高中数学参数方程练习题

高中数学参数方程练习题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
?x??2?5t
1．曲线?与坐标轴的交点是．
y?1?2t?
B．C．、 D．、A．2．把方程xy?1化为以t参数的参数方程是．
1??x?sint?x?cost?x?tant2x?tA．? B． C． D．111 1
y?y?y??y?t?2sintcosttant?
2
512151259
3．若直线的参数方程为?
A．
?x?1?2t
，则直线的斜率为．
y?2?3t?
2323
B．? C． D．?232
4．点在圆?
?x??1?8cos?
的．
?y?8sin?
B．外部
C．圆上 D．与θ的值有关
A．内部
1?x?t??
5．参数方程为?t表示的曲线是．
??y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线D．两条射线 ?x??3?2cos??x?3cos?
6．两圆?与?的位置关系是．
?y?4?2sin??y?3sin?
A．内切 B．外切
C．相离 D．内含
??x?t为参数)等价的普通方程为．
．与参数方程为?
??y?y2y22?1 B．x??1 A．x?44
2
y2y22?1D．x??1 C．x?44
2
8．曲线?
?x?5cos??
的长度是．
?y?5sin?3
5?10? D．3
A．5? B．10? C．
9．点P是椭圆2x2?3y2?12上的一个动点，则x?2y的最大值为．
A
．B
． C
D
1?
x?1?t?2?
10
．直线?和圆x2?y2?16交于A,B两点，
?y2
则AB的中点坐标为．
A． B
．C
．?3) D
．在以点F为焦点的抛物线? 上，则|PF|等于．
?y?4t
A．2B．C． D． 12．直线?
?x??2?t
被圆2?2?25所截得的弦长为．
?y?1?t
1
C
D
4
A
B．40
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
t?t
??x?e?e
的普通方程为__________________． 13．参数方程?t?t
??y?2
??x??2上与点A_______． 14
．直线?
??y?315．直线?
?x?tcos??x?4?2cos?
与圆?相切，则??_______________．
?y?tsin??y?2sin?
2
2
16．设y?tx，则圆x?y?4y?0的参数方程为____________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
求直线l1:?
??x?1?t
和直线l2:x?y??0的交点P的坐标，及点P
??y??5?与Q的距离．
18．
过点P作倾斜角为?的直线与曲线x2?12y2?1交于点M,N，求|PM|?|PN|的值及相应的?的值． 19．
已知?ABC中，A,B,C，求?ABC面积的最大值．
20．已知直线l经过点P,倾斜角??写出直线l的参数方程．
设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积．1．
?
6
，
1t??tx?cos2
分别在下列两种情况下，把参数方程?化为普通方程： 1?y?sin2
?为参数，t为常数；t为参数，?为常数．
22．
已知直线l过定点P与圆C：?
32
?x?5cos?
相交于A、B两点．
?y?5sin?
求：若|AB|?8，求直线l的方程；
若点P为弦AB的中点，求弦AB的方程．
答案与解析：
32
211，而y?1?2t，即y?，得与y轴的交点为；55111 当y?0时，t?，而x??2?5t，即x?，得与x轴的交点为．
222
1．B当x?0时，t?
2．D xy?1，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制．．Dk?
y?2?3t3． x?12t2
4．A ∵点到圆心?8
∴点在圆的内部．
5．Dy?2表示一条平行于x轴的直线，而x?2,或x??2，所以表示两条射线．
6．B
?5，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．
y2y222
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0?y?2．．Dx?t,44 2
8．D 曲线是圆x2?y2?25的一段圆弧，它所对圆心角为??
所以曲线的长度为
?
3
?
2?
．
10?
．
x2y2
??
1，设P?,2sin?)，
9．D 椭圆为64
x?2y??4sin)?
10．D
??16，得t2?8t?8?0，t1?t2?8,12?4，
221?
x?1??4??2??x?3
中点为? ??
?y??y??4?
??|PF|为P到准线x??1的距离，11．C 抛物线为y2?4x，准线为x??1，即为4．
?x??2??
?x??2?t?x??2?t??212．C
?，把直线? ??
y?1?ty?1?ty?12
代入??25，得??25,t?7t?2?0，
2
2
2
2
2
|t1?t2|??
t1?t2|?
y?
?x?et?e?tx??2et
?yyxy??2??x．??1,?y13．?t?t
22416??e?e?x?y?2e?t
?2??2
2
2
14．,或
?)?,t?15．
2222
1,t??2
5??22
，或直线为y?xtan?，圆为?y?4，作出图形，相切时， 66
易知倾斜角为
5??
，或．
66
4t?
x??4t?1?t222
x?0x?16．?，当时，，或； y?0x??4tx?022
1?t?y?4t
?1?t2?4t?
x??4t2?1?t2
而y?tx，即y?，得?．2 1?t?y?4t
?1?t2?
17
．解：将?
??x?1?t
，代入x?y??
0，得t?，
??
y??5?得P，
得|PQ|?
?
?tcos??x?
18
．解：设直线为?，代入曲线 ?y?tsin??
并整理得t??)t?
2
2
3
?0，
3则|PM|?|PN|?|t1t2|?，1?sin?
?3?2
所以当sin??1时，即??，|PM|?|PN|的最小值为，此时??．
242
19．解：设C点的坐标为，则?
2
2
?x?cos?
，
y??1?sin??
即x??1为以为圆心，以1为半径的圆．∵A,B，
∴|AB|?? 且AB的方程为
xy
??1， ?22
即x?y?2?0，
《参数方程》练习题
一、选择题：
?x?a?tl1．直线的参数方程为?，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P之间的?y?b?t
距离是
A．t1B．2t1C
1D
1 1?x?t??2．参数方程为?t表示的曲线是
??y?2
A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 1?x?1?t?2?3．
直线? 和圆x2?y2?16交于A,B两点，则AB的中点坐标为
?y2
A．B
．D
．在以点F为焦点的抛物线?上，则PF等于
?y?4t
A．2B．3C．4D．5
?x?3?tsin2006.直线? 的倾斜角是 0?y?1?tcos20
A.20
B.70
C.110
D.160
二、填空题： 0000
1?x?x?1?____．曲线的参数方程是?t，则它的普通方程为_y?2?y?1?t2?
8．点P是椭圆2x?3y?12上的一个动点，则x?2y的最大值为
______。

