回溯法详细讲解
回溯法科普
回溯法科普
回溯法是一种在问题的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根节点出发，通过递归调用不断探索解空间的过程。
它是一种试探性的解决问题方法，当探索到某一分支路径无法产生可行解时，就“回溯”返回上一步，尝试其他可能的分支。
具体步骤如下：
1. 选择一个初始解或状态作为当前解。
2. 如果当前解满足目标条件（即是一个可行解），则输出该解，并结束算法；否则，转至下一步。
3. 扩展当前解：生成当前解的一个新的后代解，并使其成为新的当前解。
4. 重复步骤2和3，直至找到可行解或者所有可能的后代解都被探索完毕（即解空间树被完全遍历）且没有找到可行解为止。
回溯法通常用于解决约束满足问题，例如八皇后问题、数独问题、旅行商问题等组合优化问题。
它的核心思想是在寻找问题答案的过程中，通过剪枝操作避免无效搜索，以提高求解效率。
回溯法课程知识点总结
回溯法课程知识点总结在回溯法中，通常使用递归的方式来遍历解空间树，每次遍历到下一层时，都会尝试选择一个决策。
如果选择的决策不满足约束条件，则进行回溯，取消该决策，重新选择其他决策。
当所有的决策都尝试完毕后，就回到上一层继续尝试其他决策，直至搜索到满足约束条件的解，或者搜索完整个解空间树。
回溯法的优点是能够有效地遍历解空间树，找到满足约束条件的解。
它也具有灵活性高、适用范围广等优点。
但同时，回溯法也存在着时间复杂度高、搜索空间大等缺点。
在实际应用中，回溯法通常需要结合具体问题进行适当地优化，以提高搜索效率。
下面我们将介绍回溯法的具体实现和应用。
1. 回溯法的实现回溯法的实现通常由两部分组成：递归函数和决策函数。
递归函数用于遍历解空间树，决策函数用于判断是否满足约束条件和进行决策选择。
下面以求解八皇后问题为例，介绍回溯法的实现。
八皇后问题是一个经典的回溯法应用题目，在一个8×8的棋盘上摆放八个皇后，使得它们互相不攻击。
互相不攻击的条件是：任意两个皇后不在同一行、同一列或同一斜线上。
```pythondef solve_n_queens(n):res = []def backtrack(path):if len(path) == n:res.append(path[:])returnfor i in range(n):if is_valid(path, i):path.append(i)backtrack(path)path.pop()def is_valid(path, col):row = len(path)for i in range(row):if path[i] == col or abs(row - i) == abs(col - path[i]):return Falsereturn Truebacktrack([])return res```在上面的代码中，solve_n_queens函数用于求解八皇后问题，其实现思路如下：首先，定义一个回溯函数backtrack，用于遍历解空间树。
回溯法简介——精选推荐
回溯法简介回溯法(探索与回溯法)是⼀种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到⽬标。
但当探索到某⼀步时，发现原先选择并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个的点称为“回溯点”。
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。
回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。
问题的解空间应⽤回溯法解问题时，⾸先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应⾄少包含问题的⼀个(最优)解。
问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式显约束：对分量xi的取值限定隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成状态空间树的动态搜索 可能解----》可⾏解---》最优解可能解：解空间的⼀个⼦集。
可⾏解：满⾜约束条件的解最优解：使⽬标函数取极值的最优解。
在背包问题中，有2^n中可能解，其中有些是可⾏解，有些不是可⾏解。
在可⾏解中，也只有⼀个或⼏个是最优解。
有些问题不需要寻找最优解，例如后⾯的⼋后问题和图的着⾊问题，只要找出满⾜约束条件的可⾏解即可。
回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。
回溯法
回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域，且|Si| 有限，i=1，2，…，n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D 的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。
但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2， (xi)满足D中仅涉及到x1，x2，...，xi的所有约束意味着j（jj。
