的，

而且分别以概率取值1，2，3，4，那么在固定的5个星期中移民到这个地区的平均人数为25 ．

解题思路：移民家庭数为一速率为（户星期）泊松过程，每个家庭的平均人数为

移民人数为一复合泊松过程，故在固定的5个星期中移民到这个地区的平均人数为

41.设是复合泊松过程，存在，则

．

42.设是复合泊松过程，，则

．

43.在任意给定的一天，加里的心情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是一般的(so-so，

S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率0.5，0.4，

0.1是C，S，G．如果今天他感觉一般，则明天他分别以概率0.3，0.4，0.3为C，S，G．如

果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率0.2，0.3，0.5为C，S，G．以记加里在第天的心情，则马尔可夫链的状态空间，，，一步转移概率矩阵