极限的性质与四则运算法则

具体函数确定。
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0
性质3(局部保号性) 若 lim f (x) A （0 或A 0）， x x0
则 0，使x U0 (x0 )，f (x) （0 或f (x) 0）。
性质4
已知 lim x x0
f (x)
A，若
0，使x
U
0
(
x0
)，
f (x) （0 或f (x) 0），则A （0 或A 0）。
1. 2
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备忘 a0b0 0时，
lim
x
an xn bm xm
§2.4 极限的性质与四则运算法则
一、性质
性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。
性质2(局部有界性) 若极限 lim f (x)存在，则 0，
x x0
使f
(
x)在U
0
(
x0
)内有界。
注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范
围确定。
2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由
4 x
1 x2
6 x4
2
1 x2
1 x4
0
lim
x
4x3
x2
6
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例6
求
lim (
n
1 n2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限.
nlim(n12
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 1) n 2 n
定理 设 lim f (x) A, lim g(x) B,则
(1) lim[ f (x) g(x)] A B;
(2) lim[ f (x) g(x)] A B;
(3) lim f (x) A , 其中B 0. g(x) B
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2
推论1 如果lim f (x)存在,而c为常数,则
利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一
些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。
1、代入法 当代入结果为一个数(即不会出现 0 、 、00、1、0 等情
0 况)时可直接代入。
例 求极限 lim x 2 lg(3x 4) 。
x2
x
(x 2) arctan
2
答案 2
注意 代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。
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例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3 x 4 x
5
x3 1
x3
2. 7
例5
求
lim
x
2x4 4x3
x2 x2
1 6
.
解
lim
x
4x3 2x4
x2 x2
6 1
lim
x
2x4 x2 1
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5
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim(x2 3x 5) lim x2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
( lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2 x2
22 3 2 5 3 0,
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
lim x3 lim 1
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lim[ f (x)]k [lim f (x)]k .
3
注 ⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等；
⑵定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。
(3)参加求极限的函数应为有限个。
如
lim1
1
n
n n
lnim1
1 n
n
1
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lim[cf (x)] c lim f (x). 常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim fi (x)存在,而ai为常数(i 1,2, , n),则
lim[a1 f1(x) a2 f2 (x) an fn (x)] lim a1 f1(x) lim a2 f2 (x) lim an fn (x)
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3、消最大公因子法 同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、 分母除以最高次数的项。
例 求极限 lim 2x5 3x2 1 。 x 4x5 x3
n
3n
4
7n3 n5 1
2
。
答案 0
很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数 以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
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例3
求
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零 .
先约去不为零的无穷小 因子x 1后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)(x 3)(x
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
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注 若已知中是f (x) 0，结果仍是A 0。
性质5 已知 lim f (x) A，lim g(x) B，若 0，使
x x0
x x0
x
U
0
(x0
)，f
(x)
g ( x)，则A
B。
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1
二、四则运算法则 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数
ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。
推论3 如果lim fi (x)存在(i 1,2, , n),则 lim[ f1(x) f2 (x) fn (x)]
lim f1(x) lim f2 (x) lim fn (x)
推论4 如果lim f (x)存在,而k是正整数,则
lim[ f (x)]k [lim f (x)]k .
推论5 如果lim f (x)存在且不为零,而k是正整数,则
x2
lim (x 2
x2
3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
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例2
求
lim
x1
x2
4x 1 2x
3
.
解 lim(x2 2x 3) 0, x1
又 lim(4x 1) 3 0,
x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
x2
4x 1 2x
3
.
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当出现 0 或 时，可考虑尽可能化去0因子或因子。 0
2、消零法
若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式， 再消去公因式，直至可直接代入。
例
求极限
lim
x2
x3 x 2 16x 20 x3 7x 2 16x 12
。
计算过程