济南大学高等数学下历年考题答案
0910高等数学B( 二)试题答案济南大学

解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出, 则全微分 dz ;xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 (每小题2分,共10分) 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛,故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
高数下册试题及答案

高数下册试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x,求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案:A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x),则f'(x)等于:A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案:B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B4. 若函数f(x) = e^x,则f'(x)等于:A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1,求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案:42. 设函数f(x) = ln(x),则f'(x) = ________。
答案:1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案:1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15,求f'(x)。
答案:3x^2 - 12x + 9三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0,解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12,可以判断x = 1处为极大值点,x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0,极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案:首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案

一、二题:选择题:ABCAC ,DACDA填空题:1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ;2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题:三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得:033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解:xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段,原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题:五、解:n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散,故收敛区间为(-1,1)………………..2分 在区间(-1,1)上,设和函数为)(x s ,则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x =xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解:设容器的底两边分别为x 、y ,高为z ,则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点,(2,2,3),由问题最值的存在性,知该点为最值点,即当容器的长宽高分为2、2、3米时,容器体积最大。
济南大学高数试题及答案

济南大学高数试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是:A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是:A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的?A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛?A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题(每题10分,共50分)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案:一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值:f(3)=2,最小值:f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间:(2,+∞),单调递减区间:(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程:y=2x-5。
0809高等数学B(二)试题答案 济南大学

不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
3.
点(0,0)是z xy的 (
B
).
z
(A)极值点;(B).驻点但不是极值点; (C)是极值点但不是驻点;(D)以上都不对 分析:
O
y
z x y 0, 得驻点 (0,0). 令 zy x 0
x
D {( x, y ) a x a, x y a}, D1 {( x, y ) 0 x a, x y a}, 则 ( x y cos x sin y ) dx d y A
当 x 2 1, 2 当 x 1,
时级数收敛 时级数发散
故收敛半径为 R 1.
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
收敛域为 1,1.
4.
解:
x 求幂级数 的收敛域及和函数. n 1 2 n
2n
在( 1,1)内, 有
2n
x1 2n x 2 n 1 t dt t dt 0 s ( x) 0 t n 1 2 n n 1 n 1 x
tn
(x 1) n
(1)( x 1) n .
n 0
x 1 1
即 2 x 0.
一.选择题(每小题3分,共15分) xy ,则极限 lim f ( x, y ) ( 1. f ( x, y ) 2 2 x0 x y y 0
0910高等数学A(二)答案

0910高等数学A(二)答案第一篇:0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准(含参考答案)A卷课程名称:高等数学A(二)任课教师:张苏梅等一、填空题(每小题3分,共18分)1.yzez-xy;2.y=2x3-x2;3.2xdx+2ydy;π∞(-1)n(2x)2n4.0;5.2;6..12(1-n∑=0(2n)!),(-∞,+∞)二、选择题(每小题3分,共18分)C;D;C;B;A;B.三、计算题(每小题8分,共32分)1.解:∂z∂x=1ycosxy;.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解:⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解:dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解:⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题(每小题8分,共16分)1.解:由椭球的对称性,不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点,内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0),其体积为:V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ(x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得(x,y,z)=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解:Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、(8分)解:因为limana=limn=1,所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时,级数均发散,故级数的收敛域为(-1,1).....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、(8分)解:① 设u=x2+y2,则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理,2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp,du则原方程化为:dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得:p=CC,即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得:C1=0.函数f(u)的表达式为:f(u)=ln|u|.......8分第二篇:1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准(含参考答案)A卷课程名称:高等数学B(二)任课教师:一、填空题(每小题2分,共10分)1、2dx+dy,2、-5,3、1,4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题(每小题2分,共10分)1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题(每小题8分,共40分)1、解:令F=x2+y2+z2-2z,则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解:⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解:⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解:ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解:收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=(x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题(每小11分,共33分)ϖ1、解:交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解:令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解:旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D:x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题(每小题7分,共7分)ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证:x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇:专升本高等数学(二)成人高考(专升本)高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念(对极限定义等形式的描述不作要求)。
济南大学高等数学下历年考题答案

L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解:
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解:
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2
2
高等数学下册试题及答案解析

高等数学(下册)试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C ) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
高等数学(二)BW试题答案济南大学

