第2章运动定律与力学中的守恒定律

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三、动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系统 内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。 这就是动量守恒定律。
n
即： Fi 0,
mi i
=常矢量
i 1
i
说明: 1. 守恒条件是
n
Fi 0 而不是
(t2
t1
Fi )dt 0
i 1
2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系.
由牛顿第三定律知：
T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T，
有
T / 2T 4m2m1 g
m1 m2
讨论: (1) T/ ＜(m1＋m2)g. (2) m1=m2: a1＝a2＝0; T=2m1 g
11
例: 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾
角为.当升降机以匀加速度a1竖直上升时，质量为m的 物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图所示.已知斜面
则有
d 0 T2 2
t k dt 0m
1
2T
ln T T
k m
t
g
T2
t
百度文库
dx a2 x2
1 ln 2a
a a
x x
c
2gt
2gt
T
e T
2gt
1
T
1
e T
2g t
e T t 1
1 e T t
设m＝70 kg， T＝54 m·s－1，则k＝0.24 N2·m2·s－1. 可得到如图所示的(t)函数曲线.
2
1
x
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例: 一辆装矿砂的车厢以＝4 m·s－1的速率从漏斗下
通过，每秒落入车厢的矿砂为k＝200 kg·s－1，如欲 使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力(忽 略车厢与地面的摩擦)？
解: 设t时刻已落入车厢的矿砂 质量为m，
经过dt后又有dm＝kdt的矿 砂落人车厢.
取m和m＋dm为研究对象， 则系统沿x方向的动量定理为
增量这就是质点的动量定理。
t
I x t0 Fxdt m x m x0
直角坐标系中:
t
I y t0 Fydt m y m y0
t
Iz t0 Fzdt mz mz0
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冲量:
dI Fdtt
I
dI
Fdt t0
冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定
平均冲力
f
F
1
t2
Fdt
m 2
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分解: 直角坐标系中：
自然坐标系中：
Fx
max
m
d x
dt
Fy
ma y
m
d y
dt
Fz
maz
m
d z
dt
F
m
d dt
Fn
2
m
定量的量度了惯性:
mA aB mB aA
① 质量是物体惯性大小的量度；
② 引力质量：
GMm F r 2 r0
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三、牛顿第三定律
当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定 同时以力F2作用在物体A上.F1和F2大小相等，方向
当＝0时，
无水平滑动，l=0 , t=0
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例: 跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速
度增加而增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那
样增大.当空气阻力增大到与重力相等时，跳伞员就达
到其下落的最大速度，称为终极速度.一般在跳离飞机
大约10 s，下落300～400 m时，就会达到此速度(约50
m·s－1).设跳伞员以鹰展姿态下落，受到的空气阻力为
yN
a1 a2
x
mg
解方程，得: a2＝(g＋a1)sin N ＝m(g＋a1)cos
物体对斜面的压力大小
N′=N=m(g＋a1)cos 垂直指向斜面.
m沿斜面向下作匀变速直线运动，所以
l
1 2
a2t 2
1 2
(g
a1 ) sin
t2
t
2l
( g a1)sin
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(5)讨论结果
当＝0时,
N′=N=m(g＋a1).
m2
T1
T2
T
a1
隔离体受力如图所示.
a2
列出方程 取a1向上为正方向，则有
T1－m1g＝m1a1
m1g
①
m2g
T1/ T2/
10
以a2向下为正方向，则有
m2g－T2＝m2a2.
②
根据题意有
T1＝T2＝T， a1＝a2＝a. 联立①和②两式得
a m2 m1 g m1 m2
T 2m2m1 g m1 m2
m1
t2 t1 t1
t2 t1
f
说明:
△ F应为合外力；
0
t
△ 也只对惯性系成立。
△ p是状态量； I是过程量。
t t+△t
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二、质点系的动量定理
第i个质点受的 合外力
Fi fij
i
则
Fi
ji
fij
ji
d (mii )
dt
i质点的动量定理：（Fi
dpi dt
fi） j d t
长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底
部所需的时间.
a1
解: (1)选取对象
以物体m为研究对象.
(2) 分析运动
m相对于斜面向下的加速度为
a2
m相对于地的加 速度为
a a1 a2
yN a1 a2
(3) 分析受力 m受力如图
x
mg
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(4)列出方程 对m应用牛顿定律列方程：
x方向: mgsin ＝m(a2－a1sin) y方向: N－mgcos ＝ma1cos
为平均冲力与x方向的夹角。
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用矢量法解
I ＝Ft
m
2 2 1
m2
2 2
2m 21 2
cos105
y 2
0
30o n 45o x
6.14 102 Ns
F
I
6.14N
t
m 2 sin
Ft sin 105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
1
Ft
1 105o
pi
d pi
Fi
fij
f ji
j
对质点系:
(Fi
ji
fij）d t
d
pi
i
ji
i
由牛顿第三定律有: fij 0
所以有:
i ji
( Fi )d t d pi
i
i
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令 则有：
Fi F外 ，
pi p
i
i
F外 d t d p
t2 t1
F外
d
t
p2
p1
质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外 力的冲量.
F＝k2(k为常量)，如图所示.试求跳伞在任一时刻的下
落速度. 解：设向下为y轴正向
跳伞运动员受力如图
F 0
由牛顿第二定律得
mg k 2 m d
dt
d 0
dt
时,终极速度
T
mg k
y mg
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运动方程写为
T2
2
m k
d
dt
d T2 2
k m
dt
因t＝0时，＝0；并设t时，速度为 . 取定积分
1.牛顿第一定律 一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运
动状态. 牛顿第一定律又称为惯性定律.
意义： (1) 定性给出了两个重要概念,力与惯性
力是物体与物体间的相互作用. 惯性是物体的固有属性.
