导数及其应用教案

课题：变化率问题
教学目标：
1. 理解平均变化率的概念；
2. 了解平均变化率的几何意义；
3. 会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念. 教学过程： 一、 情景导入
为了描述现实世界中运动、
过程等变化着的现象， 在数学中引入了函数， 随着对函数的
研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、 已知物体运动的路程作为时间的函数 ，求物体在任意时刻的速度与加速度等
；
二、 求曲线的切线；
三、 求已知函数的最大值与最小值 ； 四、 求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一 般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题： 研究某个变量相对于另一个变量变化的
快慢程度. 二、 知识探究 探究一：气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程
，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的
半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是V(r)
⑴ 当V 从0增加到1时，气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
… r (1) r(0)
气球的平均膨胀率为 一^一」 0.62(dm/L)
1 0
⑵ 当V 从1增加到2时，气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
「修 ；(1) 0.16(dm/L)
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.
……r(V 2) 思考：当空气容量从 V 增加到 W 时，气球的平均膨胀率是多少 ？—一-
探究二：高台跳水：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)
(2)
存在函数关系
h (t )= -4.9 t +6.5 t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述
如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么r(V)
r(V i )
V 2 V i
其运动状态？
思考计算: 0 t 0.5 和1 2的平均速度v
0.5这段时间里, 2这段时间里，v
h(0.5) h(0) 4.05(m/s)；
0.5 0
h⑵h(i) 8.2(m/s)
探究: 计算运动员在0 t
2 i
65、- ,、 s十山、、，一、——这段时间里的平均速度，并思考以下问题: 49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数
h o
65
h(-) h(0),所以v
49
2
h(t)= -4.9t+6.5t+i0的图像，结合图形可知,
65
h(--) h(0)
-^49----------- 0(s/m)，虽然运动员在0
65 c —— 0 49
65、一、，，——
这段时间里的49
平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。

探
究(三)：平均变化率
1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子f(X2) f (X i)
--------------- 表小, X2 X i
称为函数f(x)从x i到X2的平均变化率
2 .若设x x2x i,y f (x2) f (x i)(这里x看作是对于x i的一个增量"可用
X1+ X代替X2,同样y f(X2) f(X i))
则平均变化率为—
x f(X2) f (X i) f(X i X) f (X i) X2 X i
思考：观察函数H X)的图象：平均变化率
直线AB的斜率
W S表示什么?
三、典例分析
2
例1.已知函数f (x )= x x 的图象上的一点 A(
2
_
x) ( 1 x) 2
3
x o 2x o x x x o c 2x o ---------------- x x
一.
2 •
所以y x 在x x o 附近的平均变化率为 2x o x
例3、求函数y= 5x 2+ 6在区间［2, 2 + ^ x ］内的平均变化率 例4、某盏路灯距离地面高
8m, 一个身 高1.7m 的人从路灯的正底下出发，以 1.4m/s 的
速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率 解：略
2
1 .质点运动规律为s t 3,则在时间(3,3
t)中相应的平均速度为 .
2 物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动，求在4s 附近的平均变化率.25 3 t
3 .
3、函数f(x)从xo 到xo+Ax 的平均变化率怎么表示?
f(X 0 +Vx)- f(x 0)
Vx
解:
(1 x)2 3 ( 1 x), 1, 2)及临近一点B( 1 x, 2 y),
例2、求
x o 附近的平均变化率。

解:
(x o
、2
2
~ y x) x o ,所以——
x
(x o 、2
2
x)
x o
四.课堂练习
课题:导数的概念
教学目标：
1. 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;
3. 会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念. 教学过程： 一、复习引入
y f(x 2) f (为) f(x i x) f (xj
x x 2 x .
2、 函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线
(割线)的斜率
3、 在高台跳水运动中，平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态 台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。

