贝塞尔函数及其应用

题目：贝塞尔函数及其应用
摘要
贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。

其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。

第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。

最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式
目录
一、起源 (1)
（一）贝塞尔函数的提出 (1)
（二）贝塞尔方程的引出 (1)
二、贝塞尔函数的基本概念 (4)
（一）贝塞尔函数的定义 (4)
1. 第一类贝塞尔函数 (5)
2. 第二类贝塞尔函数 (7)
3. 第三类贝塞尔函数 (10)
4. 虚宗量的贝塞尔函数 (10)
（二）贝塞尔函数的递推公式 (11)
（三）半奇数阶贝塞尔函数 (13)
（四）贝塞尔函数的零点 (14)
（五）贝塞尔函数的振荡特性 (16)
三、 Fourier-Bessel级数 (16)
（一）傅里叶-贝塞尔级数的定义 (16)
（二）将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (17)
四、贝塞尔函数的应用 (24)
（一）贝塞尔函数在光学中的应用 (24)
（二）贝塞尔函数在调频制中的应用 (26)
附录 (30)
一、起源
（一）贝塞尔函数的提出
随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。

在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。

它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。

它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。

在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程2tt xx u a u =。

以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。

在此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。

同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中，导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。

而这其中，18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。

丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。

1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 。

贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到
的是整阶形式n =α；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式2
1n +=α，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，其中最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题等。

（二）贝塞尔方程的引出
有圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为0，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。

设圆形薄盘的半径为R ，这个问题可以归结为求解下列问题：
22222222220(),,0,
|0,
|(,),.
t xx yy x y R t u a u u x y R t u u x y x y R ϕ+===++<>==+≤
应用分离变量法求这个问题的解，为此令
(,,)(,)()u x y t V x y T t = 为第一个方程的非零解，代入该方程得
T
V V a VT yy xx )('2+=
化简并引入参数λ得 λ-=+=V V V T a yy xx 2T )0(>λ
由此我们得到下面关于函数T （t ）和V(x,y)的方程
'2()()0T t a T t λ+=, (1-1)
xx yy V V V λ++=, (1-2)
由式(1-1)得 2()a t T t Ae λ-=
方程(1-2)称为Helmholtz 方程，为了求出这个方程满足边界条件
222|0x y R V +==
的非零解，我们采用平面上的极坐标系，则该定解问题转化为
22222110,V V V V λρρρρθ∂∂∂+++=∂∂∂ ,02,R ρθπ<≤≤ (1-3) |0,R V ρ== 02θπ≤≤. (1-4) 再令()θρθρΦ=)P(),(V ，代入方程(1-3)得
'''''2110P P P P λρρΦ+Φ+Φ+Φ=,
引入参数μ
''2'''2P P P P ρρλρμΦ++=-=-Φ,
于是有
''0μΦ+Φ=, (1-5)
2'''2()0P P P ρρλρμ++-=. (1-6)
由于温度函数),,(u t y x 是单值的，所以),(y x V 也必是单值函数，而），（θρ与
），（πθρ2+在极坐标系表示同一点，因此）（θΦ应该是以2π为周期的函数，即)2()()()(πθρθρ+Φ=ΦP P ，这就决定了),2,1,0(n 2 ==n μ，由此该方程(1-5)的解为
001()2a θΦ=， (0a 为常数)，
()cos sin n n n a n b n θθθΦ=+， 1,2,3,n =…
将2n =μ代入方程(1-6),得
2'''22()0P P P n P ρρλ++-=,
这个方程称为n 阶贝塞尔方程。

由式(1-4)得
()0P R =.
由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心处也应如此，于是+∞<|P(0)|，因此原定解问题的最后解决归结为求解下列问题：
2'''22()()()()0,,()0(0).P P n P R P R P ρρρρλρρρ⎧++-=<⎪⎨=<+∞⎪⎩
的特征值与特征函数。

若令ρλ=x ,并记)()(λx
P x y =，则得
2'''22()()()()0x y x xy x x n y x ++-=. (1-7)
上式是贝塞尔方程最常见的形式，它是一个具有变系数的二阶线性常微分方程，它的解称为贝塞尔函数。

