2019-2020学年江苏省南京市栖霞区、雨花区、江宁区八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)

2019-2020学年江苏省南京市栖霞区、雨花区、江宁区八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．下列图案中，不是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
2．下列说法正确的是()
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
3．下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是()
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB DE
∠=∠，再添加一个
=，A EDF
条件，可使ABC DEF
∆≅∆，下列条件不符合的是()
A．B E
∠=∠B．//
=D．AD DC
=
BC EF C．AD CF
5．如图，用直尺和圆规作出AOB
∠的角平分线OC的依据是()
A．()
AAS
ASA D．()
SAS C．()
SSS B．()
6．在如图的方格中，ABC ∆的顶点A 、B 、C 都是方格线的交点，则三角形ABC 的外角ACD ∠的度数等于( )
A ．130︒
B ．135︒
C ．140︒
D ．145︒
7．如图，AB CD ⊥，且AB CD =．E 、F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥．若CE a =，BF b =，EF c =，则AD 的长为( )
A ．a c +
B ．b c +
C ．a b c -+
D ．a b c +-
8．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是( )
①ABE ∆的面积BCE =∆的面积；②AFG AGF ∠=∠；③2FAG ACF ∠=∠；④BH CH =．
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②④
D ．①③
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的度数是 ︒．
10．等边三角形的两条中线相交所构成的锐角等于 度．
11．如图，ABC DEC ∆≅∆，CA 和CD ，CB 和CE 是对应边，28ACD ∠=︒，则BCE ∠= ︒．
12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若6AD cm =，3CD cm =，则图中阴影部分的面积是 2cm ．
13．如图， 在ABC ∆中，AC 的垂直平分线分别交BC 、AC 于点D 、E ，若10AB cm =，
18BC cm =，则ABD ∆的周长为 cm ．
14．如图，点P 为等边三角形ABC 的边BC 上一点，且80APD ∠=︒，AD AP =，则DPC ∠= ．
15．在ABC ∆中，将B ∠、C ∠按如图所示方式折叠，点B 、C 均落于边BC 上一点G 处，线段MN 、EF 为折痕．若82A ∠=︒，则MGE ∠= ︒．
16．如图，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点，点B '落在边AC 上，连接A B '，若45ACB ∠=︒，3AC =，2BC =，则2A B '= ．
17．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒．以AB 长为一边作ABD ∆，且AD BD =，90ADB ∠=︒，取AB 中点E ，连DE 、CE 、CD ．则EDC ∠= ︒．
18．如图，在等腰ABC ∆中，10AB AC ==，高8BD =，AE 平分BAC ∠，则ABE ∆的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．如图，AD 、BC 交于点O ，AC BD =，BC AD =．
求证：C D ∠=∠．
20．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，求证：AD 垂直平分EF ．
21．如图，已知ABC ∆，请用直尺和圆规以C 为一个公共顶点作CDE ∆，使CDE ∆与ABC ∆全等，则全等的依据是 ．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥，垂足为P ，EP 交AB 于点F ，//FD AC 交BC 于点D ．求证：AEF ∆是等腰三角形．
23．如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
24．如图，求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形．
25．已知，如图，AB AC
=，BE与CD相交于点P．
=，AD AE
（1）求证：PC PB
=；
（2）求证：CAP BAP
∠=∠；
（3）由（2）的结论，你能设计一种画角的平分线的方法吗？
26．在Rt ABC
=，AB c
=．将Rt ABC
∆绕点O依次旋转
=，AC b
∠=︒，BC a
∆中，90
ACB
90︒、180︒和270︒，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明222
+，并说明等号成立的条件；
a b ab
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．下列图案中，不是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列说法正确的是()