二、知识探究
…一…工 65、- ,、 s 十山、 、，一 、
1、引例：计算运动员在 0 t ——这段时间里的平均速度，并思考以下问题: 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数
65、一、 ……、，
,…… ——这段时间里的平均速度为 0(s/m),但实际情 49
况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
2、.瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他
在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， t 2时的瞬时速度是
金5时,在［2十白人2 这段时1旬内』
时.在［2,2+上］这飙间内-
-力(2)—方(2 + Af) 4.9A 『+13.1&
^(2-bA/)-A(2) -4.9A? -13.1AZ 2-3&) 京
= T,9&-13.1
(2+也)-2 M q
= -4.9A£-13.1
当时，也£ = —13.051；墓
当瓦= 001 时，Az = -13.05b q 当 AE 二「0。

1 时，四f 二「13.0951：
丁 当&二 0。

01时，A2 =-13.0951； ♦ 当 A; = -0 001 时，Af =-13.09951?『 当A 』= 0.001 时，A/= -13 0^51；点 当位 = -0.0001 时,曷= -13 099951：― 当 AN = 0。

001 时，=-13.09995 b 当Az =-0,00001 时，=-13.09995b *
当 & = 0 00001 时，Az =-13.099951； 一
■ » ■
……
1、函数平均变化率:
.因为运动员从高
h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知, 65
h (元)h(0)
-^9 ----------- 0(s/m), 65 c —— 0 49
65
h"(0),所以 虽然运动员在0 t
① 、思考：当 t 趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
② 、结论：当 t 趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于 2的一边趋近于2时,
平均速度V 都趋近于一个确定的值
13.1.
③ 、从物理的角度看，时间| t 间隔无限变小时，平均速度
V 就无限趋近于史的瞬时速度，
因此，运动员在t 2时的瞬时速度是 13.1m/s
④ 、为了表述方便，我们用
「m 。

一t) h(2) 13.1表示“4 2 , t 趋近于0时,
平均速度v 趋近于定值
13.1
⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度
的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3、导数的概念：函数 y =f (x )^ x =x o 处的瞬时变化率是 ：lim --------------------- 少一位0) lim —¥
x 0
x
x 0
x
我们称它为函数y f(x)在x x °出的导数，记作f '(x 。

)或y ' |x x0 , 即 f
(x 0)顷。

* x ；泌)
说明：(1)导数即为函数 y =f (x )在x =x 。

处的瞬时变化率
f (x) f (x 0)
(2) x x x 0，当 x 。

时，x x°,所以 f (x °) lim ---------------------------------------------
x 0
x x 0
4、一般地，求函数f(x)在x= x 0处的导数有哪几个基本步骤？
第一步，求函数值增量：△ y= f(x+Ax) —f(x 。

)；
Vy f (x + Vx) - f(x 。

)
第二步，求平均变化率：
—= 0
-
Vx Vx 第三步，取极限，求导数：
f 恢0) = lim 处
vx?
Vx
f (x) - f(x 0) 万
5、常见结论：(1) lim ------------------- = f G 0) (2)
x? x
x - x 0
、典例分析 例1.(1)求函数y =3x 2在x =1处的导数.
2 分析：先求 Ay = f ( 1 + Ax )- f ( 1 )=6 &+( Ax )
lim 四
-
*)- f(x 0)
Vx? 0
Vx
(3)欢0
心
+ 2
：?-
心0)
= 2®) (4) V im
Vx
f(x 0 + mVx) - f (x 0) m 刀 -^-0 - = — f ^0) 0
nVx n
y f
再求二 6
x 再求lim —— 6
x
x 0 x
解：法一(略)
f ( 1) lim 旦
——x)―x ^-2 lim (3 x) 3
x 0
x
x
x 0
例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热，如果第xh 时，原油的温度(单位：°C)
为f(x) x 2 7x 15(0 x 8),计算
第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f '(2)和f '(6)
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) --------------------- x 3
x
所以 f (2) lim 里 lim( x 3) 3
x
x 人u 同理可得:f (6) 5
约以3°C/h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以 5°C/h 的速率上升. 注：一般地，f (x °)反映了原油温度在时刻 x 0附近的变化情况. 四. 课堂练习
2
1 .质点您动规律为s t 3 ,求质点在t 3的瞬时速度为.
3 ,
2 .求曲线y =f (x )=x 在x 1时的导数.
3•例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
五. 回顾总结
1. 瞬时速度、瞬时变化率的概念
2. 导数的概念
六. 布置作业
法二：y |x i
lim x 1 2
2
3x 3 1 x 1
2 2
..3(x 1 ) lim -- -------- x 1
x 1
lim3( x 1) 6 x 1
(2)求函数f (x )= x 2
x 在x 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.
解：—
x
(1 x)2 ( 1 x) 2
x
根据导数定义,
f f (2 x)
f (x °) x
x
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3和5,说明在2h 附近，原油温度大
课题：导数的几何意义
教学目标：
1. 了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2. 理解曲线的切线的概念；
3. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题;
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义. 教学过程： 一.复习引入
1、函数f(x)在x= X 。

