_中科大通信考研信号与系统2004真题

令 y0 (t ) =
ò
t
-¥
x(t )dt = ò
p é tp æ 2p t ö æ 2p t ö ù sin ç u (t )dt = ê ò sin ç ÷ ÷dt ú u (t ) -¥ T 0 è T ø è T ø û ë T
t
=
1é æ 2p t ö ù 1 - cos ç ÷ ú u (t ) ê 2ë è T øû
ò
¥
-¥
x(t )e- st dt
若 s = s + jw ，在 ROC 内，则有
x(t ) =
1 2p
ò
¥
-¥
X (s + jw )es t e jwt d w =
1 2p
ò
¥
-¥
X ( s )e st d w
具体求解过程如下： 由于连续时间 LTI 系统的单位冲激响应 h(t ) 和其单位阶跃响应的关系为 h(t ) = 因此系统函数 H ( s ) = s × S ( s ) ，即
ì x[n], î0,
n = 0,1,L , M - 1 n = M , M + 1,L , N - 1
N点OFT ¬¾¾¾ ® C 0 (k )
) ìh [n], n = 0,1,L, L - 1 h1[n] = í 1 n = L, L + 1,L, N - 1 î0,
) N点DFT ¬¾¾¾ ® H1 ( k )
å d [n - k ] = u[n] ，因此系统的单位冲激响应
k =0
¥
h[n] 满足的差分方程为： h[n] + 0.5h[n - 1] - 0.5h[n - 2] = u[n]
由于系统为因果 LTI 系统，故有 h[n] = 0 ， n < 0 ，只要用后推方程递推出 h[ n] ， n ³ 0 的各个序列值，后推方程为
t d y (t ) = x(t ) * h(t ) = é ò x(t )dt ù * h(t ) ê -¥ ú dt ë û d h(t ) = s (t ) = u (t ) - 2u (t - T ) + u (t - 2T ) dt d h(t ) = d (t ) - 2d (t - T ) + d (t - 2T ) dt
d s (t ) ， dt
H ( s) =
2s , ( s + 2 s + 10)(e4 s - 1)
2
Re{s} > 0
并可改写成 H ( s )
2se-4 s 1 = H 0 ( s) e -4 s 2 -4 s -4 s [( s + 1) + 9](1 - e ) 1- e
Re{s} > -1
h[n] = u[n] - 0.5h[n - 1] + 0.5h[n - 2]
当 n = 0 时， h[0] = u[0] - 0.5h[ -1] + 0.5h[ -2] = 1 当 n = 1 时， h[1] = u[1] - 0.5h[0] + 0.5h[ -1] = 0.5 当 n = 2 时， h[2] = u[2] - 0.5h[1] + 0.5h[0] = 1.25
N -1
-n
系统函数的代数属性与方框图表示: ① 级联：
H ( s ) = H1 ( s ) × H 2 ( s )
② 并联：
H ( s ) = H1 ( s ) + H 2 ( s )
③ 反馈联结：
ROC：包括 R1 I R2
\ H (s) =
Y (s) H1 ( s ) = X ( s ) 1 + G ( s ) H1 ( s )
中国科学技术大学 2004 年硕士学位研究生入学考试试题解析
考试题目：信号与系统 一． 【解答】 1．本题目主要考查卷积积分的微分及卷积和的差分性质(P93)，信号与阶跃函数的卷积 微分与系统函数的关系，卷积和定义和性质，而卷积和的计算方法：有图解法、列表法、 解析法（包括数值解法） 。将一个信号 x(k)不动，另一个信号经反转后成为 h(-k)，再随 参变量 n 移位，在每个 n 值的情况下，将 x(k)与 h(n-k)对应点相乘，再把乘积的各点值 累加，即得到 n 时刻的 y(n)，这是常考的很重要的知识点。连续时间 LTI 系统卷积积分： 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单 位冲激信号的线性组合。 本题具体的具体求解过程如下：
n =0 n =1 ¥ ¥
其中 h0 (t ) = e [2 cos 3t 该系统既因果又稳定。
-t
2 sin 3t ]u (t ) 3
3. 本题考查 FIR 数字滤波器的性质，快速计算 FFT 的方法，信号的 LTI 的性质。 FIR 滤波器（N-1 阶） H ( z ) =
å h ( n) z
n=0
y0 (t ) 的波形如右图所示，因此 y (t ) = y0 (t ) * [d (t ) - 2d (t - T ) + d (t - 2T )]
= y0 (t ) - 2 y0 (t - T ) + y0 (t - 2T )
它的波形如右下图所示。 2. 此小题主要考查对定义的理解，而针对这样的题目，一定要结合自己的知识深刻把握题目 中给出的定义, 然后按照其定义来解答题目，所以只要你明确什么是起始不松弛，因果关 系，离散信号的性质，递推关系(参考课本 P59)就很简单的得出答案，此题和 2003 年第一 题很相似。由于 LTI 系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信 号与系统分析的理论与方法奠定了基础。如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组 合，那么只要得到了 LTI 系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对 任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。 具体求解过程如下： 当输入 x[ n] = d [ n] 时，原方程的右边为
) ) ìh [n], n = 0,1,L, L - 1 N点DFT h2 [n] = í 2 ¬¾¾¾ ® H 2 (k ) n = L, L + 1,L, N - 1 î0, ) ) 并把两个 N 点实序列 h1[n] 和 h2 [n] 分别作为实部和虚部，构成பைடு நூலகம்个 N 点复序列 g[ n]
即 g[n] = h1[n] + jh2 [n] ¬¾¾¾ ® G (k ) = H1 (k ) + jH 2 (k )