二、贝塞尔函数的基本概念
（一）贝塞尔函数的定义
定义满足本征方程
22
222()()()d d x x x y x n y x dx dx ++= (2-1) 的函数()y x 为贝塞尔函数，n 为贝塞尔函数的阶。

本征方程也可以表述为
22222():()()d d x x x y x n y x dx dx ++
在圆柱坐标系和球坐标系中解波动方程，用分离变量法都可得到径向函数满足的微分方程正好就是贝塞尔方程.
圆柱波径向方程
2
221()()0d dR m k R d d ρρρρρ+-=
球波径向方程
22221(1)()[]0d dR l l r k R r dr d r ρ++-=
令=,()(),kr y r ξξ=上式可写成
22
2221()()()(),2d d y l y d d ξξξξξξξ++=+ 这是半奇数阶的贝塞尔方程。

方程(2-1)是在解决圆盘上温度分布的具体情况下得到的，因此方程中的常数n 一般取为整数或零。

当n 和x 为任意实数或复数时，该方程也被称为贝塞尔方程，其解也叫做贝塞尔函数。

我们使用Frobenius 方法求解贝塞尔方程。

注意到n 阶贝塞尔方程中y '与y ''前得系数在x=0处为零，即该方程在x=0处退化。

如果用x 2除以方程的两边，则y 与y '前得系数在x=0处有奇性。

正因为如此，在用幂级数方法求解方程(2-1)时，
要设该方程的级数解为
00()0k r
k k y x c x c ∞+==≠∑ (2-2)
其中r 为常数。

下面来确定r 和),2,1,0( =k c k ,为此将式(2-2)及
1
'()k r k k y c k r x ∞+-==+∑，
2
0''()(1)k r k k y c k r k r x ∞+-==++-∑.
代入方程(2-1)中，得到关于x 的恒等式
22221220122()[(1)]{[()]}0
r r k r k k k r n c x r n c x r k n c c x ∞++-=-++-++-+=∑
故有
220()0;r n c -= (2-3)
221[(1)]0;r n c +-= (2-4)
222[()]02,3,k k r k n c c k -+-+==… (2-5)
由于c 0≠0,得r=n,或r=-n 由（2-4）得c 1=0;
1. 第一类贝塞尔函数
贝塞尔方程有如下形式的级数解0
k r k k y c x ∞
+==∑，其中，
010,0,,c c r n ≠==±n 为任意实数， 展开系数有递推公式2(2)k k c c k n k -=-+. 实际上将0
k r k k y c x ∞+==∑代入方程(2-1)得 2
200[()(1)()]()k r k r k k k
k k k c k r k r c k r n c x c x ∞∞
+++==++-++-=-∑∑. 比较同次项的系数，得
22[()(1)()]k k c k r k r k r n c -++-++-=-,
即
222[()]k k c k r n c -+-=- .
(i)取r=n ，则有
2(2)
k k c c k n k -=-+. 于是用10c =表示的奇数项3570c c c ===⋅⋅⋅=; 而偶数项246,,,c c c …都可用0c 表示，即
022(1)2!(1)(2)()
m m
m c c m n n n m -=⋅++⋅⋅⋅+. 因此级数解的一般项为 202(1)2!(1)(2)()m n
m
m c x m n n n m +-⋅++⋅⋅⋅+, 其中0c 为任意常数，当0c 取一定值，就得到贝塞尔方程的一个解（由比值法知，
级数解0k r k k y c x ∞
+==∑的收敛半径R =+∞）.
取常数012(1)
n c n =Γ+，这样选取0c 有两个好处：一是可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同；二是可以运用下列恒等式
()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++
使分母简化，从而使一般项的系数变成
221(1)2!(1)
m m n m c m n m +=-Γ++, 由此得到的贝塞尔方程的级数解，此级数的和函数称为n 阶第一类贝塞尔函数，记为()n J x ,
201()(1)()!(1)2
m
m n n m x J x m n m ∞+==-Γ++∑ (2-6) n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+, 因此为正整数时
201()(1)()!()!2
m
m n n m x J x m n m ∞+==-+∑ . 显然，当n 为偶数时，()n J x 为偶函数；当n 为奇数时，()n J x 为奇函数。

