简单轴对称图形
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2 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确 AM 是∠BAC 的角平 分线是解题的关键．
•
• 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第3题
∠ABE＝∠DBE， 在△ABE 和△DBE 中， ∠BAE＝∠BDE，∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.
BE＝BE，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE 为等 腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即 AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE 是∠ABC 的平分线， DE⊥BC，垂足为 D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形； (2)请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由． (3)如果 BC＝10，求 AB＋AE 的长． 解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即 AB ＝BD，AE＝DE，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△ EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理 可知△ABE 关于 BE 与△DBE 对称，可得出 BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE 关于 BE 与 △DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出 AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10. 解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC； (2)AD 与 BE 垂直．理由如下：由 BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE ＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE 沿 BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A、D 是对称点， ∴AD⊥BE； (3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.
解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出 AM 是 ∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋ ∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺 规作图知 AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝1∠CAB＝30°.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 8 题 探究点二：角平分线的画法
如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E， F 两点，再分别以 E、F 为圆心，大于 1EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，
2 交 CD 于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．
• 解：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵
如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4， 则 AC 的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F.∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2， ∴S△ABC＝12×4×2＋12AC×2＝7，解得 AC＝3.故选 D.
5．3 简单的轴对称图形
源自文库
• 探究点一：角平分线的性质 • 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 • 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝ EB；(2)AB＝AF＋2EB.
• 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等 于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB， 得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE 全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化 进行求解．
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• 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第3题
∠ABE＝∠DBE， 在△ABE 和△DBE 中， ∠BAE＝∠BDE，∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.
BE＝BE，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE 为等 腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即 AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE 是∠ABC 的平分线， DE⊥BC，垂足为 D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形； (2)请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由． (3)如果 BC＝10，求 AB＋AE 的长． 解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即 AB ＝BD，AE＝DE，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△ EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理 可知△ABE 关于 BE 与△DBE 对称，可得出 BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE 关于 BE 与 △DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出 AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10. 解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC； (2)AD 与 BE 垂直．理由如下：由 BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE ＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE 沿 BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A、D 是对称点， ∴AD⊥BE； (3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.
解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出 AM 是 ∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋ ∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺 规作图知 AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝1∠CAB＝30°.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 8 题 探究点二：角平分线的画法
如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E， F 两点，再分别以 E、F 为圆心，大于 1EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，
2 交 CD 于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．
• 解：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵
如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4， 则 AC 的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F.∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2， ∴S△ABC＝12×4×2＋12AC×2＝7，解得 AC＝3.故选 D.
5．3 简单的轴对称图形
源自文库
• 探究点一：角平分线的性质 • 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 • 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝ EB；(2)AB＝AF＋2EB.
• 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等 于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB， 得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE 全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化 进行求解．