处的导数的含义是什么？
少
Vy f （x + Vx ） - f （x 。

）
f （x n ） = lim y = lim 。

0。

Vx 0 Vx Vx 0
2、 求函数f(x)在x= x 。

处的导数有哪几个基本步骤？
3、 导数f'(x 。

)表示函数f(x)在x= xo 处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某
种几何意义，是一个需要探究的问题 .
二.知识探究
探究一：导数的几何意义
1、曲线的切线及切线的斜率
：如图3.1-2，当P n (x n , f(x n ))(n 1,2,3, 4)沿着曲线f (x)趋
我们发现，当点P n 沿着曲线无限接近点 P 即 J 0时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个 确定位置的直线
PT 称为曲线在点P 处的切线.
问题：⑴割线PP n 的斜率、与切线PT 的斜率k 有什么关系？
⑵切线PT 的斜率k 为多少？
Vx
近于点P(x o ,f(x 。

))时，割线PP n 的变化趋势是什么?
图 3.1-2
容易知道，割线PP n 的斜率是、
f (X n ) f (X 0)
，当点R 沿着曲线无限接近点 P 时，灯无 X n X o
f (X o X) f (X o )
限趋近于切线 PT 的斜率k ,即k lim ----------------------- ---- ---- f (X o )
X 0
X
说明：
⑴、设切线的倾斜角为 0,那么当0时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法
；
②切线斜率的本质 一函数在X X o 处的导数.
⑵、曲线在某点处的切线：
①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。

如有极限
，则在此
点有切线，且切线是唯一的；如不存在 ，则在此点处无切线；③、曲线的切线 ，并不一定与曲线 只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.
2、导数的几何意义：
f (X o X) f (X o ).
即：f (x o ) lim ------------------------------ k
X o X
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 ①、求出P 点的坐标；
(X o , f (X o ))的切线的斜率;
③、利用点斜式求切线方程. 探究二；导函数概念：
1、导函数定义：
由函数f (X )在X =X o 处求导数的过程可以看到，当X=X o 时，f (X o )是 当X 变化时，便是X 的一个函数，我们叫它为f (x )的导函数.记作：f (X)或y ,
即：f(x) y im f(x X) f(x)
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.
2、函数f(x)在点X o 处的导数f (X o )、导函数f (X)、导数之间的区别与联系。

1) 函数在一点处的导数 f (X o ),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限， 它是一个常数，不是变
数。

2)
函数的导数，是指某一区间内任意点 X 而言的， 就是函数
f(x)的导函数
一一 一 ・ ・ ......... -'. ..... ........... -... .......................... ..............
3) 函数f(x)在点X o 处的导数f (X o )就是导函数f (X)在X X o 处的函数值，这也是求函 数在点X o 处的导数的方
法之一。

