王江彬的英文翻译定稿——标注版

毕业设计英文翻译（中文）
专业电气工程及其自动化
姓名王江彬
学号 201009034
指导教师田铭兴
Steinmetz电路电容器失效对电力系统谐波响应的影响
Luis Sainz, Joaquín Pedra, Member, IEEE, and Manuel Caro
摘要
牵引系统一般是单相负载，会导致电压不平衡，继而影响电力系统的运行。

通常是将三角形连接的电抗与单相负载相连的方法来减少电压不平衡的。

这些电抗和单相负载的集合就是Steinmetz电路。

Steinmetz电路中的电容性电抗会与系统感性电抗之间产生并联谐振，这会破坏电能质量。

这篇文章分析性地指出并联谐振的频率并且研究电容器损耗对其设计值的影响。

为了证实所得的分析结果，也给出了实验测量数据。

关键词：扫描频率、谐波分析、电能质量
1 引言
虽然电力系统一般运行在平衡条件下，但它可以连接诸如牵引系统的单相负荷。

这些负荷会引起不平衡负荷母线电压，因为它们消耗非对称的线电流[1]。

这些不平衡条件会影响正常的电力系统运行[2-3]。

出于这个原因，通常采用带有单相负载的三角形连接电抗来降低电力系统的不平衡。

三角形连接的电抗和单相负载组成的集合（通常被称为Steinmetz电路）可以让网络负载承受对称的电流。

Steinmetz电路设计的目的就是确定平衡单相负载消耗不平衡电流所需的电抗值。

由于电力系统中的非线性设备越来越多，设计必须考虑在非正弦条件下电路的性能和行为。

因此，在上述条件下，Steinmetz电路的电容器和供电系统电感之间产生的并联谐振必须定位以防止当Steinmetz电路连接时的谐波问题。

显然，谐振位置受Steinmetz电路本身损坏或其熔断器损坏时电容器损耗的影响。

这种谐振问题在文献[7]中提出。

后来，该问题又在文献[8]中得到研究，并且得到了并联谐振的数值分析。

在文献[8]中，通过对来自于电力系统谐波阻抗的几组曲线进行数值拟合来预测系统只在五次谐波、七次谐波以及十一次谐波共存情况下的谐振问题。

最近，经文献[9]分析，可以通过电力系统谐波阻抗的理论研究来定位谐振。

一个预测Steinmetz电路单相负荷任何值和任何谐波的谐振表达式也在文献[9]中得到阐述。

本文继续以上关于在Steinmetz电路存在下的电力系统谐波响应研究。

特别是，文献[9]中推出的用于预测并联谐振频率的解析表达式扩展到开始考虑设计值下Steinmetz电路电容器损耗对谐振频率的影响。

实验测量已在实验室中对理论研究中所得的解析表达式得到了验证。

2Steinmetz电路设计
图2.1给出了带有供电系统和非线性负载的Steinmetz电路：
图2.1 被研究系统
在该电路中，单相阻抗负载用1
L L L L =k k Z Y R jkX -=+来建模，这里k 是被研究
谐波，L R 是负载电阻，L X 是供电电压基频条件下的负载电抗。

该单相负载以三
角形连接方式被接到电容器(1
222=/k k Z Y jX k -=-)以及一个纯电感(1111=k k Z Y
jkX -=)上来平衡负荷电流(A1I ，2B1A1I I α=，C1A1I I α=，j2/3=e πα)。

Steinmetz 电路设计的过程（例如电容器和单相负载阻抗电感的确定）已在文献[8]中提出并得到了简化。

Steinmetz 电路所消耗的三相谐波电流由三相谐波电压确定（如图2.1所示），其关系式表示为式(2.1)：
A 1A
B B L B
C 2CA C 101001100001100
k k
k k k
k k k k I Y V I Y V Y V I -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ (2.1)
Steinmetz 电路三相基波电流的对称分量(A1I ，B1I ，C1I )就可以用Fortescue 变换得到，具体变换公式如式(2.2)所示：
01A121B12C1111
11131p n I I I I I I αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2.2)
其中，23
=j e π
α。