因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，...，xj）违反D中仅涉及x1，x2， (x)的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E 中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
基本算法-回溯法（迷宫问题）
基本算法-回溯法（迷宫问题）作者：翟天保Steven版权声明：著作权归作者所有，商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处前言本文介绍一种经典算法——回溯法，可作为迷宫问题的一种解法，以下是本篇文章正文内容，包括算法简介、算法应用（迷宫问题）、算法流程和C++代码实现。
一、回溯法简介回溯法（Backtracking）是枚举法的一种，可以找出所有或者一部分的一般性算法，且有效避免枚举不对的解。
当发现某个解的方向不准确时，就不再继续往下进行，而是回溯到上一层，减少算法运行时间，俗称“走不通就回头换路走”。
特点是在搜索过程中寻找问题的解，一旦发现不满足条件便回溯，继续搜索其他路径，提高效率。
二、算法应用（迷宫问题）1.问题描述迷宫问题是回溯法的一种应用。
迷宫问题的描述为：假设主体（人、动物或者飞行器）放在一个迷宫地图入口处，迷宫中有许多墙，使得大多数的路径都被挡住而无法行进。
主体可以通过遍历所有可能到出口的路径来到达出口。
当主体走错路时需要将走错的路径记录下来，避免下次走重复的路径，直到找到出口。
主体需遵从如下三个原则：1.一次步进只能走一格；2.遇到路径堵塞后，退后直到找到另一条路径可行；3.走过的路径记录下来，不会再走第二次。
2.解题思路首先创建一个迷宫图，比如用二维数组人为定义MAZE[row][col]，MAZE[i][j]=1时表示有墙无法通过，MAZE[i][j]=0时表示可行，假设MAZE[1][1]为入口，MAZE[8][10]为出口，创建如下初始迷宫图：图1 初始迷宫图当主体在迷宫中前行时，有东南西北（即右下左上）四个方向可以选择，如下图所示：图2 方向示意图视情况而定，并不是所有位置都可以上下左右前进，只能走MAZE[i][j]=0的地方。
通过链表来记录走过的位置，并将其标记为2，把这个位置的信息放入堆栈，再进行下个方向的选择。
若走到死胡同且未到达终点，则退回到上一个岔路口选择另一个方向继续走。
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法是一种通过逐步试探、回溯到上一步来寻找问题解的方法。
它适用于在一个问题的解空间中搜索所有可能的解，通过深度优先的方式进行搜索。
回溯法的基本原理是：从问题的初始状态开始，不断地进行选择，当发现选择导致了无效的解或者无法继续选择时，就回溯到上一步重新进行选择。
在回溯的过程中，保存了每一步的选择，这样可以在找到一个解或者搜索完整个解空间后，利用已经保存的选择恢复出解。
具体来说，回溯法一般包含以下步骤：
1. 定义问题的解空间：也就是问题的所有可能的解组成的空间。
2. 制定问题的解空间的搜索规则：决定了在解空间中搜索的顺序和方式。
3. 利用深度优先的方式进行搜索：从问题的初始状态开始，逐步进行选择，如果选择导致了无效的解或者无法继续选择，则回溯到上一步。
4. 终止条件：当搜索完整个解空间或者找到一个解时，终止搜索。
回溯法的时间复杂度一般很高，因为它需要搜索整个解空间。
但是，通过合理的剪枝策略，可以减少搜索的路径，降低时间
复杂度。
回溯法常常应用于解决组合问题、排列问题、子集问题等涉及组合选择的问题，也可以用于解决图的遍历问题等其他类型的问题。
回溯法与分支限界法
回溯法与分支限界法
回溯法和分支限界法是两种常见的搜索算法，它们被广泛应用于解决优化问题、约束满足问题以及决策问题等。
1. 回溯法：
回溯法是一种基于试错的搜索算法。
它通过搜索解空间树来寻找问题的解。
在搜索过程中，回溯法会尝试不同的分支，也就是不同的可能解，直到找到解或者确定无解。
如果一条路径上无法得到解，回溯法就会回溯到上一步，尝试其他的分支。
回溯法的优点是它可以找到问题的所有解，而且对于一些问题，它能够找到最优解。
然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么回溯法可能会需要大量的时间和空间。
2. 分支限界法：
分支限界法是一种有约束的深度优先搜索算法。
它也是一种用于求解优化问题的算法。
在分支限界法中，搜索过程被分为两个阶段：扩展阶段和限界阶段。
在扩展阶段，算法会生成所有可能的候选解，并将它们加入到候选解集中。
在限界阶段，算法会根据一些启发式信息对候选解进行排序，并只考虑排在最前面的候选解。
这样可以大大减少搜索的时间和空间复杂度。
分支限界法的优点是它可以找到问题的最优解，而且它的时间复杂度是可以控制的。
然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么它可能需要大量的内存来存储候选解。
总的来说，回溯法和分支限界法都是非常重要的搜索算法，它们在不同的场景下都有各自的优势和适用性。
回溯法的几种算法框架
回溯法的几种算法框架回溯法是一种经典的求解问题的算法框架，通常用于解决组合优化、搜索和排列问题。
下面将介绍回溯法的几种常见算法框架。
1. 全排列问题：全排列问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的排列方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