函数y = f (X )在X = X °
处的导数等于在该点
(X o ，f (X 。

))处的切线的斜率,
②、求出函数在点
X o 处的变化率 f (X o )
lim f(X o
X) f(X o )
X
o
X
k ,得到曲线在点
个确定的数，那么，
y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.
以，在t t o 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
(2) 当t
t 1时，曲线h(t)在t 1处的切线1I 的斜率h(t 〔)
0,所以，在t t 1附近曲线下
降，即函数h(x)
4.9x 2 6.5x 10在t &附近单调递减.
(3) 当t t 2时，曲线h(t)在t 2处的切线12的斜率h(t 2)
0，所以，在t t 2附近曲线下
降，即函数h(x)
4.9x 2 6.5x 10在t t 2附近单调递减.
从图3.1-3可以看出，直线l i 的倾斜程度小于直线12的倾斜程度，这说明曲线在 t i 附近比
例1:(1)求曲线 (2)求函数
y =3x 2在点(1,3)处的导数.
解：(1) y l x 1
2
2
-
[(1 x) 1] (1 1) 「 2 x lim ----------------------------- lim ------------ x o x x o x
2,
所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为
2 2(x 1)即 2x y 0
(2) 因为 y |x 1 lim 3^——31 lim 3(^——1^ lim3(
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
1) 6
所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为
6(x 1)即 6x y 3 0
练习：求函数
f (x )= x 2 x 在x 1附近的平均变化率,
并求出在该点处的导数.
解：—
x
(1 x)2 ( 1 x) 2
f (
1)加
y (1 x)2 ( 1 x) 2
x x
炉。

(3
x) 3
例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间
............ .....
_2_
_
.... ..................................
变化的函数h(x) 4.9x 6.5x 1o ,根据图像，请描述、
比较曲线h(t)在t o 、t 〔、t 2附近的变化情况.
解：我们用曲线h(t)在t o 、&、t 2处的切线，刻画曲线h(t)在 上述三个时刻附近的变化情况.
(1)
当t t o 时，曲线h(t)在t o 处的切线l o 平行于 x 轴，所
在t2附近下降的缓慢.
例3 .(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 c f(t)(单位：mg/mL )随时
间t (单位：min)变化的图象.根据图像，估计t 0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到
0.1 ).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 f (t)在此时刻的导数，从图
像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作t 0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91) , (1.0,0.48),则它的斜率为：
,0.48 0.91 ,
k 1.4
1.0 0.7
所以f (0.8) 1.4
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
四. 课堂练习
3 ,
1 .求曲线y=f(x)=x在点(1,1)处的切线;
2.求曲线y JX在点(4,2)处的切线.
五. 回顾总结
1. 曲线的切线及切线的斜率；
2. 导数的几何意义
六. 布置作业
课后记
课题：几个常用函数的导数教学目标:
1. 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数
的导数公式；
2. 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.
教学重点：四种常见函数y c、y x、y2x、y 1
x的导数公式及应用
教学难点：四种常见函数y c、y x、y2x、y 1
x
的导数公式
教学过程:
.复习引入
1、导数f(X0)的几何意义是什么?
2、如何求函数f(x)的导函数？
3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一
时刻的瞬时速度.那么，对于函数y f (x),如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出
了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这
在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.
二. 知识探究
1 .函数y f (x) c的导数
rm日毋d成岂y f (x x) f (x) c c
⑴根据导数正义，因为——-------------------------- -------- 0,
x x x
所以y lim 旦lim 0 0
x 0 x x 0
⑵y 0表示函数y c图像(图3.2-1 )上每一点处的切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的函数，则y 0可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态.
2 .函数y f (x) x的导数
，、…y f (x x) f (x) x x x
⑴因为业---------- ------- - --- -- --------------
x x x
所以y lim 旦lim1 1
x 0 x x 0
⑵y 1表示函数y x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若y x表示路
程关于时间的函数，则y 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
2 .
3.函数y f (x) x 的导数
/m y f (x x) f (x) (x
x)2 x 2 c
⑴因为翌 ---------------- - --- -- --- ------ - ----- 2x x
x
x
所以 y
li^-y
l[m(2x
x) 2x
⑵y 2x 表示函数y x 2图像（图3.2-3）上点（x, y ）处的切线的斜率都为 2x ,说明随着
x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表
_
2
明：当x 0时，随着x 的增加，函数y x 减少得越来越慢；当 x 0时，随着x 的增加, 函数y x 2增加得越来越快.若y x 2表示路程关于时间的函数, 物体做变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为2x.
. ................. 1 ，… 4 .函数y f （x ）-的导数
x
1
1 因为迪
f(x x) f(x) x x k x (x x) x
x
x x(x
x) x
(2)推广：若 y f (x) x *则 三. 课堂练习
1.
课本P 13探究1; 2 .课本P 13探究2 ； 3 .求
函数y jx 的导数
四. 回顾总结 五. 布置作业
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；
3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点：基本初等函数的
导数公式、导数的四则运算法则
教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一. 复习引入
一，
2
1
1、四种常见函数 y c 、y x 、y x 、y -的导数公式及应用
函数 导数
2
y x
y 2x
则y 2x 可以解释为某
所以y
lim y
x 0
x 2 x x)
函数
导数
1 y x
1 y
x
2
x
x
二. 知识探究
探究一：基本初等函数的导数公式表
探究二：导数的运算法则
1.f(x)g(x) f (x) g(x)
2.f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)
特别：cf(x)cf (x)
例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单
位：年)有如下函数关系P(t) P o(1 5%)t，其中p o为t 。