(ii)当r n =-,同样可得贝塞尔方程的另一特解
201()(1)()!(1)2
m
m n n m x J x m n m ∞--==-Γ-++∑ (2-7) 对于上式应注意两点：
1) 由于(1)0N m -++<时，(1)N m Γ-++→±∞，对于1m N <-的项，系数为0，于是
21()(1)()!(1)2
m m N N m N x J x m N m ∞--==
-Γ-++∑ 2) 比较(2-6)与(2-7)两式可知，不论n 为何实数，总可以用(1.4.2)式统一地表示第一类贝塞尔函数。

2. 第二类贝塞尔函数
1) 当n 不为整数时，分析函数()n J x 与()n J x -在0x =附近的性态（设
0,()0,()(0)n n n J x J x x ->→→∞→），可知()n J x 与()n J x -线性无关，因此贝塞尔方程的通解为
()()n n y AJ x BJ x -=+
其中,A B 为任意常数.
当n 为整数时，()n J x 与()n J x -线性相关，他们之间有关系式
)()1()(J x J x n n n -=- (0,1,2,)n =±±….
事实上，我们不妨设n 为正整数（这不失一般性，因为当n 为负整数时，会
得到同样的结果），则在式(2-6)中，当0,1,2,,1m n =-时，1n m -++将为负整
数或零，对于这些值(1)n m Γ-++为无穷大，所以
201()(1)()!(1)2
m
m n n m x
J x m n m ∞
--==-Γ-++∑
21(1)()!(1)2
m
m n m n
x
m n m ∞
-==-Γ-++∑
令m n k =+，得
201()(1)()()!(1)2
n k
n k n k x
J x n k k ∞
++-==-+Γ+∑
20
1(1)()()!!2n k
n k k x
n k k ∞
++==-+∑
20
1(1)
(1)()()!!2
n k
n k k x
n k k ∞
+==--+∑
(1)()n n J x =-
即()n J x 与()n J x -线性相关. 这时()n J x 与()n J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了. 为了求出贝塞尔方程的通解，需要构造另一个与()n J x 线性无关的解. 通常用线性组合与极限方法作出贝塞尔方程的另一个解（记作()n N x ）.
2) 当n 不是整数时，令
()cos ()
()cot ()csc ()sin n n n n n J x n J x N x n J x n J x n ππππ
---=-=
;
当n 为整数时，取
()lim ()n n
N x N x ∂∂→=.
由上面两式所定义的函数()n N x 称为n 阶第二类贝塞尔函数或称为诺依曼(Neumann)函数。

它的级数表达式为
120202
1(1)!()()ln ()2!2
1
(1)[(1)(1)]()!()!2n k n
n n k k
k n
k x n k x N x J x k x n k k k n k ππψψπ--=∞
+=--=--
-+++++∑∑，
其中'()
()()x x x ψΓ=Γ；当0n =时，去掉第二项有限和. 特别地，在0x =的小邻
域内有近似公式
02
()ln 2x
N x π≈
, (1)!()()(1)2
n
n n x N x n π--≈-
≥.
)(x N n )(J x n
3) 不论n 为何实数，)(x N n 与贝塞尔方程的另一个解)(J x n 线性无关，因为当
x=0时，)(J x n 为有限值，而)(x N n 为无穷大，所以)(J x n 与)(x N n 线性无关。

因此贝塞尔方程的通解可表示为 ()()n n y AJ x BN x =+, 式中A ，B 为任意常数，n 为任意实数.
201()(1)()!(1)2
m
m n n m x
J x m n m ∞
+==-Γ++∑
()cos ()
,sin ()()cos ()lim sin n n n n
J x n J x n n N x J x J x n ππππ-∂-∂∂→-⎧⎪⎪
=⎨
∂-⎪⎪∂⎩不为整数
为整数
在一些定解问题中，n 是零或正整数，且相应的本征值问题带有自然边值条件：(0)y 有界，因此，贝塞尔方程的通解不能取式()()n n y AJ x BJ x -=+，而应取式()()n n y AJ x BN x =+. 因为当0x +→时，()(0,1,2,)n N x n →-∞=…，于是在
()()n n y AJ x BN x =+中常取0B =，即在条件(0)y <+∞下，贝塞尔方程的解为
()n y AJ x =
）（ ,2,1,0n =
其中A 为任意常数. 3. 第三类贝塞尔函数
用第一类和第二类贝塞尔函数可以定义复数型的第三类贝塞尔函数()n H x ,也称为汉克尔(Hankel)函数:
(1)()()()n n n H x J x iN x =+， (2)()()()n n n H x J x iN x =- .
其中i =是虚数单位，n 为任何实数。