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，
故B正确；
C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．
故选：B．
3．下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是()
A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．3，4，5
D ．4，5，6 解：A 、222123+≠，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B 、222234+≠，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C 、222345+=，能构成直角三角形，故此选项正确；
D 、222456+≠，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：C ．
4．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB DE =，A EDF ∠=∠，再添加一个条件，可使ABC DEF ∆≅∆，下列条件不符合的是( )
A ．
B E ∠=∠
B ．//B
C EF C ．A
D CF = D ．AD DC = 解：AB D
E =，A ED
F ∠=∠，
∴若B E ∠=∠，则依据“ASA ”可判定ABC DEF ∆≅∆；
若//BC EF ，则BCA F ∠=∠，依据“AAS ”可判定ABC DEF ∆≅∆； 若AD CF =，即AC DF =，则依据“SAS ”可判定ABC DEF ∆≅∆； 故选：D ．
5．如图，用直尺和圆规作出AOB ∠的角平分线OC 的依据是( )
A ．()SSS
B ．()SAS
C ．()ASA
D ．()AAS 解：由作图知：OB OA =，BC AC =，OC OC =（公共边），即三边分别对应相等()SSS ，OBC OAC ∆≅∆，
故选：A ．
6．在如图的方格中，ABC ∆的顶点A 、B 、C 都是方格线的交点，则三角形ABC 的外角ACD ∠的度数等于( )
A ．130︒
B ．135︒
C ．140︒
D ．145︒ 解：222125AB =+=，222125BC =+=，2221310AC =+=，
222AC AB BC ∴=+，
ABC ∴∆是等腰直角三角形，
ACD ∠是ABC ∆的外角，
4590135ACD A B ∴∠=∠+∠=︒+=︒．
故选：B ．
7．如图，AB CD ⊥，且AB CD =．E 、F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥．若CE a =，BF b =，EF c =，则AD 的长为( )
A ．a c +
B ．b c +
C ．a b c -+
D ．a b c +- 解：AB CD ⊥，C
E AD ⊥，B
F AD ⊥，
90AFB CED ∴∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠+∠=︒，
A C ∴∠=∠，A
B CD =，
ABF CDE ∴∆≅∆，
AF CE a ∴==，BF DE b ==，
EF c =，
()AD AF DF a b c a b c ∴=+=+-=+-，
故选：D ．
8．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是( )
①ABE ∆的面积BCE =∆的面积；②AFG AGF ∠=∠；③2FAG ACF ∠=∠；④BH CH =．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③解：BE是中线，
∴=，
AE CE
∴∆的面积BCE
ABE
=∆的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；CF是角平分线，
∴∠=∠，
ACF BCF
AD为高，
ADC
∴∠=︒，
90
∠=︒，
BAC
90
ACB CAD
∠+∠=︒，
∴∠+∠=︒，90
90
ABC ACB
∴∠=∠，
ABC CAD
∠=∠+∠，
AFG ABC BCF
∠=∠+∠，AGF CAD ACF
∴∠=∠，故②正确；
AFG AGF
AD为高，
∴∠=︒，
90
ADB
∠=︒，
BAC
90
∠+∠=︒，
ABC BAD
ABC ACB
90
∴∠+∠=︒，90
∴∠=∠，
ACB BAD
∠的平分线，
CF是ACB
∴∠=∠，
2
ACB ACF
∴∠=∠，
BAD ACF
2
即2
∠=∠，故③正确；
FAG ACF
根据已知条件不能推出HBC HCB
=，故④错误；
∠=∠，即不能推出BH CH
故选：B．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的度数是36︒．
解：设等腰三角形的顶角度数为x，
等腰三角形的底角是顶角的2倍，
∴底角度数为2x，
根据三角形内角和定理得：22180
x x x
++=︒，
解得36
x=︒，
则顶角的度数为36︒．
故答案为：36．
10．等边三角形的两条中线相交所构成的锐角等于60︒度．
解：如图，ABC
∆为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，ABC
∆为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
CE AB
∴⊥，BD平分ABC
∠，
90
OEB
∴∠=︒，