不平衡因数由序电流1p I 和1n I 分析确定，计算式如下式(2.3)所示：
222
1A1B1C1AB111BC1L1CA121122
1A1B1C1AB111BC1L1CA1211==1n i p I I I I V Y V Y V Y m I I I I V Y V Y V Y αααααααααα
++++-=⋅++++- (2.3)
因此，此因子的最终表达式取决于公共耦合点平衡或不平衡电压的考虑。

在本文中，为了简化非正弦条件下电路的设计，对平衡电压作了考虑(2BC1AB1V V α=，
CA1AB1V V α=)。

得到的不平衡因数体现在公式(2.4)中：
111n i p I m I =
=其中，L L1=/R Z λ是单相负载基波功率因数；L1Z 是基波频率下负载阻抗的模值；
21/2
=/m λλ（（1）-1）。

最后，对称无功元件（电容2X 和电感1X ）的设计是通过迫使基波电流不平衡因素为0（例如可以使负序电流为0）而实现的。

这表明具有式(2.5)所示关系：
1X =
；2X =(2.5)
在(2.5)式中，所讨论的电路（带有电容和电感）只有在负载基波功率因数满
足条件/21λ<≤时才是可行的(02>X )。

在本文中，功率因数的研究值
）（9.01⋅⋅⋅=λ是电力系统的常用值。

3 电力系统谐波响应
根据图2.1，必须研究非线性负荷角度的系统谐波响应，继而研究确定电力系统的谐波响应。

这意味着要分析由供电系统和如图3.1所示的Steinmetz 电路构成的被动组。

图3.1 供电系统和Steinmetz 电路的谐波特性
在研究中引入c d 来表示Steinmetz 电路电容器真实值和在(2.5)式中得出的21/()X C ω=这一设计值的偏离程度。

因此，谐波研究时所考虑的电容值是：c d C ⋅（例如22/(/)/1/()k c c c Z d jX k d j d C k ω=-=-⋅）。

这一参数表示由电容器本身或其熔断器损坏而造成的电容器损耗。

如果1c d =，则电容器就具有(2.5)式中的设计值。

而如果1c d <，则电容器电容值就比其设计值低。

在本文中，这一参数的研究值为(0.251)c d =⋅⋅⋅。

这一参数已被列入图3.1，用来分析系统谐波特性研究中Steinmetz 电路电容器值偏离其设计值的后果。

图3.1中的谐波特性可以用它的等效谐波阻抗矩阵B k Z 来描述，这种矩阵表述的非线性节点中k 次谐波的三相电压和电流关系如下公式(3.1)所示：
1
A AA A
B A
C A S 12
12A B BA BB BC B S 1L L B CA CB CC C 2L S 2L C C c c c c k k V Z Z Z I Y Y d Y Y d Y I V Z Z Z I Y Y Y Y Y I Z Z Z I d Y Y Y d Y Y I V -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-++-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3.1) 这里11S S S S
=()k k Y Z R jkX --=+对应电源系统的导纳，而L k Y ，1k Y ，2k Y 对应Steinmetz 电路元件的导纳（见第二部分）。

为了得到式(3.1)，用到了电压节点法，这一方法将图3.1中的N 点作为参考点。

可以观察到谐波阻抗矩阵k Z （k Z 阻抗也就是AA k Z 到C C k Z ）的对角阻抗和非对角阻抗直接描述了系统谐波特性。

两组的阻抗计算是有必要的，因为任何这些
阻抗的共振都会导致相应电压失真水平的升高。

举个例子，图3.1中网络（例如k Z 阻抗）的谐波响应在实验室中由以下数据来衡量：
(1) 供电系统标幺值S 0.02190.0493Z j =+；
(2) Steinmetz 电路标幺值L 1.368, 1.0R λ==以及由(2.5)式得出的1X 和2X 的标幺值12 2.372X X ==。

这些数据是在基值B 230V U =以及B S 2.7VA k =下得出的。

在1c d =和0.5c d =这两种情况下的系统谐波响应都是在考虑了Steinmetz 电路电容器的上述值（标幺值2 2.372X =）得情况下测得的。

k Z （例如AA k Z 到C C k Z ）阻抗值的测量都在图3.2中对两种情况进行了绘制（1c d =的情况用实线，0.5c d =的情况用虚线）。

(a) (b)
(c) (d)
(f) (g)
(h) (i)
(j)
图3.2 Steinmetz 电路存在时的测量阻抗和频率矩阵
可以看到：
(1) Steinmetz 电路的连接（实线绘制的1c d =的情况）造成了k Z 阻抗的并联谐振。

