3.2 简单的三角恒等变换 课件

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第三章 三角恒等变换
2．半角公式
在公式 cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1 中用α2代替 α，得 cos
α＝1－2sin2α2＝__2_co_s_2_α2_－__1__.sinα2＝
1－cos α _±________2_____.cosα2
1＋cos α ＝__±________2______.tanα2＝±
目 录/contents
第三章 三角恒等变换
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
第三章 三角恒等变换
跟踪训练
1．已知 sin 2α＝－1123，π<2α<32π，求 sin α，cos α.
解：因为 sin 2α＝－1123，π<2α<32π，
所以 cos 2α＝－ 1－sin22α＝ －
因为 π<2α<32π，所以π2<α<34π， 故 cos α<0，sin α>0.
1－－11232＝－153.
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第三章 三角恒等变换
(1)由 f(α)＝1，则 sin(2α＋π3)＋1＝1， ∴sin(2α＋π3)＝0，得 2α＋π3＝kπ，α＝k2π－π6(k∈Z)． 又∵α∈(0，π)，∴α＝π3或56π. (2)由 f(x)单调递增， 得 2x＋π3∈[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为[－51π2＋kπ，1π2＋kπ](k∈Z)．
x＋ x
23cos
2x
sin2cos2
＝12sin
2x＋
3 2 cos
2x＝sin(2x＋π3)．
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第三章 三角恒等变换
题型三 三角恒等式的证明
例3
求证： 1cαo－s2αtanα2＝14sin 2α.
tan2
【证明】
法一：左边＝ cos2α αα
cos2－sin2 αα
sin2 cos2
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第三章 三角恒等变换
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
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第三章 三角恒等变换
跟踪训练
2．化简12sin2x( 1 x－tanx2)＋ 23cos 2x. tan2 xx
解：原式＝12sin2x(cosx2－sin2x)＋ 23cos 2x sin2 cos2
＝12sin2x
cos2 ·
x2－sin2x2＋ xx
23cos
2x＝sin2x·csions
α＋tan α－tan
ββ＝ssiinnαα－＋ββ.
证明：(1)左边＝sin θ·2cos2θ＝(2sin θcos θ)cos θ＝sin 2θcos
θ＝右边．∴原等式成立．
(2)右
边＝
sin sin
αcos αcos
β＋cos β－cos
αsin αsin
β，分子、分母同除以 β
cos
α.cos
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第三章 三角恒等变换
(4)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan α＋tan β
(5)tan(α＋β)＝___1_－__ta_n__α_t_a_n_β______； tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ；
2tan α (6)tan 2α＝____1__－__ta_n_2_α________.
cos2α α－1－cos
＝cos2αsin α 2cos α
α
sin α
sin α
＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．
∴原式成立．
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第三章 三角恒等变换
法三：左边＝c1o－s2αtatann2α2α2＝12cos2α·1－2tatannα22α2 ＝12cos2α·tan α＝12cos αsin α ＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．
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第三章 三角恒等变换
【名师点评】 法一是基本方法，切化弦的思路，“变形”． 法二是巧妙利用正切半角公式，“角变”． 法三是先通分构造正切的二倍角公式，再化简、证明．
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第三章 三角恒等变换
跟踪训练
3．证明：
(1)sin θ(1＋cos 2θ)＝sin 2θcos θ；
tan (2)tan
1－cos α 1＋cos α.
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第三章 三角恒等变换
想一想 sin 15°＝±
1－cos 2
30°对吗？
提示：不对．
做一做 若 cos x＝79，且 270°<x<360°，则 cosx2＝________. 解析：∵270°<x<360°，∴135°<x2<180°，∴cosx2＝
－
1＋cos 2
＝12－12[cos(2α－60°)＋cos(2α＋60°)－cos 2α]
＝12－12(2cos 2αcos 60°－cos 2α师点评】 解决三角问题时，要注意“三看”： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化； (2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把 所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切； (3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足直接使 用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
第三章 三角恒等变换
3．2 简单的三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标 和差公式 ―理―解→ 二倍角公式 ―掌―握→ 化简、求值或证明 重点难点 重点：运用和差的正余弦公式进行相关计算 及化简、证明． 难点：运用半角公式求值．
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第三章 三角恒等变换
新知初探思维启动
1．和、差角公式及倍角公式 (1)sin(α＋β)＝____s_i_n_α_c_o_s__β_＋__co_s__α_s_in__β____； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (2)sin 2α＝__2_s_i_n_α__co_s__α_______； (3)cos(α＋β)＝___c_o_s_α_c_o_s__β_－__si_n__α_si_n__β___； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
＝
cos2α
＝cos2α·sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2
cos2α2－sin2α2 cos2α2－sin2α2
cos α
sinα2cosα2
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第三章 三角恒等变换
＝sinα2cosα2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．
∴原式成立．
法二：左边＝1＋cos
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第三章 三角恒等变换
(2)∵f(α)＝2，即 2sin(2α＋π6)＋1＝2， ∴sin(2α＋π6)＝12，8 分 ∴π6＋2α＝π6＋2kπ 或 2α＋π6＝56π＋2kπ(k∈Z)， 10 分 ∵α∈[π4，π2 ， 3 ∴2α＋π6∈[23π，76π]， ∴2α＋π6＝56π，解得 α＝π3.12 分
°＋ 20°
3sin 10°－2cos 40°
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第三章 三角恒等变换
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos
20°sin
40°－2sin sin 20°
20°cos
40°＝2ssiinn2200°°＝2.