首先选择一个初始位置，然后从剩余的数字中选择下一个位置，依次类推，直到所有位置都被填满。
当所有位置都填满时，得到一个排列。
随后继续回溯，在上一次选择的位置后面选择下一个数字，直到得到所有的排列。
2. 子集问题：子集问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的子集。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，可以选择将其添加到当前正在构建的子集中，也可以选择跳过。
递归地遍历所有可能的选择路径，直到得到所有的子集。
3. 组合问题：组合问题是指在给定的一组数字或字符中，取出若干个元素进行组合，求解出所有不重复的组合方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，将其添加到当前正在构建的组合中，然后以当前选择元素的下一个位置为起点，递归地构建后续的组合。
如果当前组合已经满足条件或者已经遍历完所有可能的位置，则回溯到上一次选择的位置，继续尝试其他可能的选择。
4. 搜索问题：搜索问题是指在给定的搜索空间中，找到满足特定条件的解。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从初始状态开始，选择一个操作或移动方式，然后递归地探索所有可能的状态转移路径。
每次探索时，进行剪枝操作，排除一些不符合条件的状态。
当找到满足条件的解或搜索空间遍历完时，回溯到上一次选择的位置，继续探索其他可能的路径。
总结：回溯法是一种求解问题的经典算法框架，适用于组合优化、搜索和排列问题。
通过选择和回溯的方式，可以遍历所有可能的解空间，并找到满足特定条件的解。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的算法框架和相应的优化策略，以提高算法的效率和准确性。
回溯法算法步骤
回溯法算法步骤回溯法呀，就像是一个特别执着的侦探在破案。
咱就说有这么一个大谜题，像是一个巨大的迷宫，回溯法就是在这个迷宫里找出口的办法。
这个算法呢，它得从一个初始的状态开始，就好比侦探站在迷宫的入口。
这算法得有个解空间，这解空间就像是一片大森林，里面有各种各样的路，有的路能通向答案，有的路就是死胡同。
那回溯法怎么找呢？它就像一只小心翼翼的小松鼠，在森林里一条路一条路地试探。
当它沿着一条路走的时候，它会不断地检查，这是不是自己要找的路呢？就好比侦探在查线索，每发现一个新情况就琢磨，这是不是能指向真凶呢？如果走着走着发现不对劲儿了，这时候可不能一条道走到黑呀。
就像你走路碰到一堵墙，你还能傻乎乎地继续撞墙吗？肯定不能啊。
回溯法这个时候就会退回去，回到之前的一个状态，重新选择一条路走。
这就像侦探发现这个线索是假的，得回到之前的调查点，重新找新的方向。
在这个过程中，它得有个约束条件，就像是迷宫里的一些规则，或者是侦探查案时的一些法律规定、道德底线啥的。
如果违反了这个约束条件，那就肯定是走错路了，就得赶紧退回来。
比如说，你不能因为想快点找到出口就破坏迷宫的墙吧，这是不允许的。
那它怎么知道什么时候找到了答案呢？这就像是侦探收集到了足够的证据，可以确定凶手是谁了。
当满足了一定的目标条件，回溯法就知道，哦，我找到答案了。
回溯法在做这些的时候，它得记录下自己走过的路，就像侦探得做笔记一样。
要是不记录，那走回头路的时候都不知道该怎么退回去了。
这就好比你在森林里不做记号，转一圈就晕头转向，不知道自己从哪来的了。
回溯法有时候会遇到特别复杂的情况，就像侦探遇到那种超级复杂的案子，有无数的嫌疑人，无数的线索。
但是它也不会轻易放弃，就像好的侦探不会被困难吓倒一样。
它会耐心地一条路一条路试，一个线索一个线索查。
这个算法其实也很聪明呢，它不是盲目地乱试。
它会根据之前的经验，对可能的路有个大概的判断。
就像有经验的侦探看一眼现场，大概就能知道哪些方向值得去查，哪些可能是浪费时间。
回溯法讲义(新)
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旅行售货员问题
某售货员要到若干城市去推销商品，下图显示了各城市之 间的路程，他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍， 最后回到住地的路线，使总的路程最短。（假设售货员的 驻地在1） 30 1 2 路线图
5 6 3 10 4 20 4
上图是一个4顶点无向带权图。顶点序列1，2，4，3，1；1，3，2，4，1 和1，4，3，2，1是该图中3条不同的周游 路线。
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2. 回溯法的步骤
1)定义一个解空间，它包含问题的解。 2)用适于搜索的方式组织该空间。 3)用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可 能产生解的子空间。 常用的剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树；
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3. 解空间
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回溯与分支限界