时的物价.假定某种商品的
P o 1 ,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01) ?解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) 1.05t ln1.05
所以p'(10) 1.0510ln1.05 0.08 (元/年)
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.
例2 .根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.
(1) y x3 2x 3(2) y =————二=；(3) y = x -sin x ・ln x；
1 .x 1 .x
(4) y = 4 ; (5) y = 一里^ . (6) y = ( 2 x2-5 x +1) e x
4x 1 In x
sin x xcosx
(7) y = --------------------------
cosx xsin x
说明：①求导数是在定义域内实行的.②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.
例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增
加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用为：c(x) 5284 (80 x 100)
100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1) 90% (2) 98%
解：略
四. 课堂练习
1 .课本P92练习
2. 已知曲线C： y = 3 x4-2 x3—9 x2 + 4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
(y =— 12 x + 8)
五. 回顾总结
(1) 基本初等函数的导数公式表
(2) 导数的运算法则
六. 布置作业
课后记
课题：复合函数的求导法则
教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则.
教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变
量的导数之积.
教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确. 教学过程：
一.复习引入
1、基本初等函数的导数公式表
2、导数的运算法则
1. f(x) g(x) f (x) g(x)
2. f(x)
'
g(x)
f (x)g(x) f (x)
g (x)
特别：
cf(x) ' -' cf (x)
3.
f(x)
g(x)
f(x)g
(x)
即⑴"0) g(x)
二、知识探究
1、 复合函数的概念： 一般地，对于两个函数 y f (u)和u g(x)，如果通过变量u , y 可
以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数
y f(u)和u g(x)的复合函数，记作
y f g(x)。