在这个例子中，共振接近五次谐波（251/50 5.02p k ≈=，这里251HZ 是所测并联谐振的频率而50HZ 是基频）。

(2) 如果Steinmetz 电路遭受电容器损耗，k Z 阻抗的并联谐振就会转移到更高的频率。

在这个例子中，50﹪的电容器损耗（虚线绘制的0.5c d =的情况）将并联谐振转成七次谐波（360/507.2p k ≈=，这里360HZ 是被测并联谐振的频率
而50HZ 是基频）。

(3) 电路的非对称谐振特性导致对谐波电压的非对称性影响。

最关键的谐振发生在A 相和C 相之间，这两相之间有电容器连接。

两相都具有最高的谐波阻抗，所以会出现最高谐波电压。

在下面的章节中，对该系统的谐波特性进行了分析研究，也对上述并联谐振的频率进行了分析定位。

4 电力系统谐波响应的分析研究
4.1电力系统谐波阻抗
在本项研究中，k Z 阻抗（阻抗AA k Z 到C C k Z ）的模值是从(3.1)式中得到的，k
Z 阻抗（阻抗AA k Z 到C C k Z ）的模值计算公式如式(4.1)所示：
2S S 12L 12L 2L
AA S 2S S 12L 12L 2L
BB S 2S S 12L 12L 2L
CC S 1S 2L 2AB BA S AC CA (2)()(2)()(2)()()c c c k
k k k
c c c k k k k
c c c k k k k
k c k c k Lk
k k k k
c k k Y Y Y
d Y Y Y d Y Y d Y Y Z Y D Y Y Y d Y Y Y d Y Y d Y Y Z Y D Y Y Y d Y Y Y d Y Y d Y Y Z Y D Y Y d Y Y d Y Y Z Z Y D d Y Z Z ++++++=++++++=++++++=
+++====2S 1L 1S L S 1212BC CB S ()()k k k Lk
k k
k c k k c k
k k k k
Y Y Y Y Y Y D Y Y Y d Y Y d Y Z Z Y D ⎧
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪+++⎪⎪⎪+++⎪==
⎪⎩
(4.1)
其中，
2S S 12L 1122L 2()3(())k c c c k
D Y Y Y d Y Y Y Y d Y d Y Y =++++++
(4.2)
在上面(4.1)式的分析中，电源系统的导纳和Steinmetz 电路的元件参数为：
S 1S
2
2L L 1
1(1)k k k
k m Y j Y kX Y j Y R jk λ⎧≈-=-⎪⎪⎨⎪==
⎪+⎩， (4.3)
其中电源系统的电阻S R 已被忽略，并且认为(2.5)式可以得到Steinmetz 电路元件的导纳。

我们还可以看到阻抗模值（系统谐波响应）取决于五个变量：谐波次数k 、
电源系统基波电抗S X 、单相负载电阻L R 、单相负载基波功率因数λ以及偏差参数c d 。

4.2 电力系统谐波阻抗归一化
利用单相负载电阻L R 作为参考可以将(4.1)式的k Z 阻抗归一化。

这样，归一化阻抗（阻抗AA L k Z R 到C L C k Z R ）的大小就只取决于四个变量：谐波次数k 、供电系统基波电抗与单相负载电阻之比S L X R 、单相负载基波功率因数λ和偏差参数c d 。

例如，归一化阻抗的模值AA L k Z R 可以表示为下面的(4.4)式：
22
L S S 12L 12L 2L AA 2
L L S L (2)()=c k c c k k
k k
R Y Y Y d Y Y Y d Y Y d Y Y Z R R Y R D ++++++ (4.4)
该式中只有L S k R Y 、L 1k R Y 、L 1c k R d Y ⋅、L L k R Y 这几项，这些项分别为：
L S L 1S L
L 2L L 1
/11k k c k
k m R Y j
R Y kX R R d Y R Y jk λ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==
⎪+⎩
， (4.5)
这对其它k Z 阻抗的模值计算也一样。