回溯法和分支限界法都是通过系统地搜索解空间树而求得 问题解的搜索算法。 在系统地检查解空间的过程中，抛弃那些不可能导致合法 解的候选解，从而使求解时间大大缩短。（与蛮干算法相 区别） 回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法以广 度优先或最小耗费（最大收益）的方式搜索解空间。 有关分支限界的详细内容下一章为大家讲解
print(“换行符”); }
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2 回溯法应用-例5.2 马的遍历问题
【例8.4】马的遍历问题 在n＊m的棋盘中，马只能走“日” 字。马从位置(x,y) 处出发，把棋盘的每一格都走一次，且只走一次。找出所 有路径。
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2 回溯法应用-例5.2 马的遍历问题-问题分析
问题1：问题解的搜索空间？
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回溯法求解
当i<n时，当前的扩展结点位于排列树的第i-1层。图G中 存在从顶点 x[i-1]到达顶点x[i]的边时，x[1:i]构成图G 中的一条路径，且当x[1:i]的费用小于当前最优值时算法 进入排列树的第i层；否则，则剪去相应的子树。算法中 用变量cc记录当前路径的费用。
简单易懂回溯算法
简单易懂回溯算法⼀、什么是回溯算法回溯算法实际上⼀个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
许多复杂的，规模较⼤的问题都可以使⽤回溯法，有“通⽤解题⽅法”的美称。
回溯算法实际上⼀个类似枚举的深度优先搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就“回溯”返回（也就是递归返回），尝试别的路径。
⼆、回溯算法思想回溯法⼀般都⽤在要给出多个可以实现最终条件的解的最终形式。
回溯法要求对解要添加⼀些约束条件。
总的来说，如果要解决⼀个回溯法的问题，通常要确定三个元素：1、选择。
对于每个特定的解，肯定是由⼀步步构建⽽来的，⽽每⼀步怎么构建，肯定都是有限个选择，要怎么选择，这个要知道；同时，在编程时候要定下，优先或合法的每⼀步选择的顺序，⼀般是通过多个if或者for循环来排列。
2、条件。
对于每个特定的解的某⼀步，他必然要符合某个解要求符合的条件，如果不符合条件，就要回溯，其实回溯也就是递归调⽤的返回。
3、结束。
当到达⼀个特定结束条件时候，就认为这个⼀步步构建的解是符合要求的解了。
把解存下来或者打印出来。
对于这⼀步来说，有时候也可以另外写⼀个issolution函数来进⾏判断。
注意，当到达第三步后，有时候还需要构建⼀个数据结构，把符合要求的解存起来，便于当得到所有解后，把解空间输出来。
这个数据结构必须是全局的，作为参数之⼀传递给递归函数。
三、递归函数的参数的选择，要遵循四个原则1、必须要有⼀个临时变量(可以就直接传递⼀个字⾯量或者常量进去)传递不完整的解，因为每⼀步选择后，暂时还没构成完整的解，这个时候这个选择的不完整解，也要想办法传递给递归函数。
也就是，把每次递归的不同情况传递给递归调⽤的函数。
2、可以有⼀个全局变量，⽤来存储完整的每个解，⼀般是个集合容器（也不⼀定要有这样⼀个变量，因为每次符合结束条件，不完整解就是完整解了，直接打印即可）。
第5章 回溯法
设置中间变量g：先赋值g=1；若出现某两数字相同(即 a(i)=a(k))或a(1)>a(4)，则赋值g=0(重复标记)。 首先从a(1)=1开始，逐步给a(i)(1≤i≤9)赋值，每一 个a(i)赋值从1开始递增至9。直至a(9)赋值，判断： 若i=9,g=1,a(1)*m2*m3+a(4)*m1*m3=a(7)*m1*m2•同时 满足，为一组解，用n统计解的个数后，格式输出这组解。 若i<9且g=1，表明还不到9个数字，则下一个a(i)从1开 始赋值继续。 若a(9)=9，则返回前一个数组元素a(8)增1赋值(此时， a(9)又从1开始)再试。若a(8)=9，则返回前一个数组元素 a(7)增1赋值再试。依此类推，直到a(1)=9时，已无法返 回，意味着已全部试毕，求解结束。
5.2 桥本分数式
案例提出：
日本数学家桥本吉彦教授于1993年10月在我国山东举行的中日美三 国数学教育研讨会上提出以下填数趣题：把1,2,„,9这9个数字填入 下式的9个方格中(数字不得重复)，使下面分数等式成立:
□ □ □ ── + ── = ── □□ □□ □□
桥本教授当即给出了一个解答。这一填数趣题的解是否唯一？如果 不唯一究竟有多少个解？试求出所有解答 (等式左边两个分数交换次 序只算一个解答)。•
（4） 回溯实现
回溯法的试探搜索，是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中，从根结点出 发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判断该结点是 否包含问题的解；如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树 的搜索，逐层向其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。 从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。 通过例5-1“4皇后问题的回溯”理解回溯过程的实现。
