第3章 排队模型分析法-1总结
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1951: Kendall published “Some Problems in the Theory of Queues” and in 1953 proposed to use Kendall’s notation 1953-57: Kendall, Lindley, Pollaczek & Khinchin studied M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method
§1.1 排队的概念
排队是日常生活和工作中常见的现象，由
两个方面构成：
要求得到服务——顾客 提供服务——服务员或服务台 顾客与服务台(二者缺一不可)就构成一
个排队系统，或称为随机服务系统。
排队系统的一般表示
顾客源 排队系统 排队结构
排队规则
服务 机构
服务规则
接受服务 后离去
Milestones of Queueing Theory
1909: Erlang published his first paper on queueing theory 1917: Erlang published his famous paper “Solution ….”
1936-47: Palm published “Repairmen in Serving Automatic Machines” Industritidn Norden
排队论所要研究解决的问题(续)
排队论研究排队系统的最优化问题。 最优化问题一般涉及两种类型：
排队系统的最优设计(静态优化)问题。例如，电
话网中的中继电路群数目，分组交换网中的存储空 间大小等，工厂的中间制品仓库大小，医院病床数 量的多少，机场跑道的数量，车站站台数等等。 排队系统的最优控制(动态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目的增加与否，路由转发设 备的升级与否，网络基础设施的改造与否等。
1. 单服务员(台)的排队系统
顾客到达
…
服务员
服务完成离去
2. 多服务员(台)的排队系统
服务员1
一个队列
顾客到达
…
服务员2 … 服务员n
… 服务员1 … 服务员2 服务员n …
服务完成离去
服务完成离去 服务完成离去 服务完成离去 离去
多个队列
顾客到达
… …
…
串联 顾客到达
…
服务员1
服务员2
排队系统的分类
§1.2 排队论所要研究解决的问题
如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会
很长，这样对顾客会带来不良影响； 面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设 施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就 越大，甚至会出现空闲浪费。 如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服 务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间 与服务设施费用大小这对矛盾，就是随机服务系 统理论——排队论所要研究解决的问题。
k! 其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。
其均值为
E( Χ )
Pk P{ Χ k }
k
e
k= 0，1，2 …
方差值为
D( Χ )
泊松分布只需要确定一个参数λ，且事件发生间隔之间服从 负指数分布。
主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似
负指数分布(Exponential distribution)
排队系统的基本组成——服务机构
服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联 2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物) 3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
1)
排队方式
排队系统的基本组成——排队规则
服务是否允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待 的情况下服务的顺序是什么。 1) 损失制 顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构不 允许顾客等待，此时该顾客就自动离去 2) 等待制 顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队 等待服务 a) 先到先服务 b) 后到先服务 c) 随机服务 d) 有优先权服务：强拆型优先权、非强拆型优先权 3) 混合制 损失制与等待制的混合 a) 队长(容量)有限的混合制 b) 等待时间有限的混合制 c) 逗留时间有限的混合制
1
t
概率1取值 1/ μ ，即为 定长分布，因此Ek分布 可以看作随机模型和非 随机模型的中间状态
当k 2时，T T1 T2 而 f1 (t ) e t
则
f 2 (t ) f1 (t ) * f1 (t ) e
2 t t
t du ( t ) e 0
生灭过程
生灭过程的状态转移流图 、福克-普朗克方程 生灭过程的平稳分布 、系统方程
排队系统
流入=流出”
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介
第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第1节 排队论简介
排队论，又称为随机服务系统理论，是在随机过 程基础上发展起来的一门研究资源有限性和需求 随机性的数学方法，通过研究各种服务系统在排 队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和 最优控制。 排 队 论 起 源 于 20 世 纪 初 丹 麦 电 信 工 程 师 A.K. Erlang对电信系统的研究，现已发展成为一门应 用广泛的学科，在电信、交通运输、生产与库存 管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事 作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域， 有着非常重要的应用。
