第2讲 角平分线的性质与判定

于点 F.
⑴请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系，并说明理由；
B
⑵求证：AE＋CD＝AC.
EFD
A
C
演练巩固·反馈提高
01．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，若 CD＝n，AB＝m，则△
ABD 的面积是（ ）
1
A． mn
3
1
B． mn
2
C． mn
D．2 mn
则 D 到 AB 边的距离为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
03．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点 P 从 A 向 B 运动.已
知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP 的长
__________
AE
为 x(cm)，那么 x 的范围是
B
A
B
l1
C
平行线 AB、CD 间的距离等于__________
06．如图，AD 平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为 P，EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G.求
1
证：∠G＝ (∠ACB－∠B)
A
2
E B
P F
D
CG
07．如图,在△ABC 中,AB＞AC,AD 是∠BAC 的平分线,P 为 AC 上任意一点.求证:AB－AC＞
AD.求证：PM＝PN
【解法指导】由于 PM⊥BD，PN⊥AD.欲证 PM＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠
3 和∠4 所在的△OBD 与△OAD 全等即可.
证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2
OB OA 在△OBD 与△OAD 中， 1 2
OD OD
∴△OBD≌△OAD
B
M
3
D
1
＝ BD
2
【解法指导】由于 BE 平分∠ABC，因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而构
造全等三角形.
证明：延长 CE 交 BA 的延长线于 F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC
1
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝ CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，
的是（ ）
A． ①③
B．②③ A
C．①②
B
A
D．①②③ E
R
P
A
B
A
DC
E
A
D 第2题图
P
E
Q SC B
D
第3题图
பைடு நூலகம்
第4题图
F CC B
第5题图
04．如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， B 第1题图 C 垂足分别是 E、F，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到 B、C 的距
A MP
DN
B
C
【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于点 E，
1
且 AE＝ (AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B 的度数
2
【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作 CF⊥AD 于 F，得 CE＝CF，AF＝
1
AE，又由 AE＝ (AB＋AD)得 DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.
到 BC、AC 和 AB 的垂线 QM、QN 和 QK，垂足分别为 M、N、K，则 QM、QN、QK 的关
系是_________
11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DB＝DC.求证：BE＝CF
E
D B
A
F
C
K
A Q
N 第10题图C M
12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.求证：AD⊥ EF.
A
E B
O F
D
C
培优升级·奥赛检测
01．如图，直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
02．已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC＝32，且 BD:CD＝9:7，
D
P
F
E
O
l2 l3 A
第1题图
P
第3题图
C GD
第4题图
B
C 第5题图 D
04．如图，已知 AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为 E、F、G，且 PF＝PG＝
PE，则∠BPD＝__________
05．如图，已知 AB∥CD，O 为∠CAB、∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC，且 OE＝2，则两
A．50°
B．45°
C．40°
D．35°
06．如图，P 是△ABC 内一点，PD⊥AB 于 D，PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F，且 PD＝PE＝PF，
给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点 P 是△ABC
三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
第 2 讲 角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.
经典·考题·赏析
【例１】如图，已知 OD 平分∠AOB，在 OA、OB 边上截取 OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥
02．如图，已知 AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE 平分∠
BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1
B．2
C．3
D．4
03．如图，在△ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是 R、
S.若 AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确
2
或者在 AE 上截取 AM＝AD 从而构造全等三角形.
D
解：过点 C 作 CF⊥AD 于点 F.∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，点 C 是 AC 上一点，
∴CE＝CF
CF CE
在
Rt△CFA
和
Rt△CEA
中，
AC
AC
A ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE
1
又∵AE＝ (AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF
C
SCBD
C EB
C EB
A
DB
02．(河北竞赛)在四边形 ABCD 中，已知 AB＝a，AD＝b.且 BC＝DC，对角线 AC 平分∠
BAD，问 a 与 b 的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.
【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE 平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
09．如图，△ABC 中，∠C＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，下列结论中：①AD
平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE 平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有
（）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．4 个
10．如图，已知 BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由 Q 出发，作点 Q
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
07．如图，点 P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点 P 到△ABC 三边的距离相等
B．点 P 在∠ABC 的平分线上
1
1
C．∠P 与∠B 的关系是：∠P＋ ∠B＝90° D．∠P 与∠B 的关系是：∠B＝ ∠P
2
2
A
D F
4
1 2
P N
O
A
∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以 PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM、∠CBN.求证：点 P 在∠BAC 的平分线上.
M
C
P
A
BN
02．如图，BD 平分∠ABC，AB＝BC，点 P 是 BD 延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证： PM＝PN
2
∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°
CE CF 在△CEB 和△CFD 中， F CEB ，∴△CEB≌△CFD
DF BE
F
D
1 2
A
∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°. 【变式题组】
01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求 SACD
2
∴∠1＝∠3
F
1 3
在△ABD
和△ACF
中，
AB
AC
，∴△ABD≌△ACF
BAD CAF
A
E
1 2
B
D3 C
1
∴BD＝CF ∴CE＝ BD
2
【变式题组】
01．如图，已知 AC∥BD，EA、EB 分别平分∠CAB、∠DBA，CD 过点 E，求证：AB＝AC＋
BD.
C
E
D
A
B
02．如图，在△ABC 中，∠B＝60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交
P
08 ． 如 图 ，
B
E
第6题图
C ABC ，CD 平
B
E A
P
第7题图 C F B
A
A D
E BD 平 分 ∠
第C8题第图D9C题图 BE 分∠ACE，BD B
与 CD 相交于 D.给出下列结论：①点 D 到 AB、AC 的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③
DA＝DC；④DB 平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
DB－DC
A
P
B
D
C
08．如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、 BQ 分别为∠BAC、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP
A Q
BP
C
离相等；②AD 上任意一点到 AB、AC 的距离相等；③AD⊥BC 且 BD＝CD；④∠BDE＝∠
CDF.其中正确的是（ ）
A．②③
B．②④
C．②③④
D．①②③④
05．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角
平分线交于 E 点，则∠AEB 的度数为（ ）