其中 H 0 ( s ) =
2( s + 1) - 2 2( s + 1) 2 3 = - × 2 2 2 2 ( s + 1) + 3 ( s + 1) + 3 3 ( s + 1) 2 + 32
2 h0 (t ) = L-1{H 0 ( s )} = 2e- t cos 3t u (t ) - e - t sin 3t u (t ) 3
具体求解过程如下：
h(t ) = h0 (t - 1) ， h0 (t ) =
sin w0t sin 2w0t × pt pt
H (w ) = H 0 (w )e - jw ，利用频域卷积性质可求得 h0 (t ) 的傅立叶变换
即 H 0 (w ) =
1 H1 (w ) * H 2 (w ) ，其中 2p
ì(w + 3w0 ) 2p ï ïw0 p H 0 (w ) = í ï(3w0 - w ) 2p ï0 î
系统的频率响应 H (w ) 为
- 3w0 £ w £ -w0
w < w0 w0 £ w £ 3w0 w > 3w0
H (w ) = F {h(t )} = F {h0 (t - 1)} = H 0 (w )e - jw
故幅频响应 H (w ) = H 0 (w ) ，相频响应为 j (w ) = -w ，它们的图形如右图所示。 2. 本题考查正反拉式变换的基本方法，阶跃信号的拉式变换，熟悉拉式变换的分解，很容易 发现规律。由于 LTI 系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信 号与系统分析的理论与方法奠定了基础，基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信 号的线性组合， 那么只要得到了 LTI 系统对基本信号的响应， 就可以利用系统的线性特性， 将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。 拉普拉斯反变换，定义： X ( s ) =
ì1, ì sin w0t ü ï H1 (w ) = F í ý=í î pt þ ï î0, ï1, ì sin 2w0t ü ì H 2 (w ) = F í ý=í î pt þ ï î0,
w < w0 w > w0 w < 2w0 w > 2w0
它们分别为截止频率为 w0 和 2w0 的低频滤波器， 分别如右图所示。 利用图解法求卷积可以求得
)
)
x[n] * h1[n] 和 x[n] * h2 [n] ，即 y1[n] = Re{ y0 [n]} 和 y2 [n] = Im{ y0 [n]}
三． 【解答】 1. 本题考查信号的冲激响应和系统函数的关系，信号的幅频响应和相频响应画法，以及 滤波器类型的判定方法。
N点DFT
)
)
)
)
②然后，分别 N 点 FFT 程序计算 x0 [ n] 和 g[ n] 的 N 点 DFT C 0 ( k ) 和 G ( k ) ，这两个 N 点 DFT 相乘得到 Y0 ( k ) 即 Y0 ( k ) = C 0 ( k ) × G ( k ) = C 0 ( k ) H1 ( k ) + j C 0 ( k ) H 2 ( k ) 并根据 DFT 的正反变换公式，则有
{
)
)
}
) ) = x0 [n] * h1[n] + jx0 [n] * h2 [n] = y[n] + jy[n]
由于 x0 [ n] 、 h1[n] 和 h2 [n] 分别是 M 点序列 x[ n] 和 L 点序列 h1[ n] 与 h2 [ n] 计零加 长的序列， 且 N ³ M + L -1 ， 因此上述计算出的 y0 [ n] 的实部 y1[ n] 和虚部 y2 [ n] 还 是 x[ n] * h1[ n] 和 x[ n] * h2 [ n] ， 所 以 只 要 对 y0 [ n] 取 实 部 和 虚 部 ， 分 别 可 得 到
ROC：包括 R1 I R2
具体求解过程如下： 仅用了 3 次现成的 N 点 FFT 程序，同时分别计算出实序列卷积
y1[n] = x[n] * h1[n] 和 y2 [n] = x[n] * h2 [n] 的算法框图如下：
该算法说明如下：
① 首先用计零的方法把 x[ n] 、 h1[ n] 和 h2 [ n] 构成 3 个 N 点实序列 即： x0 [ n] = í
ì 1 ü ¥ L-1 í , Re{ s } > 0 ý = å d (t - 4n) -4 s î1 - e þ n =0
L-1{e -4 s } = d (t - 4)
因此，运用拉氏变换的时域卷积性质，可求得
é¥ ù h(t ) = h0 (t ) * ê å d (t - 4n) ú * d (t - 4) ë n=0 û = å h0 [t - 4(n + 1)] = å h0 (t - 4n)
)
)
ì1 ü y0 [n] = IDFT{Y0 (k )} = DFT í Y0* (k ) ý îN þ
可以要你用 N 点 DFT 程序计算 Y0 ( k ) 的 N 点 IDFT y0 [ n] ③ y0 [ n] = IDFT{Y0 ( k )} = IDFT C 0 ( k ) H1 ( k ) + j C 0 ( k ) H 2 ( k )
当 n = 3 时， h[3] = u[3] - 0.5h[2] + 0.5h[1] = 0.625 当 n = 4 时， h[4] = u[4] - 0.5h[3] + 0.5h[2] = 1.3125
M
二． 【解答】
M
1. 本题主要考查非周期信号的傅里叶变换的性质和常见信号的正反傅里叶变换的关系， 信号 的幅频响应和相频响应的画法。 由于 LTI 系统满足齐次性和可加性， 并且具有时不变性的特 点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。 基本思想： 如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合， 那么只要得到了 LTI 系统对 基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成 系统对基本信号的响应的线性组合。 信号在时域和频域之间有一种相反的关系。 矩形脉冲情况的对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。