排队系统的基本组成
输入过程
排队规则 服务机构
描述顾客来源及顾客按怎 样的规律抵达。 服务 是 否允 许 排队 ， 顾客 是 否愿 意 排队 。 在排 队 等待 的 情况下 服务的顺序是什么。 服务台的数目 服务时间分布
排队系统的基本组成——输入过程
描述顾客来源及顾客按怎样的规律抵达。 1) 顾客总体数 顾客的来源可能是有限的(例如：公司只有3台 机器时，需要维修的机器数量)，也可能是无限 的(例如：排队等候公共汽车的乘客人数 ) 2) 到达类型 顾客是单个到达，还是成批到达 3) 顾客相继到达间隔时间服从什么概率分布，分布 函数是什么，到达的间隔时间之间是否独立 在排队论中，一般假定顾客到达的间隔时间序列 {n|n1}相互独立、同分布。
定长分布(deterministic distribution)
0, t c f (t ) 1, t c
概率特征：
方差为0
主要应用：
周期性到达事件 定长服务系统（e.g.,
ATM网络）
泊松分布(Poisson distribution)
设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值 的概率为
排队论的发展史
初期(10‘s-40‘s)
主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列排
队系统
中期(40‘s-60’s)
推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域，
主要研究有队列的排队系统和排队网络
近期(60‘s-今)
主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分
析和近似分析，尤其注重对业务突发性和带有各种 网络控制的排队系统的研究
几个经典排队系统的符号表示(1)
M/M/c/：输入过程是泊松流，服务时间服从负 指数分布，有c个服务台平行服务(0<c)，容量 为无穷的等待制系统 M/G/1/：输入过程是泊松流，服务时间独立、 服从一般概率分布，只有1个服务台，容量为无 穷的等待制系统 Ek/G/1/K：相继到达的间隔时间独立、服从k阶 爱尔朗分布，服务时间独立、服从一般概率分布， 只有1个服务台，容量为k(0k<)的混合制系统 D/M/c/K：相继到达的间隔时间独立、服从定长 分布，服务时间独立、服从负指数分布，有c个 服务台平行服务，容量为k(ck<)的混合制系统
( 0为常数)
( 2)
k
1
1、均值 2、方差
E[X ]
D[X ]
k
k 2
3、均方差
4、方差系数
X
k
T1 0
T2
T3
T4
T5
T6 t
T’1
T’2
T’3
简单流：相邻时间发生的时间间隔服从负指数分布，具有 无记忆特性或无后效性、马尔可夫性。 在简单流中每隔(k-1)个“点”的“点”组成的流叫k阶爱 尔朗分布，记为Ek，有无记忆特性。
几个经典排队系统的符号表示(2)
Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达， 批与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布， 服务时间独立、服从负指数分布，有1个服务台， 容量为无穷的等待制系统 MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
一般地，若随机变量t取具有概率密度函数为
e t f (t ) 0
t0 t0
其中λ>0为常数，则t称服从参数为λ的指数分布，其分布 函数F (t)为： 1 e t t 0 F (t ) t 0 0 其均值为 E ( t )
1
方差值为
D( t )
排队系统的理论基础
随机变量（离散型，连续型）；
概率及概率分布函数、概率密度函数； 数学期望（均值）、方差（偏差）； 概率的归一性（正则规则）； 生灭过程的系统方程。
§1.3 排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的，为简明起 见，在经典的排队系统中，常采用3～6个英文字母 表示一个排队系统，字母之间用斜线隔开。 “Kendall”记号：X / Y/ Z / A / B / C 第一个字母表示顾客相继到达的时间间隔分布 第二个字母表示服务时间的分布类型 第三个字母表示服务台的数目 第四个字母表示系统的容量 第五个字母表示顾客源中的顾客数目 第六个字母表示服务规则(默认为 FCFS)。
1
2
爱尔朗（Erlang）分布
定义 若随机变量X的概率密度函数为
(t ) k 1 t e , f (t ) ( k 1)! 0, t0 t0 ( 0为常数) (1)
则称X服从k阶爱尔朗分布。其分布函数为
i k 1 t ( t ) 1 e , t0 F (t ) i! i 0 0, t0
即
T T1 T2 Tk
T
i 1
k
i
理解：对于k个串联的服务台，每个服务台的服务时间相 互独立，均服从负指数分布，则每个顾客总的服务时间服 从Ek分布。 f(t) 当k=1, Ek为负指数分布， 完全随机；当k足够大 时，Ek分布近似于正态 分布；当k →∞时，X以
20
6 5 4 3 2 k=1
f1 (t u ) f1 (u ) du
( t u ) u e e du 0
t
If k r，T T1 T2 Tr的密度函数为 f r (t ) Then
(t ) r 1
( r 1)!
e wk.baidu.comt
(t 0)
k r 1, T T1 T2 Tr Tr 1的密度函数为 f r 1 (t )
网络分析与测试
顾军 计算机学院网络工程系 jgu@cumt.edu.cn
随机性分析基础
随机变量
概率分布特征
独立/ 增量/ 平稳
随机过程
状态转移特征
高斯、 泊松、 马尔可夫过程 维纳 负指 K步状态转移概率、状态 齐次马氏链、 C-K 数分 转移概率函数、状态转 方程、K氏前进方程、 布 移速度矩阵(Q-矩阵) K氏后退方程
§1.1 排队的概念
排队是日常生活和工作中常见的现象，由
两个方面构成：
要求得到服务——顾客 提供服务——服务员或服务台 顾客与服务台(二者缺一不可)就构成一
个排队系统，或称为随机服务系统。
排队系统的一般表示
顾客源 排队系统 排队结构
排队规则
服务 机构
服务规则
接受服务 后离去
Milestones of Queueing Theory
1909: Erlang published his first paper on queueing theory 1917: Erlang published his famous paper “Solution ….”