我们可以看到S L X R 这个比率等于该比率的逆S L (1/)/S S λ⋅（例如S L S L S L
///S S X Z X R λλ⋅=⋅=），这里S S 是PCC 总线的短路功率，而L S 是单相负载的视在功率。

因此，在考虑S L /S S 比值[1]以及基波功率因数）（9.01⋅⋅⋅=λ的
正常范围时，那么研究中使用的S L /X R 值就为S L /(00.2)X R =⋅⋅⋅。

4.3并联谐振的位置解析
考虑到变量λ、S L /X R 以及c d 时，接下来的对(4.1)式中归一化阻抗的三级研究就允许对并联谐振的谐波p k 进行分析定位。

在第一和第二阶段，对归一化阻抗的并联谐振进行数值分析并且提出了一种谐振定位的近似方法。

在第三阶段中，并联谐振的分析定位是建立在前一阶段的基础上的。

4.3.1 并联谐振的数值定位
并联谐振（例如，阻抗模值AA k Z 到CC k Z 相对于谐波k 的最大值）和阻抗值分母相对于谐波k 的最小值一致，其值如下(4.6)式所示：
AA CC S {}{}k k k k Den Z Den Z Y D =⋅⋅⋅==
(4.6)
在(4.6)式中，可以看到阻抗值分母的最小值与(4.2)式中k D 的最小值一致。

为了只应用四个变量k 、λ、S L /X R 以及c d ，上述结论可以推广到归一化阻
抗模值（阻抗AA L k Z R 到CCk L Z R ）以及式k D 的归一化值（例如2L k R D ⋅）。

因此，对于给定的功率因数λ、以及给定比值S L /X R 和偏差参数c d ，并联谐振对于所有阻抗具有相同的谐波因子p k ，而且与k D 或2L k R D ⋅的最小值一致。

为了说明这一点，研究了图3.1中S L /=0.018X R 以及=1.0λ的系统，在该过程中考虑了Steinmetz 电路电容器的两个值，一个是设计值( 1.0c d =)，一个是相对于设计值50﹪的电容器损耗值(0.5c d =)。

得到的阻抗结果AA L k Z R 示于图4.1中的(a)和(b)。

阻抗的模值AA L k Z R 绘制在图4.1(a)中，它的分子项AA L {}k Num Z R 和分母项的k D 项绘制在图4.1(b)中。

(a)
(b)
图4.1 归一化阻抗模值最大值的位置
可以观察到归一化阻抗的最大值与k D 项的最小值一致。

对于另一个阻抗值
k Z 也是一样的。

根据以上研究，图4.2表示出了功率因数λ、比值/S L X R 以及参数c d 的不同
值下的并联谐振谐波p k 。

并联谐振已被数值定位为k D 项的最小值（图中实线）。

(a)
(b)
(c)
图4.2 并联谐振的位置解析
可以注意到：
(1) 并联谐振的谐波p k 会随功率因数 、比值S L /X R 以及参数c d 的增加而增加；
(2) 如果单相负载的功率因数接近于统一值，则低次谐波（p k =5或7）情况
下发生并联谐振的可能性就会增加；
(3) 图2.3中测得的并联谐振（S L /=0.036X R ，=1.0λ以及 1.0c d =和0.5）用点P 和Q 表示，数值研究和系统的被测谐波特征一致；
(4) 图4.1的模拟并联谐振(S L /=0.018X R ，=1.0λ以及 1.0c d =和0.5)用点R 和S 表示。

在这一部分中已经证明通过k D 项或2L k R D ⋅项的最小值来定位并联谐振这一方法提供的结果与归一化阻抗k Z 的模值最大值是一致的。

然而，从(4.3)式中
分析确定的并联谐振过于复杂，不可能得到定位这种谐振的公式。

所以，下面就用到了一种近似方法。

4.3.2 对并联谐振的近似分析定位
对式(4.2)中k D 的七项进行数值研究分析看七项中有没有某些项可以被忽略。

为了这样做，根据(4.4)式，k D 的后面六项(S 12k k Y Y ，S 22k c k Y d Y ⋅，S L 2k k Y Y ，
123k c k Y d Y ⋅，1L 3k k Y Y ，2L 3c k k d Y Y )可作为第一项（例如2S k Y ）。