2、 下列函数可以看成那两个函数复合而成？
⑴ y = ln(x 2+ 3)
⑵ y= (2x + 3)3
(3)y= sin(ax + 1)
3、 复合函数的导数：复合函数
y f g(x)的导数和函数y f(u)和u g(x)的导数间
的关系为y x
y u u x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
若 y f g(x)，则 y
f g(x) f g(x)
g (x) 三.典例分析
例1求卜列函数的导数：
,、
―
3
-0.05x+1
(1) y = (2x+ 3); (2) y = =e =1 — — (1 — cos 4 x) = ' + — cos 4 x. v ，= -sin 4 x.
4 4 4
【解法二】 y' =(sin x )'十cos
x )' =4 sin x (sin x )' -4 cos x (cos x )' =4 sin x cos x + 4 cos x
(—sin x )= 4 sin x cos x (sin 2x — cos 2x )= — 2 sin 2 x cos 2 x= — sin 4 x 例4曲线y = x (x + 1) (2 — x)有两条平行于直线 y = x 的切线，求此二切线之间的距离.
【解】y =— x 3
+ x 2
+ 2 x
y' = -3 x 2+ 2 x + 2 令 y'日即 3 侦—2 x — 1 = 0,解得 x
(3) y = sin( px + j )
(4)y= ln(3x + 2).
_x_a_
.x 2 2ax
的导数.
例3求y = sin 4x + cos 4x 的导数. 【解法一】 y = sin 4
x + cos 4x= (sin 2x
2 2 2 2
1
2
+ cos x ) — 2sin cos x= 1 — — sin 2 x
=——或x = 1.于是切点为P(1 , 2), Q (——,——),
3 3 27
过点P的切线方程为，y — 2 = x — 1即x — y + 1 = 0.
I 1 丝1| “
16
显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为一3~27 --------- =——<2 .
,2 27
四. 课堂练习
1 .求下列函数的导数(1) y =sin x3+sin33x； (2) y S*^X ;(3)log a(x
2 2)
2x 1
2.求ln(2x2 3x 1)的导数
五. 回顾总结
六. 布置作业
课题：函数的单调性与导数
教学目标：
1. 了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2 .能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：
一 .情景导入
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减
的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质，我们
可以对数量的变化规律有一个基本的了解. 下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会
导数在研究函数中的作用.
二.知识探究
1 .问题：图3.3-1 ( 1 ),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t) 4.9t
2 6.5t 10的图像，图3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化
.. .. ' ........................................................
的函数v(t) h (t) 9.8t 6.5的图像.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
⑴、运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加,
三.典例分析
例1 .已知导函数f'(x)的下列信息：当1 f'(x) 0 ；当x 4 ,或x 1 时,f'(x) 解：当1 x 4时，f'(x) 0,可知y
x 4时, 0,
f(x)
.… ................. , . •.' . -
即h(t)是增函数.相应地，v(t) h (t) 0 .
⑵、从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少, 即h(t)是减函数.相应地，v(t) h'(t) 0 .
2. 函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图3.3-3，导数f (X。

