高三第二次月考数学试题

高三第二次月考
数学试题
满分:160分 考试时间:120分钟
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.已知集合231M x x N x x =>=>{|},{|log }，则()R C M N ⋂= ▲ .
2.若复数12z a i =+, 234z i =-，且
1
2
z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3.命题“若a b =-，则22a b =” 的否命题为 ▲ . 4. 函数[]sin()(0,3
y x x π
π=+
∈)的单调减区间是 ▲ ．
5.在200ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出30ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的 概率是 ▲ ．
6．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ▲ ．
7.已知等差数列{}n a 的公差为3，若245,,a a a 成等比数列，则3a 的值为 ▲ . 8.已知平面向量),3(),1,2(k b a ==→
→
，若→
→
→
⊥-b b a )2(，则实数k = ▲ .
9.如果实数,x y 满足不等式组10220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩
≥1
≤≤，则22
x y +的最小值为 ▲ .
10.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43
y x =±, 则该双曲线的标准方程为 ▲ .
11．已知函数2log ,0,()2,
0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1
()2f a =，则a = ▲ .
0．0．
12. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥； ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒； ③//,////m n m n αα⇒； ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥. 其中正确命题的序号是 ▲ .
13．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物 “福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”， 则()f n = ▲ ． （答案用数字或n 的解析式表示）
14．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分，要求写出解答过程或证明过程.
15.(本小题满分14分）
设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin ,22cos )n θθ=+-，),2
3
(ππθ--∈，若1m n ⋅=， 求：（1）sin 4
π
θ+
（）的值； （2）7cos 12
π
θ+
（）的值．
16.（本小题满分15分）
如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点． （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC ．
17．(本小题满分15分)
据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3000元,为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有(0)x x >万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x ％，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元(a ＞0)．
（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大． 18．（本题满分15分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,n n S S +）在直线1y kx =+上
（1）求k 的值；
（2）求证:{}n a 是等比数列；
（3）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值.
19.（本小题满分15分）
已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个 焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知圆2
2
:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,
直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.
20．（本小题满分16分）
设函数3
2
2
()21f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图象在2x =处的切线与直线
512y x =-+平行.
（1）求m 的值；
（2）求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值； （3）若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=,
试根据上述（1）、（2）的结论证明:
222
9
11110
a b c a b c ++≤+++.
高淳县漆桥中学09届高三第二次月考
数学答题卷-12-01 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在下列方框中。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分14分）
16．（本小题满分15分）17．（本小题满分15分）
18．（本小题满分15分）19．（本小题满分15分）
20．（本小题满分16分）
高淳县漆桥中学09届高三第二次月考
数学答案卷 -12-01
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分14分）
解：（1）依题意，cos sin )sin cos )m n θθθθ⋅=+
cos )θθ=+4sin()4
π
θ=+ ……………………4分
又1m n ⋅= 4
1
)4sin(=+∴πθ …………………………………7分
（2）由于),23(ππθ--∈，则)4
3
,45(4πππθ--∈+
结合4
1
)4
sin(=
+
π
θ，可得415)4cos(-=+πθ ………………………10分
则7cos()12θπ+
11cos[()]43
θππ=++ 15113()4242=-
⨯-⨯315
8
+=- ………………14分 16．（本小题满分15分）
证明：（1）设AB CD O ⋂=,则O 为BD 中点 又1BD 的中点为P ∴
1
//OP BD
……………………3分 又1,OP PAC BD PAC ⊂⊄平面平面
∴直线1BD ∥平面PAC ……………………5分 （2）由矩形ABCD ,AD AB = ∴BD AC ⊥
在长方体1111D C B A ABCD -中，ABCD DD 平面⊥1 ，
ABCD AC 平面⊂
∴AC DD ⊥1 又11BDD BD DD 平面、⊂ , D BD DD =⋂1
∴AC ⊥平面1BDD ……………………8分 又PAC AC 平面⊂ ∴平面PAC ⊥平面1BDD ……………………10分 （3）由（2）知AC ⊥平面1BDD ，又11BDD PB 平面⊂ ∴AC ⊥P B 1 在长方体1111D C B A ABCD -中，1111C CDD C B 平面⊥,11C CDD CP 平面⊂ ∴CP C B ⊥11
在矩形ABCD 中，1=CD ，21=DD ,P 为1DD 中点， ∴1CP C P ⊥ 又11111B C C P B C P ⊂、平面,1111B C C P C ⋂= ∴11CP B C P ⊥平面 又111B P B C P ⊂平面 ∴1CP B P ⊥
又AC ⊥P B 1，C CP AC PAC CP AC =⋂⊂,平面、
∴直线1PB ⊥平面PAC ……………………15分 17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意得:（100-x ）· 3000 ·(1+2x%) ≥100×3000，
即x 2
－50x ≤0，解得0≤x ≤50，
又∵x ＞0 ∴0＜x ≤50； ……………………………………7分 （2）设这100万农民的人均年收入为y 元，
则y= (100－x)×3000×(1+2x%)+3000ax 100 = －60x 2
+3000(a+1)x+300000
100
即y=－35[x －25(a+1)]2+3000+475(a+1)2
(0<x ≤50) ……………………10分
（i ）当0<25(a+1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a+1)时，y 最大； ……………………12分 （ii ）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值．14分 答：在0＜a ≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，
在a ＞1时，安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．………15分
18．（1）2k = ………………5分 （2）{}n a 是公比为2的等比数列 ………………10分
（3）21n n S =-， 11
102122036T =-=. ………………15分
19．（本小题满分15分）
解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,
得(23)(4312)0x y k x y --++-=,
则由230
43120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） ……………………3分
设椭圆C 的方程为2
2
221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得5
43
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
………6分
所以椭圆C 的方程为
22
12516x y += ……………………7分 （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以22
2212516
m n m n =
+<+, ……………9分 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=
的距离1d r =
<=.
所以直线l与圆O恒相交……………………11分又直线l被圆O截得的弦长为
L==
=……………13分由于2
025
m
≤≤,所以2
9
161625
25
m
≤+≤,
则
25
L∈,
即直线l被圆O
截得的弦长的取值范围是L∈……………15分20．（本小题满分16分）
解：（1）因为22
()34
f x x mx m
'=---,
所以2
(2)1285
f m m
'=---=-……………2分解得m=－1或m=－7（舍）,即m=－1 ……………4分
（2）由2
()3410
f x x x
'=-+-=,解得
12
1
1,
3
x x
==……………5分列表如下:
……………7分所以函数)
(x
f在区间[0,1]的最小值为
150
()
327
f=…………8分（3）因为322
()22(1)(2)
f x x x x x x
=-+-+=+-…………10分由（2）知,当x∈[0,1]时, 2
50
(1)(2)
27
x x
+-≥,所以
2
127
(2)
150
x
x
≤-
+
,
所以2
2
27
(2)
150
x
x x
x
≤-
+
…………13分当0
a≥,0
b≥,0
c≥,且1
a b c
++=时, 01
a
≤≤,01
b
≤≤,01
c
≤≤,
所以］
－
［
］
－
［)
c
b
(a
2
)
c
b
(a
c)
b
(a
c
c
b
b
a
a
2
2
2
2
2
2+
+
=
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+50
27
2
50
27
1
1
12
2
2
14分
又因为2222222
()2223()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++, 所以22213
a b c ++≥ …………15分
故
109
)31(2c c b b a a =≤+++++－5027111222（当且仅当13
a b c ===
时取等号）
…………16分
（说明:若学生取特况验证了等号成立的条件,给1分）。