2
?x?2pt2
9．已知曲线?上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,，
?y?2pt
且t1?t2?0，那么MN=______4pt1___
10．直线??x?tcos??x?4?2cos??5?与圆?相切，则??_____或__________。

6?y?tsin??y?2sin?
?x=t11.设曲线C的参数方程为?，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴2?y=t
建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为__?cos??sin??0三、解答题：
12．已知点P是圆x?y?2y上的动点，
求2x?y的取值范围；若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。

22
解：设圆的参数方程为??x?cos?，
?y?1?sin?
2x?y?2cos??sin??1??
?)?11?2x?y?1
x?y?a?cos??sin??1?a?0
?a1)?1
?a?1
1t??tx?cos213.分别在下列两种情况下，把参数方
程?化为普通方程： 1?y?sin2
?为参数，t为常数；t为参数，?为常数；
1．解：当t?0时，y?0,x?cos?，即x?1,且y?0；
当t?0时，cosx
t?t2,sin??yt?t2
而x?y?1，即22x2
t2
4?y2t?t24?1
当??k?,k?Z时，y?0，x??1t，即x?1,且y?0；
?1t?t当??k??,k?Z时，x?0，y??，即x?0；2
2x2x2y?t?t?te?e?2ek???cos?cos?sin?,k?Z时，得?当??，即?y2x2y2?et?e?t??2e?tsin?cos?sin???
得2e?2et?t? cos?sin?cos?sin?
x2y2
?2?1。

即2cos?sin?
14．已知直线l经过点P,倾斜角??
22?6，写出直线l的参数方程。

设l与圆x?y?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

x?1?tcosx?1?解：直线的参数方程为?，即??y?1?tsin??y?1?1t??6?
?2
?x?1?21?2 把直线?代入x
?y?4得?2?4,t2?1)t?2?0?y?1?1t??2
t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2
15.
过点P作倾斜角为?的直线与曲线x2?12y2?1交于点M,N，求PM?PN的最大值2
及相应的?的值。

??tcos??x?解：设直线为?，代入曲线并整理得?y?tsin??
3
3t2??)t??0,则PM?PN?t1t2?1?sin2?
?32所以当sin??1时，即??，PM?PN的最大值为，此时??0。

2
16.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为
2,?，直线l的极坐标方程为?cos?a，且点A在直线l上。