回溯算法详解
回溯算法详解
回溯算法是一种常用的解决问题的方法，它的目的是在一个大的问题空间中寻找到一个解决方案。
回溯算法的基本思想是穷举所有可能的解决方案，直到找到符合条件的解决方案为止。
回溯算法的实现通常包括两个部分：状态表示和状态转移。
状态表示是指将问题的解答空间表示为一个状态树，每个节点表示一个状态，状态转移是指从一个节点转移到另一个节点的过程。
回溯算法的实现过程通常包括三个步骤：选择、回溯和剪枝。
选择是指从当前状态节点选择一个扩展节点作为下一步的状态，回溯是指从一个状态节点返回到它的父节点，剪枝是指在搜索过程中对一些不可能达到目标的状态进行剪枝。
回溯算法常常用于求解组合、排列、子集、划分等问题。
由于回溯算法的时间复杂度很高，因此在实际应用中往往需要结合其他优化算法来提高效率。
总的来说，回溯算法是一种通用的算法，它可以解决许多不同类型的问题。
只要能够将问题的解答空间表示为一个状态树，并且能够找到一种回溯的方法来搜索这个状态树，就可以使用回溯算法来求解问题。
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Python中的回溯算法详解
Python中的回溯算法详解回溯算法是一种用于解决组合问题的常用算法。
它通过递归地尝试所有可能的解决方案，当遇到不符合条件的情况时，会回溯到上一步进行另外一种尝试。
在本文中，我们将详细介绍Python中的回溯算法及其应用。
一、什么是回溯算法？回溯算法是一种穷举搜索算法，可用于求解在给定约束条件下的所有可能的解决方案。
它通过尝试每一种可能的选择来构建解决方案，并在达到不符合条件的情况时进行回溯，以选择其他可能的路径。
二、回溯算法的应用场景回溯算法适用于以下场景：1. 组合问题：如在一组数中找出所有的组合；2. 排列问题：如求全排列；3. 子集问题：如求目标集合的所有子集；4. 图的遍历问题：如求解图的哈密顿路径。
三、回溯算法的实现步骤回溯算法的实现包括以下步骤：1. 定义问题的解空间：即确定每个节点的选择范围以及约束条件；2. 组织数据结构：使用适当的数据结构来表示问题的解空间以及中间解；3. 确定搜索路径：定义递归函数来搜索问题空间，并处理中间解；4. 剪枝优化：通过剪枝操作来减少搜索空间，提高算法效率；5. 回溯和回退：当达到不符合条件的情况时，回溯到上一步并选择其他可能的路径。
四、回溯算法的示例代码下面是一个在Python中实现回溯算法的示例代码，用于求解全排列问题。
```pythondef backtrack(nums, track, res):# 结束条件，当track中包含了所有的数字if len(track) == len(nums):res.append(track[:])returnfor num in nums:# 排除不合法的选择if num in track:continue# 做出选择track.append(num)# 进入下一层决策树backtrack(nums, track, res)# 撤销选择track.pop()def permute(nums):res = []track = []backtrack(nums, track, res)return res```五、回溯算法的复杂度分析回溯算法的时间复杂度一般是指数级的，因为它需要遍历解空间的所有可能路径。
回溯法子集和问题
回溯法子集和问题回溯法（backtracking）是一种常用于解决排列组合问题的算法。
它通过递归地尝试不同的选择，寻找问题的解。
在回溯法中，选择分为两种情况：一种是选择当前元素，一种是不选择当前元素。
通过分析这两种情况的结果，可以逐步确定问题的解。
一般来说，回溯法通常用于求解以下类型的问题：1. 子集问题：给定一个集合，要求列举出所有的子集。
子集问题的基本思路是逐个考虑每个元素的选择情况，通过递归来实现。
2. 组合问题：给定一个集合，要求列举出所有长度为k的组合。
组合问题可以看作是子集问题的一个扩展，要求长度为k。
对于组合问题，可以通过设定一个起始位置，在后续的选择中进行限制，从而达到目标。
3. 排列问题：给定一个集合，要求列举出所有的排列。
排列问题会引入一个使用过的元素标识，在递归过程中进行标记和解除标记，以保证不重复选择。
接下来，我们来分别看一下这些问题的解决思路以及实现过程。
首先是子集问题。
假设我们有一个长度为n的集合，我们需要找出该集合的所有子集。
这里我们可以利用回溯法进行递归，具体实现过程如下：```pythondef subsets(nums):res = []subset = []backtrack(nums, 0, subset, res)return resres.append(subset[:])for i in range(start, len(nums)):subset.append(nums[i])backtrack(nums, i + 1, subset, res)subset.pop()```接下来是组合问题。
假设我们有一个长度为n的集合，我们需要找出所有长度为k的组合。
我们可以使用回溯法的思想，通过设定一个起始位置来实现，在每次递归时考虑选择当前元素或者不选择当前元素。