1936-47: Palm published “Repairmen in Serving Automatic Machines” Industritidn Norden
排队论所要研究解决的问题(续)
排队论研究排队系统的最优化问题。 最优化问题一般涉及两种类型：
排队系统的最优设计(静态优化)问题。例如，电
话网中的中继电路群数目，分组交换网中的存储空 间大小等，工厂的中间制品仓库大小，医院病床数 量的多少，机场跑道的数量，车站站台数等等。 排队系统的最优控制(动态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目的增加与否，路由转发设 备的升级与否，网络基础设施的改造与否等。
1. 单服务员(台)的排队系统
顾客到达
…
服务员
服务完成离去
2. 多服务员(台)的排队系统
服务员1
一个队列
顾客到达
…
服务员2 … 服务员n
… 服务员1 … 服务员2 服务员n …
服务完成离去
服务完成离去 服务完成离去 服务完成离去 离去
多个队列
顾客到达
… …
…
串联 顾客到达
…
服务员1
服务员2
排队系统的分类
§1.2 排队论所要研究解决的问题
如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会
很长，这样对顾客会带来不良影响； 面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设 施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就 越大，甚至会出现空闲浪费。 如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服 务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间 与服务设施费用大小这对矛盾，就是随机服务系 统理论——排队论所要研究解决的问题。
k! 其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。
其均值为
E( Χ )
Pk P{ Χ k }
k
e
k= 0，1，2 …
方差值为
D( Χ )
泊松分布只需要确定一个参数λ，且事件发生间隔之间服从 负指数分布。
主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似
负指数分布(Exponential distribution)
排队系统的基本组成——服务机构
服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联 2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物) 3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
1)
排队方式
排队系统的基本组成——排队规则
服务是否允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待 的情况下服务的顺序是什么。 1) 损失制 顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构不 允许顾客等待，此时该顾客就自动离去 2) 等待制 顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队 等待服务 a) 先到先服务 b) 后到先服务 c) 随机服务 d) 有优先权服务：强拆型优先权、非强拆型优先权 3) 混合制 损失制与等待制的混合 a) 队长(容量)有限的混合制 b) 等待时间有限的混合制 c) 逗留时间有限的混合制
1
t
概率1取值 1/ μ ，即为 定长分布，因此Ek分布 可以看作随机模型和非 随机模型的中间状态
当k 2时，T T1 T2 而 f1 (t ) e t
则
f 2 (t ) f1 (t ) * f1 (t ) e
2 t t
t du ( t ) e 0
生灭过程
生灭过程的状态转移流图 、福克-普朗克方程 生灭过程的平稳分布 、系统方程
排队系统
流入=流出”
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介
第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第1节 排队论简介
排队论，又称为随机服务系统理论，是在随机过 程基础上发展起来的一门研究资源有限性和需求 随机性的数学方法，通过研究各种服务系统在排 队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和 最优控制。 排 队 论 起 源 于 20 世 纪 初 丹 麦 电 信 工 程 师 A.K. Erlang对电信系统的研究，现已发展成为一门应 用广泛的学科，在电信、交通运输、生产与库存 管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事 作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域， 有着非常重要的应用。
排队系统的基本组成
输入过程
排队规则 服务机构
描述顾客来源及顾客按怎 样的规律抵达。 服务 是 否允 许 排队 ， 顾客 是 否愿 意 排队 。 在排 队 等待 的 情况下 服务的顺序是什么。 服务台的数目 服务时间分布
排队系统的基本组成——输入过程
