《垂直于弦的直径》练习题

24.1.2 垂直于弦的直径
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.
图24-1-2-1
思路解析：根据垂径定理可得.
答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD
2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.
思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.
答案：43 cm
3.判断正误.
(1)直径是圆的对称轴;
(2)平分弦的直径垂直于弦.
思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.
答案：两个命题都错误.
4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.
思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.
答案:6
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.
思路解析：根据圆的轴对称性回答.
答案：直径所在的直线
2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.
图24-1-2-2 图24-1-2-3
思路解析：由垂径定理回答. 答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM
3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.
思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：13
4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.
图24-1-2-4
思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.
由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=2
1AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ， ∴AM=21AB.
∵OA=2
1×10=5，OM=4，
∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 快乐时光
医学院的口试
教授问一学生某种药每次口服量是多少? 学生回答:“5克.”
一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?”
教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!”
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )
A.32
B.33
C.2
2
3 D.
2
3
3
图24-1-2-5 图24-1-2-6
思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×2
3
3=33. 答案：B
2.(北京丰台模拟)如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm
D.1 cm
思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A
3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离. 思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.
解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD. ∵OG ⊥AB ，AB=12， ∴AG=2
1AB=6. 同理,CH=21
CD=8.
∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.
(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG-OH=8-6=2.
4.(江苏连云港模拟)如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距
离约为多少？
图24-1-2-7
思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.
解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.
在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×2
1=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.
答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.
5.(经典回放)“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.
图24-1-2-8
思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.
连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）. ∵OE ⊥CD ，∴CF=2
1
CD=2
1×110=55（米）.
根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.
解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.5
6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.
图24-1-2-9
(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号)
(3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值. 思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值.
（1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.
（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=2
1
BC=5.
在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11. 在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=11
18（cm ）.
（3）解:∵5＜3
9=
12
18＜
11
18＜
9
18=6，
∴5＜R ＜6.
∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.
7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.
思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.
解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=2
1
AB=2
1×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3. 当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以
OP 的取值范围是3≤OP ≤5.。