1
30
2
EBO ABC
∠=∠=︒，
60
BOE
∴∠=︒，
故答案为：60．
11．如图，ABC DEC
∆≅∆，CA和CD，CB和CE是对应边，28
ACD
∠=︒，则BCE
∠=28︒．
【解答】证明：ABC DEC ∆≅∆，
ACB DCE ∴∠=∠，
ACB ACE DCE ACE ∴∠-∠=∠-∠，
即28ACD BCE ∠=∠=︒．
故答案是：28．
12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若6AD cm =，3CD cm =，则图中阴影部分的面积是 9 2cm ．
解：ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，
ABC ∴∆是轴对称图形，且直线AD 是对称轴，26BC CD cm ==， CEF ∴∆和BEF ∆的面积相等，
ABD S S ∆∴=阴影，
AB AC =，AD 是BC 边上的高，
BD CD ∴=，
12
ABD ACD ABC S S S ∆∆∆∴==， 6BC cm =，6AD cm =，
211661822
ABC S BC AD cm ∆∴==⨯⨯=， 21829S cm ∴=÷=阴影．
故答案为：9．
13．如图， 在ABC ∆中，AC 的垂直平分线分别交BC 、AC 于点D 、E ，若10AB cm =，
18BC cm =，则ABD ∆的周长为 28 cm ．
解：
DE 垂直平分AC ，
AD CD ∴=，
101828()AB BD AD AB BD DC AB BC cm ∴++=++=+=+=， 即ABD ∆的周长为28cm ，
故答案为： 28 ．
14．如图，点P 为等边三角形ABC 的边BC 上一点，且80APD ∠=︒，AD AP =，则DPC ∠= 20︒ ．
解：在APD ∆中，AP AD =
80APD ADP ∴∠=∠=︒
180808020PAD ∴∠=︒-︒-︒=︒
602040BAP ∴∠=︒-︒=︒
6040100APC B BAP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒
1008020DPC APC APD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为：20︒．
15．在ABC ∆中，将B ∠、C ∠按如图所示方式折叠，点B 、C 均落于边BC 上一点G 处，线段MN 、EF 为折痕．若82A ∠=︒，则MGE ∠= 82 ︒．
解：线段MN 、EF 为折痕，
B MGB ∴∠=∠，
C EGC ∠=∠，
82A ∠=︒，
1808298B C ∴∠+∠=︒-︒=︒，
98MGB EGC B C ∴∠+∠=∠+∠=︒，
1809882MGE ∴∠=︒-=︒，
故答案为：82．
16．如图，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点，点B '落在边AC 上，连接A B '，若45ACB ∠=︒，3AC =，2BC =，则2A B '= 13 ．
解：将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，
3AC A C '∴==，45ACB ACA '∠=∠=︒
90A CB '∴∠=︒
222222313A B BC A C '∴=+'=+=
故答案为：13．
17．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒．以AB 长为一边作ABD ∆，且AD BD =，90ADB ∠=︒，取AB 中点E ，连DE 、CE 、CD ．则EDC ∠= 75 ︒．
解：90ACB ∠=︒，点E 是AB 中点， 12EC EA EB AB ∴===， 30ECA CAB ∴∠=∠=︒，
60CEB ∴∠=︒，
AD BD =，点E 是AB 中点，
DE AB ∴⊥，即90AED ∠=︒，
180906030DEC ∴∠=︒-︒-︒=︒，
90ADB ∠=︒，点E 是AB 中点，
12
DE AB ∴=， ED EC ∴=，
75EDC ∴∠=︒，
故答案为：75．
18．如图，在等腰ABC ∆中，10AB AC ==，高8BD =，AE 平分BAC ∠，则ABE ∆的面积为 15 ．
解：连接CE ，AE 平分BAC ∠，
BAE CAE ∴∠=∠，
AB AC =，AE AE =，
()ABE ACE SAS ∴∆≅∆，
BE CE ∴=，ABE ACE S S ∆∆=，
在ABC ∆中，10AB AC ==，高8BD =，
∴在Rt ADB ∆中，226AD AB BD =-=，
4CD AC AD ∴=-=，
∴1632142
2
ADE
CDE AD DE S S CD DE ∆∆===， 设3ADE S k ∆=，2CDE S k ∆=，
5ABE ACE S S k ∆∆∴==，118682422
ABD S k AD BD ∆==
=⨯⨯=， 3k ∴=， ABE ∴∆的面积为515k =，
故答案为：15．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．如图，AD 、BC 交于点O ，AC BD =，BC AD =．
求证：C D ∠=∠．
【解答】证明：在ABC ∆和BAD ∆中，
AC BD =，BC AD =，AB BA =，
()ABC BAD SSS ∴∆≅∆．
C D ∴∠=∠．
20．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，求证：AD 垂直平分EF ．
【解答】证明：设AD 、EF 的交点为K ， AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，