描述顾客来源及顾客按怎样的规律抵达。 1) 顾客总体数 顾客的来源可能是有限的(例如：公司只有3台 机器时，需要维修的机器数量)，也可能是无限 的(例如：排队等候公共汽车的乘客人数 ) 2) 到达类型 顾客是单个到达，还是成批到达 3) 顾客相继到达间隔时间服从什么概率分布，分布 函数是什么，到达的间隔时间之间是否独立 在排队论中，一般假定顾客到达的间隔时间序列 {n|n1}相互独立、同分布。
定长分布(deterministic distribution)
0, t c f (t ) 1, t c
概率特征：
方差为0
主要应用：
周期性到达事件 定长服务系统（e.g.,
ATM网络）
泊松分布(Poisson distribution)
设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值 的概率为
排队论的发展史
初期(10‘s-40‘s)
主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列排
队系统
中期(40‘s-60’s)
推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域，
主要研究有队列的排队系统和排队网络
近期(60‘s-今)
主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分
析和近似分析，尤其注重对业务突发性和带有各种 网络控制的排队系统的研究
几个经典排队系统的符号表示(1)
M/M/c/：输入过程是泊松流，服务时间服从负 指数分布，有c个服务台平行服务(0<c)，容量 为无穷的等待制系统 M/G/1/：输入过程是泊松流，服务时间独立、 服从一般概率分布，只有1个服务台，容量为无 穷的等待制系统 Ek/G/1/K：相继到达的间隔时间独立、服从k阶 爱尔朗分布，服务时间独立、服从一般概率分布， 只有1个服务台，容量为k(0k<)的混合制系统 D/M/c/K：相继到达的间隔时间独立、服从定长 分布，服务时间独立、服从负指数分布，有c个 服务台平行服务，容量为k(ck<)的混合制系统
( 0为常数)
( 2)
k
1
1、均值 2、方差
E[X ]
D[X ]
k
k 2
3、均方差
4、方差系数
X
k
T1 0
T2
T3
T4
T5
T6 t
T’1
T’2
T’3
简单流：相邻时间发生的时间间隔服从负指数分布，具有 无记忆特性或无后效性、马尔可夫性。 在简单流中每隔(k-1)个“点”的“点”组成的流叫k阶爱 尔朗分布，记为Ek，有无记忆特性。
几个经典排队系统的符号表示(2)
Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达， 批与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布， 服务时间独立、服从负指数分布，有1个服务台， 容量为无穷的等待制系统 MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
一般地，若随机变量t取具有概率密度函数为
e t f (t ) 0
t0 t0
其中λ>0为常数，则t称服从参数为λ的指数分布，其分布 函数F (t)为： 1 e t t 0 F (t ) t 0 0 其均值为 E ( t )
1
方差值为
D( t )
排队系统的理论基础
随机变量（离散型，连续型）；
概率及概率分布函数、概率密度函数； 数学期望（均值）、方差（偏差）； 概率的归一性（正则规则）； 生灭过程的系统方程。
§1.3 排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的，为简明起 见，在经典的排队系统中，常采用3～6个英文字母 表示一个排队系统，字母之间用斜线隔开。 “Kendall”记号：X / Y/ Z / A / B / C 第一个字母表示顾客相继到达的时间间隔分布 第二个字母表示服务时间的分布类型 第三个字母表示服务台的数目 第四个字母表示系统的容量 第五个字母表示顾客源中的顾客数目 第六个字母表示服务规则(默认为 FCFS)。
1
2
爱尔朗（Erlang）分布
定义 若随机变量X的概率密度函数为
(t ) k 1 t e , f (t ) ( k 1)! 0, t0 t0 ( 0为常数) (1)
则称X服从k阶爱尔朗分布。其分布函数为
i k 1 t ( t ) 1 e , t0 F (t ) i! i 0 0, t0
即
T T1 T2 Tk
T
i 1
k
i
理解：对于k个串联的服务台，每个服务台的服务时间相 互独立，均服从负指数分布，则每个顾客总的服务时间服 从Ek分布。 f(t) 当k=1, Ek为负指数分布， 完全随机；当k足够大 时，Ek分布近似于正态 分布；当k →∞时，X以
20
6 5 4 3 2 k=1
f1 (t u ) f1 (u ) du
( t u ) u e e du 0
t
If k r，T T1 T2 Tr的密度函数为 f r (t ) Then
(t ) r 1
( r 1)!
e wk.baidu.comt
(t 0)
k r 1, T T1 T2 Tr Tr 1的密度函数为 f r 1 (t )
网络分析与测试
顾军 计算机学院网络工程系 jgu@cumt.edu.cn
随机性分析基础
随机变量
概率分布特征
独立/ 增量/ 平稳
随机过程
状态转移特征
高斯、 泊松、 马尔可夫过程 维纳 负指 K步状态转移概率、状态 齐次马氏链、 C-K 数分 转移概率函数、状态转 方程、K氏前进方程、 布 移速度矩阵(Q-矩阵) K氏后退方程