?4?
求a的值及直线l的直角坐标方程；
?x?1?cosa,圆C的参数方程为?，试判断直线l与圆C 的位置关系. y?sina?
由点A?)在直线?cos?
a上，可得a?44?
所以直线l的方程可化为?cossin??2
从而直线l的直角坐标方程为x?y?2?0
由已知得圆C的直角坐标方程为2?y2?1
所以圆心为，半径r?1
以为圆心到直线的距离d??1，所以直线与圆相交
17.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C
的参数方程为x?a.
??y?sina
已知在极坐标中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
解：把极坐标下的点，从而点Ｑ到直线l的距离为 ?2)化为直角坐标得：P又点Ｐ的坐标满足直线方程，所以点Ｐ在
|3cos??sin??4|? d?22cos?4?2cos?22，因?a href=“http:///fanwen/shuoshuodaquan/”
target=“_blank” class=“keylink”>说眂os??1 时，d去到最小值，且最小值为2。

?x?3?,??18.在直角坐标系xoy中，直线l
的参数方程为?。

在极坐标系中，圆C
的方程为。

求圆C的直角坐标方程；设圆C与直线l交于点A、B，若点P
的坐标为，求|PA|+|PB|。

由??
?得x2?y2??
0,即x2??)?5，
22
即t2??4?
0,由于??2?4?4?2?0，故可设t1,t2是上述方程的两实根，
??t?t?又直线l过点P故由上式及t的几何意义得：所以?12
??t1t2?4
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t
2=
19.已知直线C1?
当?=?x?1?tcos??x?cos?，C2?， ?y?tsin??y?sin??时，求C1与C2的交点坐标；
过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当?变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

解：
??
当?3时，C
的普通方程为yx?1)，C的普通方程为x2?y2?
1。

联立方程组21
??1?y?x?1)? ，解得C1与C2的交点为?，。

?2?22x?y?1
C1的普通方程为xsin??ycos??sin??0。

2A点坐标为sin?,?cos?sin?，故当?变化时，P点轨迹的参数方程为： ??
极坐标与参数方程单元练习1。

一、选择题
1、已知点M的极坐标为?5?，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是。

?
3?
??
A. ??5，??
?
3?
4??
B. ??5，?
?
3?
2??
C. ??5，??
?
3?
D. ?5，?
?
?
5??
??
?x?2cos?
2、直线：3x-4y-9=0与圆：?，的位置关系是
y?2sin??
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心 ?x?a?tcos?
3、在参数方程?所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、
y?b?tsin??
t2，则线段BC的中点M对应的参数值是
?x?3t2?2
4、曲线的参数方程为?，则曲线是
?y?t?1
A、线段
B、双曲线的一支
C、圆
D、射线、实数x、y 满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为
72
92
A、B、 C、D、5
二、填空题
1、点?2，?2?的极坐标为。

?
?
2、若A?3，?，B?4，?
3?
??
?，则|AB|=___________，S?AOB?___________。

6?
3、极点到直线??
cos??sin_____。

、极坐标方程?sin2??2?cos??0表示的曲线是_____。

?x?2tan?
??为参数5、圆锥曲线?
?y?3sec?
?的准线方程是。

6、直线l过点M0?1,5?，倾斜角是
?
3
，且与直线x?y?23?0交于M，则MM
的长为。

三、解答题
??
1、求圆心为C??3，，半径为3的圆的极坐标方程。

?
6?
2、已知直线l经过点P,倾斜角??写出直线l的参数方程。

?
6
，
设l与圆x2?y2?4相交与两点A、B，求点P到A、B 两点的距离之积。

x
2
3、求椭圆
?
y
2
4
0）之间距离的最小值?1上一点P与定点，则?OP，?POA
Rt?OA中P，?
OP
?Aos?Oc
?
?
6
，?OA??2?3?6
6co?s??P O A
?
?
??
?而点OA符合
6?36
2?
P
x?1?t,??2,B
2
2
以直线L的参数方程代入圆的方程x?y?4整理得到t?t?2?0 ①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。