下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o ( ) 函数可微
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
小结
偏导数连续
极限,连续,可导,可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
济南大学1516高等数学 (二)BW参考解答
一.选择题(每小题2分,共10分)
B 1. 极限 lim sin(xy) ( ) x ( x, y)(0,1)
2016.6.27
(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 不存在.
教材P707等2价无穷小替换,重要极限
分析:多元函数的极限
解: 原式 =
y 1y (0,1)
表示为X型区域 D : 1xxy01
原式
0
1
dx f (x, y)dy
1
x
D
y x
1 O x
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D 5. 下列级数中, 绝对收敛的是(
)
A. (1)n cos 1 ; B. (1)n ; C. (1)n ; D. (1)n .
n1
20 10
高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1(下)一、选择题(3分×10)1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=().A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k,b=2i+j,则有().A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是().A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是().A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是().A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny,则∂z/∂y|(π/4,3/4)=().A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛,则().A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为().A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是().A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为().A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题(4分×5)1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB,其中点B(2,-1,1),则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1,则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题(5分×6)4.1.设z=esinv,而u=xy,v=x+y,求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定,求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2,求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2),其中f(u)在u=1处可导,求∂z/∂x|P,其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y),求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微,且f(0,0)=0,证明:∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有()个实根。
1314高等数学B(二)试题答案 济南大学

Fy z xz z y Fz e xy
3. 求过点 (3, –1 , 2) ,且 垂直于直线
已知直线的方向向量可取为 解: 得
s n1 n2
x y z 1 0 的平面方程. 2 x y z 4 0
(0, 3, 3)
所以所求的切平面方程为
二.选择题(每小题2分,本大题满分10分) 1. 设平面 的方程为 4 x 2 y 2 z 3 , x3 y4 z 则( 直线L的方程为 2 7 3
D)
(A) L与 垂直, (B)L与 相交但不垂直,
(C ) L在内, (D) L与 平行但不在内.
分析:Байду номын сангаас
4 (- 2) (2) (7) (2) 3 0, 所以平面与直线平行. 又直线上的点 (3 , 4 , 0)不在平面上
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,则称函数
A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
展开成x的幂级数,
1 1 x ( 解: f ( x ) ) 1 x 2 1 x 1 ( ) 1 x (1 x) 2 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x) 2 2 (1 x) (1 x) (1 x) 2
(1 x) 2 (1 x) (1 x) 2 1 2 2 2 2 2 2x (1 x) 2(1 x ) 1 x
B
) B. g(y)在y0取得极大值
1011高等数学B(二)试题答案 济南大学

O
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
P18
图形
2 2 f ( x y )dy 化为极坐标形式的 4. 0 x 1011B 二次积分_____________. y 3x 2 y 0r cos 解: 积分域如图. D : y x
济南大学1011高等数学B(二)参考解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1. z xe 解:
x y
( x 1)ln(1 y),
d e xe ln(1 y ), x (1,0) x
x 1 z x y , xe 1 y y
z e 2, y (1,0)
2.
求旋转抛物面 z x y 1 在点 (2,1, 4)
2 2
处的法线方程________.
解:
: z f ( x, y) x y 1
2 2
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
1、求过点M1 (1,2,1), M 2 (2,3,1)且和平面x y z 1 0垂直 的平面方程
2、一般式: 解:设所求平面方程为 Ax By Cz D 0
A 2B C D 0 则 2 A 3B C D 0 ( A, B , C ) (1,1,1) 0
2
3
三、求偏导数(每小题10分,共20分)
1 1 2 x ( f11 x f12 ) x ( f 2 1 x f 22 ) x x 5 3 xf 22 x f11 2x f12
1112高等数学B(二)试题答案济南大学

2. 设D为x2 y2 a2 ,
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解:被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面,半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
a b _____.
解.
a 与 b 的夹角为0,
a 1, b 1
a b a b cos 1
二.选择题(每小题2分,共10分)
1. 设平面方程为Bx Cz D 0 且. B , C , D 0
则 平面( B ).
(A) 平行于x轴. (C) 经过y轴.
1. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z2 2z
确定的隐函数,
求
z x
,
2z x 2
.
方法二: 将z看作x,y的二元函数,方程两边对x求导
2x 2z z 2 z , z x ,
x x x 1 z
z z
x z , 方程两边对x求导
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
二次积分___0 ____y ______.
y yx
(1,1)
大一下学期高等数学考试题及答案