具体实现如下：```pythondef combine(n, k):res = []subset = []backtrack(n, k, 1, subset, res)return resdef backtrack(n, k, start, subset, res):if len(subset) == k:res.append(subset[:])returnfor i in range(start, n + 1):subset.append(i)subset.pop()```最后是排列问题。
回溯法的使用条件和基本方法
回溯法的使用条件和基本方法
回溯法是一种基于试错的搜索算法，它的使用条件是问题具有明确的求解步骤，并且可以通过逐步求解来逼近最终答案。
基本方法包括以下步骤：
1. 定义问题的解空间：确定问题的解空间，即问题的可能解的集合。
解空间通常是一个图或树，其中每个节点表示问题的一个状态，每个边表示从一个状态转移到另一个状态的操作。
2. 确定问题的约束条件：确定问题的约束条件，即限制问题解的规则。
约束条件可以帮助缩小解空间，减少搜索的规模。
3. 搜索解空间：从解空间的根节点（通常是最初始状态）开始搜索，按照一定的搜索策略（如深度优先搜索、广度优先搜索等）遍历解空间。
在搜索过程中，如果遇到未访问过的节点，就扩展该节点，并递归地搜索其子节点。
如果遇到已经访问过的节点，则回溯到上一个节点，继续搜索其他分支。
4. 判断是否找到解：在搜索过程中，如果找到了满足约束条件的解，就停止搜索并返回该解。
如果搜索完整个解空间都没有找到解，则说明该问题无解。
5. 优化搜索效率：为了提高搜索效率，可以采用一些启发式搜索策略，如A 搜索算法、模拟退火算法等。
这些策略可以在一定程度上减少搜索的路径数量，加速搜索过程。
以上是回溯法的基本使用条件和基本方法。
在实际应用中，可以根据问题的特点选择适合的回溯法变种或改进方法，以获得更好的求解效果。
第十一章_回溯法
1第13章回溯法13.1 回溯法简介?有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。
?回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
13.2 问题的解空间?问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2, , ,xn)的形式。
?显约束：对分量 xi 的取值限定。
?隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
?解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
n=3 时的 0-1 背包问题用完全二叉树表示的解空间213.3 生成问题状态的基本方法?扩展结点 : 一个正在产生儿子的结点称为扩展结点?活结点 : 一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点?死结点 : 一个所有儿子已经产生的结点称做死结点?深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把 C当做新的扩展结点。
在完成对子树C（以 C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成 R的下一个儿子（如果存在）?回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法13.4 回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
第5章回溯法
作业1 作业1
对于n 对于n×m的棋盘，从（1,1）开始是否存在 的棋盘，从（1,1）开始是否存在 一条不重复的跳完所有棋盘格的路径，若存 在请给出该路径的描述？对任意的n,m 在请给出该路径的描述？对任意的n,m 是否 总是存在这样一条路径？若不是，能否给出 其存在的充要条件？
B3 A2 A1 A B1 B2 C2 C1 D3 D2 E1 D1
跳马问题
5. 从C2出发，有四条路径可以选择，选择D4， C2出发，有四条路径可以选择，选择D4，
从D4出发又有两条路径，选择E1错误，返 D4出发又有两条路径，选择E1错误，返 回D4选择E2，从E2出发有两条路径，先 D4选择E2，从E2出发有两条路径，先 选择F1错误，返回E2选择B，而B 选择F1错误，返回E2选择B，而B恰好是 我们要到达的目标点，至此，一条路径查找 成功。
回溯算法（一）
什么是回溯
迷宫游戏
入口 回溯
回溯 回溯
什么是回溯法
回溯法是一个既带 有系统性又带有跳跃 性的的搜索算法 性的的搜索算法
索问题 回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 深度优先 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。 的解 它适用于解一些组合数较大的问题。
n皇后问题
既然回溯算法是由一个节点开始逐步扩展的， 因此我们采用把皇后一个一个的放到棋盘上 的方式来分析问题。
n皇后问题