由于它们是贝塞尔方程的两个线性无关解，因此，对任何实数n ，贝塞尔方程通解的另一表达式为
(1)(2)
()()n n y AH x BH x =+ .
其中,A B 为任意常数.
当x →+∞时，三类贝塞尔函数的渐近表达式为
())42
n n
J x x ππ≈
--；
())42
n n
N x x ππ≈
--;
()(1)42()n
i x n
H x π
π--≈,
()(2)42
()n i x n
H
x ππ---≈.
4. 虚宗量的贝塞尔函数
圆柱形区域内，如果上下两底的边值条件是齐次的，侧面的边值条件是非齐次时会遇到如下的微分方程：
22
222
()()()d d
x x x y x n y x dx dx
+-=
令,t ix dt idx ==，即得到贝塞尔方程
22
222
()()()d d t t t y t n y t dt dt
++=. 故有解220()2
!(1)n m
n n n m m x J ix i m n m +∞
+==Γ++∑, 定义
()()n n n I x i J ix -=
为第一类虚宗量的贝塞尔函数，
0.5[()()]
()sin n n n I x I x K x n ππ
--=
为第二类虚宗量的贝塞尔函数。

（二）贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间存在一定的递推关系. 1) 第一组是微分公式：
1[()]()n
n n n d x J x x J x dx -= (2-8) 1[()]()n
n n n d x J x x J x dx
--+=-. (2-9)
先讨论零阶与一阶的贝塞尔函数之间的关系.
由于201()(1)()!(1)2m
m n n m x
J x m n m ∞
+==-Γ++∑
(0)n ≥
有 2022
()(1)2(!)m
m
m m x J x m ∞
==-∑, 21
121`
()(1)2!(1)!m m
m m x J x m m +∞
+==-+∑. 从而
212101222110
2()(1)(1)()2(!)2!(1)!m k m k
m k m k d mx x J x J x dx m k k -+∞∞
+===-=--=-+∑∑, 即
01()()d
J x J x dx
=-. 将1()J x 乘以x 并求导数，得
2221102122
00[()][(1)](1)()2!(1)!2(!)m m m m
m m m m d d x x xJ x xJ x dx dx m m m ++∞∞
+===-=-=+∑∑ 即
10[()]()d
xJ x xJ x dx
=. 以上结果可以推广，现将n x 乘以()n J x 并求导，得
2201[()][(1)()2]!(1)2n m m n n n m d d x x J x dx dx m n m ∞+==-Γ++∑ 210
1(1)()!()2
n
m
m n m x
x
m n m ∞
+-==-Γ+∑
1()n n x J x -=. 当1n =时，(2-8)式化为
100[()]()d
xJ x x J x dx
=； 当0n =时，(2-9)式化为
01[()]()d
J x J x dx
=-. 由以上四式可得不定积分公式：
1()()n n n n x J x dx x J x C -=+⎰
， 1()()n
n n n x
J x dx x J x C --+=-+⎰，
1
()()xJ x dx xJ x C =+⎰，
1
()()J x dx J
x C =-+⎰.
2) 第二组是高阶用低阶表示的递推公式：
112()()()n n n n
J x J x J x x
+-=
-, (2-10) '11()()2()n n n J x J x J x +-=-. (2-11)
这组公式由第一组公式推出：将(2-8)与(2-9)两式左端的导数求出来，经化简
后相减相加即得。

又由(2-8)与(2-9)两式可以分别证明：
(
)[()]()p n
n p n n p d x J x x J x xdx
--=， (2-12) ()()[()](1)()p n p n p n n p d x J x x J x xdx --++=-， (2-13) 其中记号()()p
d f x xdx
表示运算
()(){[(())]}p p d d d d f x f x xdx xdx xdx xdx
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅共次
所有上述关于()n J x 的递推公式对任何n 都成立。

（三）半奇数阶贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数和诺依曼函数一般说来不是初等函数，但半奇数阶第一类贝塞尔函数1
2
()(0,1,2,)n J
x n +=±±…的一个重要特点是，它可以用初等函数来表
示。

