《垂直于弦的直径》练习题

24.1.2 垂直于弦的直径

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.

图24-1-2-1

思路解析：根据垂径定理可得.

答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD

2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.

思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.

答案：43 cm

3.判断正误.

(1)直径是圆的对称轴;

(2)平分弦的直径垂直于弦.

思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.

答案：两个命题都错误.

4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.

思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.

答案:6

10分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.

思路解析：根据圆的轴对称性回答.

答案：直径所在的直线

2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.

图24-1-2-2 图24-1-2-3

思路解析：由垂径定理回答. 答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM

3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.

思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：13

4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.

图24-1-2-4

思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.

由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=2

1AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ， ∴AM=21AB.

∵OA=2

1×10=5，OM=4，

∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 快乐时光

医学院的口试

教授问一学生某种药每次口服量是多少? 学生回答:“5克.”

一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?”

教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!”

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )

A.32

B.33

C.2

2

3 D.

2

3

3

图24-1-2-5 图24-1-2-6

思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×2

3

3=33. 答案：B

2.(北京丰台模拟)如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm

D.1 cm

思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A

3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离. 思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.

解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD. ∵OG ⊥AB ，AB=12， ∴AG=2

1AB=6. 同理,CH=21

CD=8.

∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.

(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG-OH=8-6=2.

4.(江苏连云港模拟)如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距

离约为多少？

图24-1-2-7

思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.

解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.

在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×2

1=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.

答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.

5.(经典回放)“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.

图24-1-2-8

思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.

连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）. ∵OE ⊥CD ，∴CF=2

1

CD=2

1×110=55（米）.

根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.

解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.5

6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.