并且对以下的比率得到了数值研究，得到了式(4.7)：
2S 1S 12S L 22S 2S 22S L S L S 3222S L 422212S 42S L 221L S 5222S L 2==()2==()212==()13==(31)()31)==)((1)k k k m k k c k k m c k k k k m k m k c k k m c k k k m k m k m Y Y X C Y R Y d Y X C k Y R Y Y X C k j Y k k R Y d Y X C d k Y R Y Y X C k Y k R λλλλλλλλλ-+---++-+-+
+222L S 6222S L )31)==)()(1)c k k m k c m k m j d Y Y X C d k k j Y k R λλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪--+⎪+⎩
(4.7)
为了分析不同项对于k D 的贡献，复数比率的实部和虚部Re{}hik hk C C =以及Im{}hik hk C C =（这里h 取1到6的值）已被计算出来并且对应S L /X R 的不同值被绘制在图4.3中。

功率因数等于1，偏差参数（实部表示的1c d =和虚部表示的0.25c d =）的2个极值在图4.3中得到了考虑。

已经对曲线并联谐振的对应谐波
p k 进行了计算（例如，对于S L /=0.036X R ，=1λ，1c d =）
，在这里用到了=5p k 的
情况。

图4.3 对k D 各项贡献率的研究
从图4.3中可以得到：
(1) 1k C 、2k C 以及4k C 的虚部为0，在图中没有画出；
(2) 因为=1λ，21/2=/0m λλ=（（1）-1），所以3k C 、5k C 以及6k C 的实部为0,
而没有画出来；
(3) 比率1k C 、4k C 以及5k C 对k D 的贡献在并联谐振谐波方面比其它比率要小，因此可以忽略。

同样的结论也适应于和统一值不同的功率因数值以及参数c d 的其它值。

在
这种情况下，3k C 、5k C 以及6k C 的实部就不是0而要进行分析。

因此，k D 项就可以近似为公式(4.8)： 2S S 2L 2L 2()3k k k c k k c k k aprox D Y Y d Y Y d Y Y ≈+++ (4.8)
4.3.3 对并联谐振的分析定位 为了分析定位并联谐振的谐波，k aprox D 的关于k 次谐波的最小值可以分析得
到。

为可行起见，功率因数的值必须固定。

因此，当且仅当=1λ、0.95以及0.9时才可得到k
aprox D 的最小值。

先定义S L /x X R τ=，则结果就是如下式(4.9)：
p k λ=，(4.9)
其中：
21,143221************c c G x d G x d d x G x λττλτττλτ===⎧=-⎪⎪=++⎨⎪=⎪⎩
2,3,
(4.10) 20.954320.95220.9527.96(2.0910.72)1195.51(14.62149.94)(4.37 12.8142.83)(2.10 5.39)0.25
14 6.180.67
c c c c c G x
d x G x d x d d x d x G x x λττλττττλττ===⎧=--+⎪=+-++⎪⎨++++⎪⎪=++⎩1,2,3, (4.11) 以及： 20.94320.9220.927.86(0.6915.74) 2.17194.08(4.87219.32)(0.48 6.2992.31)(1.5217.14) 1.18
4.72 3.050.49c c c c c G x d x G x d x d d x d x G x x λττλττττλττ===⎧=--+⎪=++++⎪⎨++++⎪⎪=++⎩1,2,3, (4.12)
这些表达式用虚线画在了图4.2中。

可以观察到解析表达式允许并联谐振处于一个可以接受的误差范围。

举个例子，解析表达式(4.9)与(4.10)可以预测实验室中测量得到的表示于图
3.2的谐振。

结果是：当1c d =时，,1
4.95p k λ==，当0.5c d =时，,17.06p k λ==。

必须指出，k aprox D 最小值的分析研究允许表达式1,G λ、2,G λ以及3,G λ中的功率因数λ取任意值。

在本文中，由于缺乏空间，只得到了3个功率因数条件(=1λ、0.95以及0.9)下的表达式。

可以观察到(4.9)式结合(4.10)、(4.11)以及(4.12)式允许预测比值/S L x X R τ=、偏差度c d 以及三功率因数的任何值下的并联谐振谐波p k 。