比如，我们计算
122
10
2
(1)()=()
12
!(1)2
m m
m x
J x m m +
∞=-Γ++∑
210(1)(21)!m m x x m ∞+=-=+ 这里用到了公式
1212111(1)()22222m m m +-Γ++=Γ (1)
135(21)(21)2
m m m +-+=…
类似地，可证
12
()J x x -=
一般地，利用递推公式(2-13)可证得12
()n J
x +是初等函数：
112
2112
2
()(1)()[()]n n
n n d J
x x
x J x xdx +-+
=-
1sin (1)()(0,1,2,)n n d x n xdx x
+=-=… (2-14)
利用(2-12)式可证得1()
2
()n J x -+是初等函数：
11()
2
cos ()()(0,1,2,)n n n d x J
x n xdx x
+-+=
=… (2-15)
用归纳法可以分别由(2-14)式和(2-15)式证明1
()
2
()n J
x ±+的明显表达式：
[]2
1202
1
[]2
21
0(1)(2)!
()]2(2)!(2)!(2)(1)(21)!
cos()]
2(21)!(21)!(2)n m m n m n m m m n n m J x x m n m x n n m x m n m x ππ+=-+=-+-+--++-+--∑∑,
[]2
12()02
1
[]2
21
0(1)(2)!
()]2(2)!(2)!(2)(1)(21)!
sin()]2(21)!(21)!(2)
n m m n m n m m m n n m J x x m n m x n n m x m n m x ππ-+=-+=-++---++++--∑∑
（四）贝塞尔函数的零点
贝塞尔函数()n J x 的零点，就是方程()0n J x =的根，通常用()n m μ表示n 阶贝塞尔函数()n J x 的第m 个正零点（从小到大依次编号）。

由()n J x 的表达式知，当
0n >时，有零点00((0)1)x J ==，并且如果0()0n J x =，则0()0n J x -=，因此零点是关于原点对称地分布的。

下面是有关零点分布的几个重要性质，它对求解定解问题是很重要的。

1) ()n J x 有无穷多个正零点，且都是单重零点。

设()1n μ，()2n μ，
…是方程()0n J x =的正根，则
2
2()
2()10
()()2
l
n n n i
n i l xJ
x J l μμ+=⎰.
当()()n n i j μμ≠时，
()()
()()0l
n n n i n j xJ x J x dx μμ=⎰， 并且函数系()(){(),(),}n n n i n j J x J x μμ…在区间(0,)l 上是完备系。

零点的渐进公式是
()342
n j n j ππ
μπ≈
++ （j 愈大愈精确）。

2) ()n J x 的零点于+1()n J x 的零点是彼此相间分布的。

即()n J x 的任意两个相邻零
点之间必存在一个且仅存在一个+1()n J x 的零点，反之亦然。

3) ()n J x 的最小正零点小于+1()n J x 的最小正零点，即()(1)11n n μμ+<。

4) 指标n 较大时，()n J x 相邻两零点的距离近似于π。

下表列出了0()J x 到5()J x 的前9个正根.
（五）贝塞尔函数的振荡特性
()n J x 是一个衰减振荡函数，下图中画出了0()J x 和1()J x 在0x >时的图像；
0x <时的图像可以分别根据0()J x 和1()J x 的对称性得到。

0()J x 是偶函数，1()J x 是奇函数。

从下图中可以看出，0()J x 和1()J x 都有无穷多个实数零点。

两者的零点彼此相间分布。

通常认为，贝塞尔函数的级数形式收敛速度很慢，这主要来源于
2
x
的2m n +次幂项的Γ函数的相互制约关系。

随着求和次数m 的增大，Γ函数项增大，当
2
x
的指数项减小(2)x <或2
x
的指数项增大时(2)x >，但其增大速度小于Γ函数项的
增大速度时，该级数很快收敛。

否则，2
x
的指数项随求和次数m 的增大而急速增
大，但Γ函数的增大速度远远小于它。

这样，只有当m 足够大时，才能满足Γ函数的增大速度远远大于
2
x
的指数项增大速度，这时级数才能趋于收敛。

但m 很大导致误差增大甚至溢出。

三、Fourier-Bessel 级数
（一）傅里叶-贝塞尔级数的定义
在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，往往需要把已知函数按贝塞尔函数系展成级数。