大一下学期高等数学考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 极限的定义中,当自变量趋近于某一点时,函数值趋近于某一个确定的数值,这个确定的数值称为该点处函数的()。
A. 极限值B. 导数值C. 积分值D. 定积分值答案:A2. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为()。
A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 2x^2+3x答案:A3. 曲线y=x^3-3x+2的拐点是()。
A. (1,0)B. (-1,-2)C. (0,2)D. (2,8)答案:A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, 2π]上的定积分为()。
A. 0B. 2C. -2D. 4答案:A5. 以下哪个函数是奇函数()。
A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=cos(x)D. f(x)=sin(x)答案:B二、填空题(每题4分,共20分)6. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
答案:27. 曲线y=e^x在点(0,1)处的切线斜率为______。
答案:18. 函数f(x)=ln(x)的不定积分为______。
答案:x*ln(x)-x+C9. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案:6x10. 曲线y=x^2-4x+5与x轴的交点个数为______。
答案:0三、计算题(每题10分,共30分)11. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。
答案:112. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2-2x+1) dx。
答案:(1/3)x^3 - x^2 + x | from 0 to 1 = 1/3 - 1 + 1 = 1/313. 求函数f(x)=x^2-6x+8的极值点。
答案:极小值点为x=3,极大值点不存在。
四、证明题(每题10分,共10分)14. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。
答案:略五、应用题(每题10分,共10分)15. 一个物体从高度为100米的塔上自由落下,求物体落地时的速度。
济南大学高等数学下历年考题答案共111页文档

36、“不可能”这个字(法语是一个字 ),只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气,不要看破要突 破,不 要嫉妒 要欣赏 ,不要 托延要 积极, 不要心 动要行 动。 38、勤奋,机会,乐观是成功的三要 素。(注 意:传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素,但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出,乐 观老的誓言,没有不变的承 诺,踏 上旅途 ,义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人, 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做,明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生,以及整个命运 的,只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
济南大学高数试题及答案

济南大学高数试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C2. 极限lim(x→0) (x^2+1)/(x^2+x)的值为()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B3. 函数y=x^3-3x+2的导数为()。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+3答案:A4. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为()。
A. 2B. 4C. -2D. -4答案:B5. 函数y=e^x的不定积分为()。
A. e^x+CB. e^(-x)+CC. -e^x+CD. -e^(-x)+C答案:A6. 函数y=ln(x)的二阶导数为()。
A. 1/xB. 1/x^2C. -1/xD. -1/x^2答案:B7. 函数y=x^2+3x+2在x=1处的极值为()。
A. 6B. 5C. 4D. 3答案:B8. 函数y=x^3-6x^2+11x-6的拐点个数为()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C9. 函数y=x^4-4x^2+4的最小值为()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:A10. 曲线y=x^3-3x+2与直线y=2相切的切点个数为()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数f(x)=x^3-3x的零点为_______。
答案:±√312. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x)的值为_______。
答案:013. 函数y=x^2-4x+3的极小值为_______。
答案:-114. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的法线方程为_______。
答案:y=-x+115. 函数y=e^x的二阶导数为_______。
答案:e^x三、计算题(每题10分,共40分)16. 求极限lim(x→0) (sin(x)-x)/x^3。
1617高等数学A(二)部分试题答案 济南大学20180614