首先要把第一个皇后放到棋盘上由于第一个皇后有 n列可以放，因此可扩展出n种情况。先选其中一列 列可以放，因此可扩展出n 放下这个皇后； 然后开始放第二个皇后。同样第二个皇后也有n 然后开始放第二个皇后。同样第二个皇后也有n列 可以放，因此也能扩展出n 可以放，因此也能扩展出n种情况，但第二个皇后 可能会和第一个皇后发生攻击，而一旦发生攻击， 就没有必要往下扩展第三个皇后，而如果没有发生 攻击，则继续放第三个皇后； 依此类推，直到n 依此类推，直到n个皇后全都放下后，即得到一组 可行解。 扩展全部完成后即可得到结果。
计算机算法回溯法课件
利用并行计算技术，将问题分解为多个子问题，同时求解，提高计 算能力。
人工智能应用
结合人工智能技术，如机器学习、深度学习等，对回溯法进行优化和 改进。
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VS
详细描述
回溯法在排列组合问题中的应用是通过递 归和剪枝实现的。首先，算法会生成一个 解，然后递归地生成下一个解。在生成过 程中，算法会检查当前解是否满足约束条 件，如果不满足则回溯到上一个状态重新 尝试。通过不断回溯和尝试，最终找到所 有合法的解。
05
回溯法的优化与改进
记忆化搜索技术的应用
总结词
特点
回溯法适用于解决组合优化问题，特 别是约束满足问题，它能够找到所有 可能的解，但可能存在解的质量和数 量的问题。
适用场景
约束满足问题
回溯法适用于解决约束满足问题，如旅行商问题、排班问题等。
组合优化问题
回溯法也适用于解决一些组合优化问题，如背包问题、图着色问题 等。
决策问题
回溯法还可以用于解决决策问题，如逻辑推理、游戏AI等。
在分析算法的效率时，需要考虑算法 的时间复杂度和空间复杂度。
通过分析算法的效率与复杂度，可以 评估回溯法在不同问题上的适用性和 性能表现。
04
回溯法的应用实例
N皇后问题
总结词
N皇后问题是一个经典的回溯法应用实例，通过在N×N棋盘上放置N个皇后，使得任意两个皇后都不能处于同一 行、同一列或同一对角线上。
通过记忆已搜索的节点，避免重复搜索，提高回溯法的效率 。
详细描述
在回溯法中，经常会在搜索树中重复搜索相同的节点。为了 解决这个问题，可以使用记忆化搜索技术，将已搜索的节点 存储在特定的数据结构中，以便在后续的搜索中快速跳过这 些节点，减少不必要的计算。
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子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x);
else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
35
约束函数？
构造最优解
在类Loading中增加两个私 有数据成员x和bestx。
» X记录从根至当前结点的 路径,x[i]=0/1;[1 0 1 1 0]
» Bestx记录当前最优解，算 法搜索到达一个叶子结点 处，就修正besx的值。
迭代回溯
tji 机器1 机器2
作业 2
22
回溯法的求解过程
回溯法的求解过程
5.1 回溯算法的基本框架
3 递归回溯
递归回溯
5.1 回溯算法的基本框架
4 迭代回溯
迭代回溯
5.1 回溯算法的基本框架
5 子集树与排列树
子集树：当所给的问题是从n个元素 的集合S中找出满足某种性质的子集 时，相应的解空间称为子集树。 排列树：当所给的问题是确定n个元 素满足某种性质的排列时，相应的 解空间树成为排列树。
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x);
else for (int i=t;i<=n;i++) { swap(x[t], x[i]); if (legal(t)) backtrack(t+1); swap(x[t], x[i]); } }
回溯法的应用例子
装载问题、作业调度和0/1背包问题
装载问题
有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其
中集装箱i的重量为wi，且
n
wi
c1
c2
i 1
装载问题要求确定：是否有一个合理的装载方案可将这n个集装 箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。
n
max wi xi i 1 n
s.t. wi xi c1 i 1
1
1
作业 3
1
2
批处作3业理作业2 调度3问题
批处理作业调度问题
批处理作业调度问题
批处理作业调度问题
解空间？ 是一个排列树。
子树随着作业的减少而减少。
批处理作业调度问题
class Flowshop { friend Flow(int**, int, int []); private: void Backtrack(int i); int **M, // 各作业所需的处理时间 *x, // 当前作业调度 *bestx, // 当前最优作业调度 *f2, // 机器2完成处理时间 f1, // 机器1完成处理时间 f, // 完成时间和 bestf, // 当前最优值 n; // 作业数};
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
5.1 回溯算法的基本框架
1 问题的解空间
问题的解空间
问题的解空间举例
回溯法的解空间
回溯法的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输 入的问题，一般情况下，将其可 能的解表示为满足某个约束条件 的等长向量
X = （x1, x2, … , xn)， 其中分量xi（1<=i<=n)的取值范围 是某个有限集合