)表示函数f(x)在点(x o,y°)处的切线的斜率.
在x X。

处，f'(x。

) 0,切线是“左下右上”式的，这时，函数f (x)在X。

附近单调递增;
在x x1处，f'(x。

) 0,切线是“左上右下”式的，这时，函数f (x)在x1附近单调递减. 结论：函数的单调性与
导数的关系
在某个区间(a,b),如果f'(x) 0,那么函数y f (x)在这个区间内单调递增；如果
_ * .. _ .........................................................................
f (x) 0,那么函数y f(x)在这个区间内单调递减.
说明：(1)特别的，如果f'(x) 0,那么函数y f (x)在这个区间内是常函数.
3. 求解函数y f (x)单调区间的步骤:
(1)确定函数y f (x)的定义域;
(2) 求导数y f (x)；
'
(3) 解不等式f (x) 0,解集在定义域内的部分为增区间;
一一• _ ' . _ ................ .... .. ............. .
(4) 解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
时,
当x 4,或x 1时，f (x) 0 ；可知y f (x)在此区间内单调递减; 当x 4,或x 1时，f '(x) 0 ,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”. 综上，函数y
f(x)图像的大致形状如图 3.3-4所示.
例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.
3
(1) f (x) x 3x ； (2) f (x)
(3) f (x) sin x x x (0,)；
3
解：(1)因为f(x) x 3x,所以,
x 2 2x 3
(4) f(x) 2x 3 3x 2 24 x 1 -' _ 2 _ _ 2 _
f (x) 3x 3 3(x
1) 0
2
(2)因为 f (x) x 2x 3 ,所以,
2
函数f(x) x 2x 3的图像如图3.3-5 (2)所小.
(3)
因为 f (x) sin x x x (0,)，所以，f '(x) cosx 1 0 因此，函数f(x) sin x x 在(0,)单调递减，如图3.3-5
(3)所示.
(4)
因为 f (x) 2x 3 3x 2 24x 1,所以
当f (x) 0,即 时，函数 f(x) x 2 当f (x) 0，即 时，函数 f(x) x 2
3
2
函数f (x) 2x 3x 24x 1的图像如图3.3-5 (4)所小. 注：(3)、(4)生练
3
因此，f(x) x 3x 在R 上单调递增，如图 3.3-5 (1)所示.
当f (x) 0，即x 1时，函数f (x) x 2 2x 3单调递增;
当f (x) 0 ,即x 1时，函数f(x)
乂2 2x 3单调递减;
f (x) 2x 2 2 x 1
例3 如图3.3-6 ,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.
解：1 B , 2 A , 3 D , 4 C
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结
合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的
快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓” 一些.
如图3.3-7所示，函数y f(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”，在b, 或，a
内的图像“平缓”.
3 2
例4 求证：函数y 2x 3x 12x 1在区间2,1内是减函数.
、一一 .'一 2 一__2 __ _
证明：因为y 6x 6x 12 6 x x 2 6 x 1 x2
当x 2,1即2 x 1时，y' 0 ,所以函数y 2x3 3x2 12x 1在区间2,1内
是减函数.
说明：证明可导函数f x在a,b内的单调性步骤：
' '
(1)求导函数f x ；(2)判断f x在a, b内的符号；
(3)做出结论：f' x 0为增函数，f' x 0为减函数.
例5、已知函数f (x)4x ax2-x在区间1,1上是增函数，求实数
3
a的取值范围.
'一一_ _解：f (x) 4 2 ax _ 2 一.
2x ,因为 f x在区间1,1上是增函数，所以f (x) 0对
x 1,1恒成立，即2x ax 20对x 1,1恒成立，解之得：1 a 1所以实数a的取值范围为1,1
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，贝U f'(x) 0；若函数单调递减，贝U f'(x) 0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.
四. 课堂练习
1. 求下列函数的单调区间
1_
(3)
(1) .f(x)=2x — 6x+7 2.f(x)= —+2x 3. f(x)=sin x , x [0,2 ] 4. y=xlnx
x
2. 课本练习
五. 回顾总结
(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y f (x)单调区间(3)证明可导函数f x
在a, b内的单调性
六. 布置作业
课后记
课题：函数的极值(-)
教学目标：
1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义^
2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
教学过程：
一、复习引入
1. 函数f(x)在区间(a, b)内的单调性与其导数的正负有什么关系？
2. 利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？
二、知识探究
探究一；函数的极值的概念
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大. b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小.
3 2
2、观察函数f(x)= 2x — 6x + 7的图象，
思考：函数y =f(x)在点x= 0, x= 2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点？
(1) 函数在x= 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说f(0)是函数的一个极大值；
(2) 函数在x= 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值.
一… 3 2
函数y= 2x — 6x + 7的一个极大值：f (0); 一个极小值:f (2).
函数y= 2x3- 6x2 + 7的一个极大值点：(0, f (0)); 一个极小值点：(2 , f⑵).
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x。

附近有定义，如果对x。

附近的所有的点，都有f(x) v f(x。

) 我们就说f(x。

)是函数f(x)的一个极大值，记作：y极大值=f(x。

)；如果对x。

附近的所有的点, 都有f(x)＞f(x。

)，我们就说f(x。

)是函数f(x)的一个极小值，记作：y极小值=f(x。

).
极大值与极小值统称为极值.
探究二：函数极值的求解
1、观察下图中的曲线
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0,
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正.
2、、利用导数判别函数的极大(小)值：
一般地，当函数f(x)在点x。

处连续时，判别f(x。

)是极大(小)值的方法是：
⑴如果在x。

附近的左侧f '(x)＞。

，右侧f '(x) V。

，那么,f(x。

)是极大值;
⑵如果在x。

附近的左侧f '(x)v。

，右侧f '(x) ＞。

，那么,f(x。

)是极小值;
思考：导数为。

的点是否一定是极值点？(导数为。

的点不一定是极值点.)
如函数f(x)= x3, x=。

点处的导数是。

，但它不是极值点.
说明：⑴、函数的极值点x i是区间［a, b］内部的点，区间的端点不能成为极值点.
⑵、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.
⑶、函数在［a, b］上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极
小值点.
3、函数f (x)的定义域为开区间(a, b),导函数f (x)在(a, b)内的函数图像如图，贝U函数f (x)在开区间(a, b)内存在极小值点几个.。