所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2。

3、
设P?3cos?，2sin??，则P到定点的距离为
d
?3
?
5?
当cos??时，d??取)最小值
5
极坐标与参数方程单元练习2
1.已知点P的极坐标是，则过点P且垂直极轴的直线极坐标方程是 .
?
2.在极坐标系中，曲线??4sin一条对称轴的极坐标方程 .
3.在极坐标中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线??4cos?于A、B两点.则|AB|= ..已知三点A，B，C，则ΔABC 形状为 .
5.已知某圆的极坐标方程为：ρ–42ρcon+6=0 则：
①圆的普通方程；
②参数方程③圆上所有点中xy的最大值和最小值分别为、..设椭圆的参数方程为?
?x?acos??y?bsin?
?0??
，M?x1,y1?，N?x2,y2?是椭圆上两点，
M、N对应的参数为?1,?2且x1?x2，则?1,?2大小关系是..直线：3x-4y-9=0与圆：?
?x?2cos??y?2sin?
?
3
，的位置关系是 .
8.经过点M0且倾斜角为的直线，以定点M0到动点P 的位移t为参数的参数方程
是 . 且与直线x?y?2?0交于M,则MM
的长为.
1?
?x?t?
9.参数方程?t 所表示的图形是 .
??y??2
?x?3t2?2
10.方程?的普通方程是.与x轴交点的直角坐标是
2
?y?t?1
1?
x??t11.画出参数方程?所表示的曲线 12
?y?t?1
t?
.
2
2
12.已知动园：x?y?2axcos??2bysin??0，
则圆心的轨迹是. 13.已知过曲线?
?x?3cos??y?4sin?
??为参数，0上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角
为?，则P点坐标是 .
4
14.直线?
?x?2?2t?y??1?t
上对应t=0, t=1两点间的距离是 .
?x?3?tsin200
15.直线?的倾斜角是 . 0
?y??1?tcos20
16.设r?0,那么直线xcos??ysin??r??是常数
位置关系是 . 17.直线?
?x??2??y?3?
2t2t
?与圆?
?x?rcos??y?rsin?
??是参数?的
?t为参数?上与点P??2，3?距离等于
2的点的坐标是.
18.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则
________________________________. 19.若动点在曲线
x
2
的取值范围是
4
?
yb
22
?1上变化，则x+y的最大值为 .
?x?asec??x?atan?
20.曲线?与曲线?的离心率分别为e1和e2,
y?btan?y?bsec
则e1＋e2的最小值为_______________.
极坐标与参数方程单元练习2参考答案答案：1.ρcosθ= -1；2.??
5?6
；
3.4.等边三角形；5.2+2
=2;
{
x?2?y?2?
?
x?1
??为参数?;9、1；
7.相交；8. ?
??y?5?
??
122
t
?t为参数
?
t
9.两条射线；10.x-3y=5;；12.椭圆；13.?
?1212?
,?
；; ?55?
2
b?16??3??
或2b；20. 15.70；16.相切；17.或；18.?,；19.?444??
极坐标与参数方程单元练习3
一．选择题
?x?acos??y?bsin?
1．设椭圆的参数方程为?
?0??
，M?x1,y1?，N?x2,y2?是椭圆上两点，M，N对应的参
数为?1,?2且x1?x2，则
A．?1?? B．?1??C．?1?? D．?1??2.直线：3x-4y-9=0与圆：?
?x?2cos??y?2sin?
，的位置关系是
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心.经过点M且倾斜角为
?
3
的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是
?
x?1A.?
?y?5
1
?
x?1??B. ??
3
?y?5?t
?2?t
1
?
x?1??2C. ??
3
?y?5?t
?2?t
1
?
x?1??D. ??
3
?y?5?t
?2?t
1
t
2t2
1?
?x?t?
4.参数方程?t 所表示的曲线是
??y??2
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D.两条直线 x
2
5．若动点在曲线
4
?
yb
22
?1上变化，则x?2y的最大值为
2
?b2
??4 ?4
??2b
；
?b2
??4 ?4
??2b
；
b
2
4
?b。

6．实数x、y满足3x＋2y=6x，则x＋y的最大值为A、 2222
72
B、4
C、
92
D、5
31/ 32
?x?3t2?2
7．曲线的参数方程为?，则曲线是A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线
?y?t?1
8．已知动园：x?y?2axcos??2bysin??0，则圆心的轨迹是
22
A、直线
B、圆
C、抛物线的一部分
D、椭圆
?x?a?tcos?
9．在参数方程?所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、
y?b?tsin??
t2，则线段BC的中点M对应的参数值是
32/ 32。