在文献[8]的以前研究中，比值x τ的表达式表示只在五次、七次以及十一次谐波条件下才激起并联谐振，该表达式对任意功率因数可以进行数值分析得到。

因此，只有谐振接近于上述谐波次数时，并联谐振才能被近似预测。

在文献[9]中，给出了可以对比值S L /x X R τ=与功率因数λ的任何值下的并联谐振谐波p k 进行定位的表达式，但该表达式只考虑了Steinmetz 电路电容器的设计值1c d =的情况。

5 电阻对电力系统谐波响应的影响
供电系统的电阻和Steinmetz 电路的电感在以前的研究中没有被考虑。

一般来说，这些电阻可以抑制系统谐波响应，可以改变系统的共振频率。

在这一部分中，是通过考虑上述电阻（例如1S S S S 1/()k k Y Z R jkX -==+以及
111111/()k k Y Z R jkX -==+）从(4.1)式中对这种影响进行数值分析的。

数值分析已经证明供电系统电阻S R 可以抑制k Z 阻抗但不改变谐振频率。

举个例子，现在来分析图2.1中的网络，它是由给Steinmetz 电路（标幺值
L 4=1.0R λ=，以及12==6.928X X ）
供电的供电系统(S S S 0.144/0X R X ==，、0.1、0.5)组成的。

阻抗AA k Z 的模值可以从(4.1)式中求得，已将它绘制在了图5.1中。

图5.1 供电系统电阻对驱动阻抗的影响
可以观察到供电系统电阻会影响驱动阻抗的值但不会影响谐振频率。

谐振频率由(4.9)和(4.10)式得到，考虑到S L /=0.144/4=0.036x X R τ=以及1c d =（例如
=1=4.95p k λ，）
，该频率也可由图4.2（点P ）决定。

数值论证得到Steinmetz 电路的电感电阻不会改变已有系统的谐波响应（这已经由值为110X 的电阻得到论证）。

事实上，可以观察到为了定位并联谐振，S 12k k Y Y 、123k c k Y d Y ⋅、1L 3k k Y Y 这些项就可以忽略，继而以k aprox D 代替k D 。

如果在Steinmetz 电路的电感中添加一个电阻(1111/()k Y R jkX =+)，谐波导纳项S 12k k Y Y 、123k c k Y d Y ⋅、1L 3k k Y Y 对系统谐波响应的影响将会更小。

因此，虽然并不考虑系统电阻，但是在第四节中论述的系统谐振频率的数值特征还是有效的。

6 电力系统谐波响应的实验测量
举个例子，图3.1中网络的谐波响应在实验室中得到测量，该网络参数为：标幺值S 0.02190.0493Z j =+，L 1.368R =（基值B 230V U =，B 2.7VA S k =）。

并联谐振频率的测量是在三功率因数 1.0λ=、0.95、0.9以及Steinmetz 电路电容器5个不同偏差度1c d =、0.75、0.5、0.35和0.25的情况下进行的。

根据以上电阻L R 以及单相负载的功率因数λ，Steinmetz 电路电抗的相应值可以从(2.5)式中计算得到。

频率响应测量用一个4.5kV A 的交流埃尔加开关放大器的电源来实现的，该电源可以可以产生任意频率(40HZ~5000HZ)的正弦波形。

还用到了型号为YOKOGAWA DL 708E 的数字显示器作为测量装置。

并联谐振频率的测量在图6.1中用虚线进行了绘制。

在该图中，(4.10)式中所得的结果用实线绘制。

必须应用比值S L /0.0493/1.3680.036x X R τ===来获得实线所示的解析曲线。

所得解析结果的充分性在图6.1中得到了证实。

图6.1 并联谐振的位置分析图
可以看到，虽然在分析研究中忽略了电阻，但是谐振频率的计算结果与实验测量数据完全一致。

7 结论
本文研究了Steinmetz 电路的容抗与供电系统感抗之间产生的并联谐振。

就其设计值而言Steinmetz 电路的电容器损耗在研究中得到了考虑。

定位并联谐振频率的表达式从电力系统谐波阻抗中分析得到。

该解析表达式用来对谐振频率进行预测，进而判断是否已对系统嵌入用来平衡单相负载的Steinmetz 电路。

该表达式还包括了Steinmetz 电路电容器损坏对谐振的影响。

可以观察到如果Steinmetz 电路电容器出现损耗，那么并联谐振就会转移到更高频率。

分析研究被实验测量所验证。

参考文献
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