由于贝塞尔函数系还是完备的,可以证明，任意在[0,]
R
上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数()f ρ，只要它在0ρ=处有界，在R ρ=处等于0，则它必能展开成如下形式的绝对一致收敛的级数
()1()(
)n m
m n m f A J R
μρρ∞
==∑.
我们利用正交性即可求得这个展开式的系数m A .事实上，我们在上式的两边同时乘以()(
)n m
n J R
μρρ，并对ρ从0到R 积分，利用贝塞尔函数正交性及其模，有
()()2
()(
)(
)n n R
R
m
m
n m n f J d A J d R
R
μμρρρρρρρ=⎰
⎰,
即
()2
2()
11()(
)()2
n R
m
m n n n m A f J d R R
J μρρρρμ-=
⎰
, 1,2,3,m
=
由上式确定的m A 成为Fourier-Bessel 系数，级数式()1
()(
)n m
m n m f A J R
μρρ∞
==∑称为
Fourier-Bessel 级数.
（二）将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 将幂函数按贝塞尔函数展开:
2
221
2(2)()j j x j J x ∞
==∑
我们分别取前四项，前七项，前十项，和前一百项级数和，用matlab 画出图像，然后与2y x =的图像进行对比。

下图是前四项和的逼近情况，纵坐标范围截取(20,100)-：
下图是前七项和的逼近情况，纵坐标范围截取(30,100)
-：下图是前十项和逼近情况，纵坐标范围截取(150,400)
-：
下图是前100项和的逼近情况，可以看出
100
2
2
1
2(2)()
j
j
j J x
=
∑已十分逼近2
y x
=.
将前四项和，前七项和，前十项和的图像放在一起：
从上图可以看出，随着级数和的项数的增加，幂函数的贝塞尔函数展开式的逼近情况越来越好。

下面将函数()f x x = (01)x <<展开成贝塞尔函数系1{(),1,2,}m J x m μ=的级数。

设
112()m m m x A J x μ∞
==∑
其中
1
210
2
2
()()
m m m x J x dx A J μμ=
⎰
, 1,2,m =.
令m t x μ=，则
1
2
21
11230
1
()()()m
m m m m
x J x dx t J t dt J μμμμμ
-=
=⎰
⎰
因此我们得到
1122
()()
m m m m x J x J μμμ∞
==∑
, (01)x <<.
此时，需要先求得贝塞尔函数的零点，这个任务可以用内插法来解决。

我们
要分别找出当050x ≤≤时，1()0J x =的根。

用matlab 编程求得
1 3.832μ= 516.471μ= 27.016μ= 619.616μ=
310.173μ= 722.760μ= 413.324μ= 825.904μ= 929.047μ= 1032.190μ=
1135.332μ= 1238.475μ= 1341.617μ= 1444.759μ= 由matlab 计算可得
21()0.4027J μ= 25()0.1965J μ= 22()0.3001J μ=- 26()0.1801J μ=- 23()0.2497J μ= 27()0.1672J μ= 24()0.2183J μ=- 28()0.1567J μ=- 29()0.1480J μ= 210()0.1406J μ=- 211()0.1342J μ= 212()0.1286J μ=- 213()0.1237J μ= 214()0.1193J μ=-
前两项和的图像如下：
前六项和的图像如下：前十项和的图像如下：
前十四项和的图像如下：将他们放在一起比较：
从图中可以看出，随着项数的增加，级数和在01x <<上越来越趋近于y x =。

而级数和在右端点1x =附近误差较大，是因为当1x →时，11()()0m m J x J μμ→=. 又由于当214n ≤时，22221()()0n n J J μμ++<，所以级数和的项数越多，级数和的数值越小，也就越趋近于y x =。