DE DF ∴=．
DE AB ⊥，DF AC ⊥，
90AED AFD ∴∠=∠=︒，
在Rt ADE ∆和Rt ADF ∆中，
AD AD DE DF =⎧⎨=⎩
， Rt ADE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，
AE AF ∴=． AD 是ABC ∆的角平分线
AD ∴是线段EF 的垂直平分线．
21．如图，已知ABC ∆，请用直尺和圆规以C 为一个公共顶点作CDE ∆，使CDE ∆与ABC ∆全等，则全等的依据是 SAS ．（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，CDE ∆即为所求．
理由：在ACB ∆和CDE ∆中，
CA CD ACB ECD CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACB DCE SAS ∴∆≅∆，
故答案为SAS ．
22．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥，垂足为P ，EP 交AB 于点F ，//FD AC 交BC 于点D ．求证：AEF ∆是等腰三角形．
【解答】证明：//FD AC
PFD E ∴∠=∠，FDB C ∠=∠，
AB AC =
B C ∴∠=∠，
EP BC ⊥，
90E C ∴∠+∠=︒，
90B BFP ∠+∠=︒，
E BFP ∴∠=∠，
BFP AFE ∠=∠，
E AFE ∴∠=∠，
AE AF ∴=即AEF ∆是等腰三角形．
23．如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
【解答】解；在直角ABC ∆中，已知 2.5AB m =，0.7BC m =， 则222.50.7 2.4AC m =-=，
11AC AA CA =+
12CA m ∴=，
在直角△11A B C 中，11AB A B =，且11A B 为斜边，
221111()() 1.5CB A B CA m ∴=-=，
11 1.50.70.8BB CB CB m ∴=-=-=
答：梯足向外移动了0.8m ．
24．如图，求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形．
【解答】已知：在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，且BD CE =， 求证：ABC ∆是等腰三角形．（或)AB AC =
证明：BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，
90BDC CEB ∴∠=∠=︒，
在Rt BDC ∆和Rt CEB ∆中，
BD CE =，BC CB =，
Rt BDC Rt CEB(HL)∴∆≅∆．
DCB EBC ∴∠=∠．
AB AC ∴=，
即ABC ∆是等腰三角形．
25．已知，如图，AB AC =，AD AE =，BE 与CD 相交于点P ．
（1）求证：PC PB =；
（2）求证：CAP BAP ∠=∠；
（3）由（2）的结论，你能设计一种画角的平分线的方法吗？
【解答】（1）证明：在ADC ∆和AEB ∆中，
AE AD EAB DAC AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AEB ADC SAS ∴∆≅∆，
C B ∴∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
AC AE AB AD ∴-=-，
EC DB ∴=，
在EPC ∆和DPB ∆中，
B C EPC DPB DB EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()CEP BDP AAS ∴∆≅∆，
PC PB ∴=；
（2）证明：在ACP ∆和ABP ∆中，
AC AB C B CP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()CAP BAP SAS ∴∆≅∆，
CAP BAP ∴∠=∠；
（3）解：在A ∠的两边上分别截取AC AB =，AE AD =，再连接CD ，BE ，两线交于点P ，再画射线AP 即可．
26．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =．将Rt ABC ∆绕点O 依次旋转90︒、180︒和270︒，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）请利用这个图形说明222a b ab +，并说明等号成立的条件；
（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x ，宽为y 的长方形，其周长为8，求当x ，y 取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）因为边长为c 的正方形面积为2c ， 它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为()a b -的小正方形组成的， 它的面积为22214()2
ab a b a b ⨯+-=+， 所以222c a b =+．
（2）2()0a b -，
2220a b ab ∴+-，
222a b ab ∴+，
当且仅当a b =时，等号成立．
（3）依题意得2()8x y +=，
4x y ∴+=，长方形的面积为xy ，
由（2）的结论知2222()2xy x y x y xy +=+-， 24()xy x y ∴+，
4xy ∴，
当且仅当2x y ==时，长方形的面积最大，最大面积是4．。