d
2 ( y)
1( y)
f ( x, y ) d x
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n 1 n 1 2 n 2n
( 1)
n 1
n 1 n
2
n
收敛, 因此
( 1)
n 1
n 1
n 绝对收敛. n 2
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故原级数收敛且绝对收敛.
5. 求幂级数
知识点:收敛半径和收敛域 解: lim u n 1 ( x) lim n u n ( x) n
1 lim sin 2 n n
1 1 lim 2 2 n n n
1 2 1 n
原级数收敛 .
1 ( 1) n1 发散 , 收敛 , n n 1 n n 1
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1 当 p 1时 ,收敛 p n n 0 当 p 1时 ,发散
三重积分计算 先一后二,先二后一
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1.
D f ( x, y ) d
d x
a b
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
D
2 ( x)
1 ( x )
f ( x , y ) d y d y
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三、计算题(每小题5分,共30分)
u
1. 设 z e cos v , u x + y , v xy , z z v 解: 教材P81 x v x
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应用格林公)dxdy
D
-18
3、计算曲面积分 I x2dydz y2dzdx (z x)dxdy
,其中 为抛物面
z
x2
y2
(0
z
1) 取下侧.
解:曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
1
补充1 : z 1 ( x2 y2 1) (上侧)
2z y 2
x2
sin
y
3计算题:求微分方程 y ln xdx x ln ydy 0
满足初始条件 y |x1 e 的特解.
分离变量 ln x dx ln y dy
x
y
积分 ln xd(ln x) ln yd(ln y)
即
(ln y)2 (ln x)2
C
2
2
将y |x1 e代入上式, C 1
n0
n0
故收敛域为(-1,1)
s( x) (n 1)xn ( x n1 ) ( x n1 )
n0
n0
n0
(x 1 x
)
1 (1 x)2
1 (x 6y)dxdy ,其中 D是由 y x ,y 5x 和 x 1
D
所围成的闭区域.
y 5x
1
5x
0 dx x ( x 6 y)dy
围
1
成
空
间
区
域
. 在上 使 用 高 斯 公 式,
x2dydz y2dzdx (z x)dxdy (2x 2 y 1)dv
1
(由对称性)2 xdv 2 ydv 0
上式
dv
2
d
0
1
rdr
1 dz 1
0
r2
2
3、计算曲面积分 I x2dydz y2dzdx (z x)dxdy
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
[
e
1 x
dx
dx
C
]e
1 x
dx
[
1 dx C]x
x
x ln x Cx
1 z arctan y x
,求 z , z x y
2、
e z xyz 0 ,求
z , z x y
Fy xz
z y
Fy Fz
ez
P( x) 2 Q( x) x2e2x
y e P( x)dx[C Q( x)e P( x)dxdx]
即y 2 y x2e2x 一阶线性微分方程
P( x) 2 Q( x) x2e2x
y e 2dx[C x2e2xe 2dxdx]
e2x[C x2dx]
e 2 x [C
x3 ]
1
[1 2 y sin
3(
)2
y2 ]dy
0
0
22
2
4
3. x3dydz y3dzdx zdxd,y 其中 是圆柱体:x2 y 2 9,0 z 3 的整个表面的外侧.
解 记所围成的空间区域为
利用高斯公式
x3dydz y3dzdx zdxdy (3x2 3 y2 1)dxdydz
,1)
2
2
L1 : y 0, x [0, 2 ]
L2 : x 2 , y [0,1]
(2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 y2 )dy L
(2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 y2 )dy
L1 L2
2 0dx
,其中 为抛物面
y x
0
1
2. (2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 y2 )dy ,其中 L L
是抛物线
2x
y 2上从点 (0, 0) 到点
( 2
,1)
的一段弧.
解
Q x
2 y cos x 6xy2
P y
积分与路径无关
选取积分
路
径O(0,0)
L1
A(
L2
,0) B(
2
特解为 (ln y)2 (ln x)2 1
4. 求幂级数 (n 1)x n 的收敛域及和函数.
n0
解
an n 1
lim an1
n an
lim n 2 1
n n 1
R 1 故收敛区间为(-1,1)
当x -1时, 级数为 (-1)n(n 1),
发散;
当x 1时, 级数为 (n 1), 发散
xz ,
xy
3、已知 z f (xy, x 2 y 2 ) ,求 z z
x y
解:
Z x f1y 2 xf 2
Z y f1x 2 yf2
教材章9.4节课后习题8是类似的题
四、计算下列积分(每小题10分,共30分)
1、 ydxdy,其中D是由直线 y x, y x 1, y 0及y 1
3
济南大学2010~2011学年第二学期课程考试试卷(A卷) 高等数学A(二)
2
4
y c1e x c2e 2x
r2 r 2 0
2
当 x是 f ( x)的间断点时,
f (x ) f (x )
收敛于
2
;
2
CH10微分方程与差分方程
B
A
y' 1 y 1 x
B CH10微分方程与差分方程
D
B
D
y
所围成的平面区域.
解:
1
y1
ydxdy dy ydx
0
y
D
1
1
0 y( y 1 y)dy
0
x
1 2
2、设L 为取正向的圆周 x 2 y 2 9 ,计算曲线积分
(2xy 2 y)dx (x2 4x)dy L
解:记L所围成的封闭区域为D
P 2x 2 y
Q 2x 4 x
济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷(A卷) 高等数学A(二)
0
r2 1 0 r i
C1 cos x C2 sin x
3
64
当 x为端点x 时,
f ( ) f ( )
1
收敛于
2
.
2
C
B
A
A
B
1、
z x
2x sin
y
2z
xy 2x cos y
z x2 cos y y
y( x) -2e2x f ( x, x) e2x[ f x ( x, x) f x ( x, x)]
由fu (u, v) fv (u, v) uv 得f x ( x, x) f x ( x, x) x2
y( x) -2e2x f ( x, x) x2e2x 即y 2 y x2e2x 一阶线性微分方程
(柱面坐标)
2
d
3
rdr
( 3 3r 2 1)dz
0
0
0
五、应用题(10分)设 f (u, v) 具有连续偏导数,且满足
fu (u, v) fv (u, v) u.v求 y(x) e2x f (x, x)
所满足的一阶微分方程,并求其通解.
解 等式y( x) e2x f ( x, x)两边关于x求导,