第5章 回溯法
计算机算法设计与分析
内容提要
理解 深度优先 搜索策略
掌握 回溯法的 算法策略
学习 应用范例 归纳总结
每一步都非常关键，走好每一步！
理解
回溯法的深度优先搜索策略
通用算法、万能算法？
回溯法
回溯法—“通用解题法”—“万能算法”。
回溯法可以系统的搜索一个问题的所有解或任一 解。
回溯法是一个即带有系统性又带有跳跃性的搜索 算法。
图的m着色问题
复杂度分析 图m可着色问题的解空间树中内结点个数是 对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当 前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需 耗时O(mn)。因此，回溯法总的时间耗费是
图的m着色问题
分析：5-1；5-2；5-3 设计：5-1；5-3
作业
批处理作业调度问题
tji
作业 1
作业 2
作业 3
机器1 2 3 2
机器2 1 1 3
批处理作业调度问题
4皇后问题
4皇后问题
4皇后问题
4皇后问题
4皇后问题
0/1背包
M图着色问题
图的m着色问题
图的m着色问题
图的m着色问题
图的m着色问题
•解向量：(x1, x2, … , xn)表示顶点i所着颜色x[i] •可行性约束函数：顶点i与已着色的相邻顶点颜色不重复。
活结点:一个自身已生成但其孩子还没有全部生成的节点称 做活结点
死结点:一个所有孩子已经产生的结点称做死结点
深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 产生了它的一个孩子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成 扩展结点，继续生成R的下一个孩子（如果存在）
xi {0,1},1 i n
33
n = 3，c1= c2 = 50 w1 = [10,40,40]， w2 = [20,40,40]，
装载例子
有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其
中集装箱i的重量为wi，且
n
wi c1 c2
i 1
容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可
回溯法的基本思想
回溯法的解题基本步骤
(1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用 剪枝函数避免无效搜索。
用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态 产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根 结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根 结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法 所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个 解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。
得到最优装载方案。
(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，
使该子集中集装箱重量之和最接近。由此可知，装载问题等价
于以下特殊的0-1背包问题。
n
max wi xi
i 1
n
s.t. wi xi c1 i 1
xi {0,1},1 i n
Si = {ai1, ai2, … , ain}, 所以有可能的解向量构成了问题 的解空间。
回溯法的解空间的组织
回溯法的解空间—0/1背包
回溯法的解空间—旅行售货员问题
5.1 回溯算法的基本框架
2 回溯法的基本思想
回溯法的基本思想
回溯法的基本思想距离—0/1背包
旅行售货员问题
• 某个售货员要到若干城市去推销商品，已 知各城市之间的路程（或旅费）。他要选 定一条从驻地城市出发，经过每个城市一 遍，最后回到驻地的路线，使总的路程 （或总旅费）最小。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从 根节点出发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任一结点时，先判断该 节点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则 跳过对以该结点为根的子树的搜索，逐层向其 祖先节点回溯； 否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索
回溯法
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生孩子的结点称为扩展结点
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态， 要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际 上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具 有限界函数的深度优先生成法称为回溯法
5.1 回溯法的算法框架