(2) 定义了惯性参考系 惯性定律成立的参照系为惯性系。
3
2.惯性系与非惯性系 相对于孤立质点静止或作匀速直线运动的参考
5
二、牛顿第二定律
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的 大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反
比；加速度的方向与合外力F的方向相同 F ma
瞬时性：第二定律是力的瞬时作用规律 F、a 之间一一对应
矢量性：有大小和方向，可合成与分解
力的叠加原理
i
F F1 F2 FN Fi
N 1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
§2.1 牛顿运动定律 §2.2 动量 动量守恒定律 §2.3 功 动能 势能 机械能守恒定律 §2.4 角动量 角动量守恒定律 §2.5 刚体的定轴转动
1
物体间的相互作用称为力，研究 物体在力的作用下运动的规律称为 动力学.
2
§2-1 牛顿运动定律
一、惯性定律 惯性参考系
一.质点的动量定理
定义: 质点的动量— p m
定义:
△ 状态矢量
△ 相对量
力的冲量
—
I
t
F dt
t0
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若一个质点，所F受合d(外m力)为 dFp
dt dt
质点动量定理：
微分形式
dI Fdt dp
积分形式
t I t0 Fdt p p0
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的
质量 千克 kg 保存在巴黎度量衡局的“kg标准原器” 的质量
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2. 量纲 可根据一定的关系式,从基本量导出的量称为导
出量，相应的单位称为导出单位。 为定性表示导出量和基本量间的关系，常不考虑
关系式中的数字因数，而将物理量用若干基本量的乘 方之积表示，这样的式子称为该物理量的量纲式，简 称量纲。
Fdt＝(m+dm) －(m +dm·0)＝dm＝ kdt
则: F＝k ＝2 000×4＝8×103 (N)
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§2-3 功 动能 势能 机械能守恒定律
一.功 功率
1.功：力在位移方向上的投影与该物体位移大小的
乘积.
dW F dr
力沿路径 l 的线积分 b
W a F dr
dr
a
b F
3. 若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒；
但总动量可能并不守恒。
4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定 律，它在宏观和微观领域均适用
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例: 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推 挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和 30o，求：(1)乒乓球得到的冲量；(2) 若撞击时间为 0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。
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*五、国际单位制和量纲
1. 单位制 就是规定那些物理量是基本量及所使用的基本
量的数量级。
国际单位制（SI）的力学基本量和单位：
量的 单位 单位 名称 名称 符号
单位的定义
时间 秒
s 1秒= 138Cs原子基态的两个超精细能 级之间跃迁时辐射光波的 9,192 ,631 ,770个周期
长度 米
m 光在真空中在（1/299 792 458）s内 所经过的距离
某物理量 Q 的量纲通常表示为 Q 。 在SI中，基本力学量是长度、质量、时间，它们的 量纲分别用 L、M、T 表示。
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例如：在SI制中
[ ] [ ds] LT1
dt
[a] LT 2
F = MLT2 只有量纲相同的项才能进行加减或用等式联接。
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§2.2 动量 动量守恒定律
整个物理学大厦的基石,三大守恒定律： 动量守恒定律 能量转换与守恒 角动量守恒
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(1)乒乓球得到的冲量:
m=2.5g, 1=10m/s, 2=20m/s I Ixi I y j 0.061i 0.007 j N s
(2) 若t=0.01s
2
2
Fx 6.1N Fy 0.7N F F x F y 6.14N
tan Fy 0.1148 6.54
Fx
单位时P间内dW所作 F的 功dr 称 F为 功 率
dt
dt
功率的单位：在SI制中为瓦特（w）
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3.保守力的功
(1) 重力的功
物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐
标原点.
b
W mg dr
a b
a (mgk ).(d xi d yj dzk )
z
z2
b
a
z1
x 0 mg y
z2 mgdz z1 W mgz2 mgz1
系称为惯性参考系，简称惯性系.
牛顿定律只适用于惯性系。
S/系
光滑 S/:牛顿定律不成立
a/ 0
F/ 0
ma
/
S系
a/
as
S:牛顿定律成立 a = 0
F 0
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① 确定惯性系──只有通过力学实验 根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星
运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是 一个惯性系。 ② 相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也 是惯性系 非惯性系：相对于已知惯性系作加速运动的参照系
直角坐标系中 F Fxi Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W
b F dr
a
x2 x1
Fx
dx
y2 y1
Fydy
z2 z1
Fzdz
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功值的图示法
Fcosθ
说明：
dW
0a
bs
(1)功是标量，有正、负之分。
(2)功是过程量，与初末位置及运动路径有关。
2.功率
从运动关系上补方程） （5）讨论结果（量纲？特例？等）
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例：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别
悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)，如图所示.设滑轮 和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加
速度以及悬挂滑轮的绳中张力.
解：选取对象
m1、m2及滑轮 分析运动
a
m1
m1，以加速度a1向上运动 m2，以加速度a2向下运动 分析受力
解：取挡板和球为研究对象
作用时间很短，忽略重力影响。
设挡板对球的冲力为 F
则有：
I
F dt m2 m1
取坐标如图示
y 2
0
30o n 45o x
1
Ix Fxdt m2 cos 30 (m1 cos45) Fxt
I y Fydt m2 sin 30 m1 sin 45 Fyt
相反，且力的作用线在同一直线上. F1 F2
作用力与反作用力： ①总是成对出现，一一对应的. ②不是一对平衡力. ③是属于同一性质的力. 说明：
若相对论效应不能忽略时，牛顿第三定律的这种 表达就失效了，这时取而代之的是动量守恒定律.
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四、牛顿定律的应用
解题思路: （1）选取对象 （2）分析运动（轨迹、速度、加速度） （3）分析受力（隔离物体、画受力图） （4）列出方程（标明坐标的正方向；