四、贝塞尔函数的应用
（一）贝塞尔函数在光学中的应用
在与圆孔或其他光学物体有关的光学衍射问题中，人们经常要用到低阶第一类贝塞尔函数。

在许多工程实际应用的场合，人们往往需要知道衍射物在较大尺寸范围内变化时，对应的贝塞尔函数的函数值。

当自变量x 较大时，按贝塞尔函数的定义式进行的数值计算会出现超界现象()1n J x >.这表明在自变量x 较大的时候，按定义式算得的函数值就不正确了。

寻求一个公式或算法，使得在大自变量的情况下，仍能求出精确的函数值是光学技术及工程实际中所要求的。

在x →∞时，n 阶贝塞尔函数可用以下近似公式即所谓的贝塞尔函数渐近公
式表示：
()()cos()()sin()]2424
n n n n n J x A x x B x x ππππ≈
----- (4-1) 式中
22222224(41)(49)(41)(49)(425)(449)
()12!(8)4!(8)n n n n n n n A x x x ------=-+±
(4-2)
2222
3
41(41)(49)(425)
()83!(8)
n n n n n B x x x ----=-± (4-3)
对工程应用来说，(4-1)式的运用并不真的需要自变量x 取非常大，相反往往较小的值时，按渐近公式算得的函数值就已满足工程实际的精度要求。

以零阶贝塞尔函数(0)n =为例，取式(4-2), 式(4-3)的前两项，得
02
9
()1128A x x =-
03175
()81024B x x x =-+
代入公式(4-1)得
0239175())cos()()sin()]1284810244J x x x x x x ππ≈
----+-
(4-5) 按贝塞尔函数的级数表达式和渐近公式分别计算求得的函数值的部分结果及它们的差列于后表。

由表可见，在12x >后，用式(4-5)代替级数定义式求出的函数值的误差610-<，显然对工程应用来说，这样的计算精度一般来说是足够的。

同样对于一阶贝塞尔函数，当13x >时，如用下式：
12315331053
())cos()()sin()]1284810244
J x x x x x x ππ=
+---- 计算函数值，则误差610-<。

以上我们取了式(4-2)、(4-3)中的前两项，如果仅取它的第一项作渐近公式，则当15x >时，用渐近公式求出的函数值的误差
0.0001<.
通过计算表明，最好在15x =左右时就使用渐近公式。

另外如果对式(4-2)、式(4-3)中n A ，n B 取更多的项，还能进一步提高渐近公式的数值计算精度。

采用贝塞尔函数的渐近公式代替级数表达式求函数值的方法，除了能避免在自变量较大时出现错误外，还可提高计算速度，这一点对工程问题中的实时处理来说是十分有益的。

（二）贝塞尔函数在调频制中的应用
在通讯所用的讯号中，一般应进行某一定方式的调制，即在发送的高频电流瞬时值
sin()m i I t ωϕ=+
中，改变其中所包含的三个量(振幅m I ，相角ϕ或频率ω)之一；即是说要使发送的电流的振幅、相角或频率随着调制电流而变，此三种方式分别称为调幅、调相及调频。

在调频过程中，频率的周期性改变是按如下的规律进行：
10(1cos )f m t ωω=+Ω,
其中2F πΩ=是调制讯号的角频率，f m 是调频系数，决定于调制讯号振幅的大小. 调频电流为
00sin(sin )m f i I t M t ω=+Ω (4-6)
(4-6)式中的f M 代表调制时频率的改变，叫做调频指数或频率偏移系数。

利用贝塞尔函数，式(4-6)可写为：
000100200300{()sin ()[sin()sin()]
()[sin(2)sin(2)]()[sin(3)sin(3)]}
m f f f f i I J M t J M t t J M t t J M t t ωωωωωωω=++Ω--Ω++Ω+-Ω++Ω--Ω+ (4-7)
因0000=,=2f f m M f ωωωπ∆=Ω∆∆, 此处0f ∆代表频率的偏移，等于载频0f 与调制系数f m 的乘积，当调制讯号振幅不变时，0f ∆亦是一恒定不变的量。

利用这一关系式，(4-7)可写成下式：
00
000
001{(
)sin ()[sin()(1)sin()]}
m n n n f i I J t F
f J n t n t F ωωω∞
=∆=+∆++Ω+--Ω∑
(4-8) 由(4-8)式可见，调频电流包含有无穷个旁频，第n 个旁频的振幅为0
(
)n f J F
∆,n 阶的第一类贝塞尔函数；但在实际通讯系统中，只需保留有限个旁频即可维持完满的通讯。

为了说明这一点，我们把0
(
)n f J F
∆写成下面的形式： 00()()()n n n f f
J J n J xn F nF
∆∆==
其中。