济南大学高等数学下历年考题答案

围
1
成
空
间
区
域
. 在上 使 用 高 斯 公 式,
x2dydz y2dzdx (z x)dxdy (2x 2 y 1)dv
1
（由对称性）2 xdv 2 ydv 0
上式
dv
2
d
0
1
rdr
1 dz 1
0
r2
2
3、计算曲面积分 I x2dydz y2dzdx (z x)dxdy
应用格林公式,得
(2xy 2 y)dx (x2 4x)dy L
(2)dxdy
D
-18
3、计算曲面积分 I x2dydz y2dzdx (z x)dxdy
，其中 为抛物面
z
x2
y2
(0
z
1) 取下侧.
解：曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
1
补充1 : z 1 ( x2 y2 1) (上侧)
1
[1 2 y sin
3(
)2
y2 ]dy
0
0
22
2
4
3. x3dydz y3dzdx zdxd，y 其中 是圆柱体：x2 y 2 9，0 z 3 的整个表面的外侧.
解 记所围成的空间区域为
利用高斯公式
x3dydz y3dzdx zdxdy (3x2 3 y2 1)dxdydz
，其中 为抛物面
济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷） 高等数学A（二）
0
r2 1 0 r i
C1 cos x C2 sin x
3
64
当 x为端点x 时,
f ( ) f ( )
1
收敛于
2
.
2
C
B
A
A
B
1、
z x
2x sin
y
2z
xy 2x cos y
z x2 cos y y
P( x) 2 Q( x) x2e2x
y e P( x)dx[C Q( x)e P( x)dxdx]
即y 2 y x2e2x 一阶线性微分方程
P( x) 2 Q( x) x2e2x
y e 2dx[C x2e2xe 2dxdx]
e2x[C x2dx]
e 2 x [C
x3 ]
2z y 2
x2
sin
y
3计算题：求微分方程 y ln xdx x ln ydy 0
满足初始条件 y |x1 e 的特解.
分离变量 ln x dx ln y dy
x
y
积分 ln xd(ln x) ln yd(ln y)
即
(ln y)2 (ln x)2
C
2
2
将y |x1 e代入上式， C 1
(柱面坐标)
2
d
3
rdr
（ 3 3r 2 1）dz
0
0
0
五、应用题（10分）设 f (u, v) 具有连续偏导数，且满足
fu (u, v) fv (u, v) u.v求 y(x) e2x f (x, x)
所满足的一阶微分方程，并求其通解.
解 等式y( x) e2x f ( x, x)两边关于x求导，
2
特解为 (ln y)2 (ln x)2 1
4. 求幂级数 (n 1)x n 的收敛域及和函数.
n0
解
an n 1
lim an1
n an
lim n 2 1
n n 1
R 1 故收敛区间为(-1,1)
当x -1时, 级数为 (-1)n(n 1),
发散;
当x 1时, 级数为 (n 1), 发散
3
济南大学2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A卷） 高等数学A（二）
2
4
y c1e x c2e 2x
r2 r 2 0
2
当 x是 f ( x)的间断点时,
f (x ) f (x )
收敛于
2
;
2
CH10微分方程与差分方程
B
A
y' 1 y 1 x
B CH10微分方程与差分方程
D
B
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
[
e
1 x
dx
dx
C
]e
1 x
dx
[
1 dx C]x
x
x ln x Cx
1 z arctan y x
，求 z , z x y
2、
e z xyz 0 ，求
z , z x y
Fy xz
z y
Fy Fz
Leabharlann Baidu
ez
y( x) -2e2x f ( x, x) e2x[ f x ( x, x) f x ( x, x)]
由fu (u, v) fv (u, v) uv 得f x ( x, x) f x ( x, x) x2
y( x) -2e2x f ( x, x) x2e2x 即y 2 y x2e2x 一阶线性微分方程
D
y
所围成的平面区域.
解：
1
y1
ydxdy dy ydx
0
y
D
1
1
0 y( y 1 y)dy
0
x
1 2
2、设L 为取正向的圆周 x 2 y 2 9 ，计算曲线积分
(2xy 2 y)dx (x2 4x)dy L
解：记L所围成的封闭区域为D
P 2x 2 y
Q 2x 4 x
xz ,
xy
3、已知 z f (xy, x 2 y 2 ) ，求 z z
x y
解：
Z x f1y 2 xf 2
Z y f1x 2 yf2
教材章9.4节课后习题8是类似的题
四、计算下列积分（每小题10分，共30分）
1、 ydxdy，其中Ｄ是由直线 y x, y x 1, y 0及y 1
n0
n0
故收敛域为(-1,1)
s( x) (n 1)xn ( x n1 ) ( x n1 )
n0
n0
n0
(x 1 x
)
1 (1 x)2
1 (x 6y)dxdy ，其中 D是由 y x ，y 5x 和 x 1
D
所围成的闭区域.
y 5x
1
5x
0 dx x ( x 6 y)dy
y x
0
1
2. (2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 y2 )dy ，其中 L L
是抛物线
2x
y 2上从点 (0, 0) 到点
( 2
,1)
的一段弧.
解
Q x
2 y cos x 6xy2
P y
积分与路径无关
选取积分
路
径O(0,0)
L1
A(
L2
,0) B(
,1)
2
2
L1 : y 0, x [0, 2 ]
L2 : x 2 , y [0,1]
(2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 y2 )dy L
(2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 y2 )dy
L1 L2
2 0dx