(2)原式＝1－cos22α－60°＋1－cos22α＋60°－1－c2os 2α
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第三章 三角恒等变换
所以 sin α＝
1－cos 2
2α＝
cos α＝ －
1＋cos 2
2α＝
－
＝－ 143＝－2 1313.
1＋2153＝
193＝3 1313，
1－153 2
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第三章 三角恒等变换
题型二 三角函数式的化简问题
例2
化简：(1)tcaons
10°＋ 20°
3sin 10°tan 70°－2cos 40°；
tanα2＝csionsα2α2＝－2 5555＝－2.
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第三章 三角恒等变换
【名师点评】 已知三角函数式的值，求其他三角函数 式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
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第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
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第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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第三章 三角恒等变换
跟踪训练
4．已知函数 f(x)＝2cos2(x＋1π2)＋sin 2x. (1)若 f(α)＝1，α∈(0，π)，求 α 的值； (2)求 f(x)的单调增区间． 解：f(x)＝2cos2(x＋1π2)＋sin 2x ＝1＋cos(2x＋π6)＋sin 2x＝1＋cos 2xcosπ6－sin 2xsinπ6＋ sin 2x＝1＋ 23cos 2x＋12sin 2x＝sin(2x＋π3)＋1.
x＝－
1＋2 79＝－2
3
2 .
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第三章 三角恒等变换
答案：－2 3 2 3．辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 tan φ＝ba)．
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第三章 三角恒等变换
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 三角函数式的求值 例1 已知 cos α＝－35，180°<α<270°，求 sinα2，
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第三章 三角恒等变换
【解】 (1)∵f(x)＝cos2x－sin2x＋2 3sin xcos x＋1， ∴f(x)＝cos 2x＋ 3sin 2x＋1 ＝2sin(2x＋π6)＋ 1 4 分 ∴f(x)的最小正周期 T＝22π＝π. 当 sin(2x＋π6)＝－1，即 2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)， 所以当 x＝－π3＋kπ(k∈Z)时， 2 函数 f(x)min＝－1.6 分
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第三章 三角恒等变换
抓关键 促规范 1 正确求解 f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1 是解题关键，否则只能得 1～2 分． 2 由 f(x)求最小值时，易忽视 x 的取值范围． 3 对于第(2)问的解答，易对角 α 的范围忽视而直接导致最 后结果错误，此种错误实际考试中至多得 10 分．
(2)sin2(α－30°)＋sin2(α＋30°)－sin2α.
【解】
(1)原式＝cos 2si0n°c2o0s°10°＋
3sin 10°sin cos 70°
70°－2cos
40°
＝cos
20°cos
10°＋ sin
3sin 20°
10°cos
20°－2cos
40°
＝cos
20°cos 10 sin
cosα2，tanα2的值． 【解】 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°， 即α2是第二象限角．
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第三章 三角恒等变换
∴sinα2>0，cosα2<0，tanα2<0.
∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
1－2－35＝25 5，
cosα2＝ －
1＋cos 2
α＝
－
1－2 35＝－ 55，
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第三章 三角恒等变换
精彩推荐典例展示
规范解答 与三角函数性质有关问题的求解 例4 (本题满分 12 分)若函数 f(x)＝cos2x－sin2x＋2 3sin
xcos x＋1. (1)求 f(x)的最小正周期及 f(x)的最小值； (2)若 f(α)＝2，且 α∈[π4，π2]，求 α 的值．
β，得右边＝ttaann
α＋tan α－tan
β＝左边．∴原等式成立． β
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第三章 三角恒等变换
方法感悟
1．半角公式给出了求α2 的正弦、余弦、正切的另一方 式，即只需知道 cos α 的值及相应 α 的条件，sinα2，cosα2， tanα2便可求出．
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第三章 三角恒等变换
2．利用三角公式进行化简时，应从以下几个方向进行： (1)切化弦：当待化简式中既含弦又含切时，“切化弦”可 以减少三角函数名称； (2)正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应 选用升幂公式去根号；含有高次项时，应选用降幂公式减 少运算量，注意隐含条件中角的范围； (3)角的变换：找出已知角与未知角的关系，运用常见角的 变换，消除角的差异．