一个与圆有关的数量积问题的变式探究

／
．
为 Ｘ 正 半轴 上任意 一 点 ， Ｐ作抛 物线 Ｃ的两条切 轴 过
线 、 朋 ， 、 为 切点 ，求 ・ 的最小值 ． 朋
福建 中学数 学
２ １ 年第 ２ ０１ 期
一
个 与圆有关 的数量积 问题 的变式探 究
周 涛 江 苏省 江浦高 级 中学 （１８０ ２ ０ ） １
１ ．问题的提出 ２１ ０ ０年高 考全 国 Ｉ 第 １ 题 ： 卷 ｌ 已知 圆 Ｄ的半径 为 １ 、 朋 为该 圆的两 条切 线 ， Ａ、 Ｂ为两 切 ，
变式 ２（ 如图 ２ ）圆Ｅ为单位 圆，Ｏ Ｐ是圆Ｅ的
直径 ， Ａ、Ｂ在 圆 Ｅ上 （ 点 异于 ０、Ｐ） ，且关 于 Ｏ Ｐ
ｃ．＿ ＋ √ ４ ２
Ｄ．一 ＋ √ ３ ２
本题 的求 解 思 路是 列 出 目标 函数 求最 值 ，而 变 量 的选 取具 有开 放性 ， 如可 选 Ｚ Ｐ Ａ Ｏ、Ｚ Ｐ、Ｐ ＡＯ Ｏ、 等 ．正 因为 如 此 ，最值 求解 的 难 易 度是 不 一 样 的 ．向量数 量 积 的对 应 有 两种 方法 ：一 是 向量 数量 积 的定义 、二 是 向量 数量 积 的坐标 运算 （ 解析 法 ） ．
・
＋ 一 在 ∈ Ｊ ３ Ｌ ，Ｉ ｌ）４上是增函数， ・ 的取值 船
、 Ｂ为 切 点 ，求
朋 的最小 值 ．
范 为一 ， 际 ・ 得 小 时 围 ｌ ｌ 上 两取 最 值 ， ， 实
点 Ｐ的轨迹 是 以 Ｏ为 圆心 为 半径 的 圆 ．
解 析 设 Ｚ Ｐ （ 。 ＜ ０ ） Ａ Ｏ＝ ０ ＜ ９。 ，
Ｄ
圆 ０于 Ｂ ， 结 Ｐ 连 Ｂ交 圆 Ｄ于 ｃ， 问 ・Ｂ、Ｐ Ｐ Ｐ Ａ・ ｃ 是否有 最值 ？
图１
图２
．
分 ． ＝ Ｉ ．ｓＡＢ： Ｉ可 析 一 Ｉ （ ｃＺＰ）Ｉ ‘ 见 Ｐ 砀Ｉ ｏ Ｂ 两１ ，
朋 无最值 ．
２ １ 年第 ２ ０１ 期
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③ 点 Ｐ在 圆 ０内 （ 图 ８ ， 长 户交 圆 Ｄ于 ｃ ， 如 ）延
连结 Ｂ ， Ｃ
上述问题的解决ｌＩｓ Ｐ＝ Ｉ 历・ Ｌ Ｂ ｌ ， ｃＡ 砀 。 Ｉ｛ｓ Ｐ＝ 起 关 作 ． ・ Ｚ Ｃ ｛ 了 键 用 ｃ Ａ Ｉ 。
仿 此 对 本 文 开 头 的 高 考 题 我 们 又 得 到 如 下 解
点 ，那么 Ｐ Ｐ Ａ・Ｂ的最小值 为
（）抓住题 目实质 ，变化 生成背景 ２ 变式 ｌ的 生成 依 赖于 Ｏ Ｐ保 持不 变 ， Ｏ Ａ上Ｐ Ａ且
Ｏ Ａ在 变化 ．基 于 此我们 隐去 图 ３中的圆 Ｄ，作 出四 边形 Ｐ Ｏ Ａ Ｂ的外接 圆 ．
Ａ．
＋ √
Ｂ．一 ＋ ３√
则Ｐ Ａ＝Ｐ Ｂ＝２ Ｏ ａ， ＣＳ
・
两＝ ｌ Ｉｓ Ｐ ｌ ・ －Ｚ Ｂ Ｉ ｃ Ａ 丽 ｏ
Ａ
＝
２Ｃ Ｓ ． ＯＳ ． Ｏ ２ Ｏ 口 ２Ｃ 口 Ｃ Ｓ ａ
＝
２１ Ｏ ２ ・Ｏ ２ （＋Ｃ Ｓ ａ）Ｃ Ｓ ａ
＝
２ｃ ｓ ａ＋１２ （ ２ ， ｏ
一
ｌ
，
ＪＢ
图３ 图 ４
分 Ｐ－ ： Ｉ ｌＳ Ｐ ＝ ｌ Ｉ 析一一 ｌ （ － Ｚ Ｂ ｌ ・ ： Ａ Ｂ 丽 １ Ｃ Ａ ）两 ｌ Ｐ Ｏ
ｌ Ｉ Ｐｌ藩 ． Ｃｌ Ｉｃ ）２ （ｏ ＝＝ Ｉｓ 葡 ＋’ 鬲１ ４１
． ＝
Ｐ ＝Ｏ １ Ｐ 是 圆 Ｄ 的切线 、 Ｄ 为切 点 ）可 Ｄ Ｐ 一 ，（ Ｄ
解答 上述 问题 并不 困难 ，围绕 着 Ｐ Ｐ Ａ・Ｂ笔 者又
做 了以下 探究 ．
点 ，过点 Ｐ作 圆 ０ ：Ｘ ＋Ｙ ＝１ 的切 线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ，切 点 分别 为 Ａ、 Ｂ ，求 Ｐ Ｐ Ａ・Ｂ的取值 范 围 ． 分 析 同 上面常见 解法 中 的方法 一 ，设 Ｐ Ｏ：Ｘ，
法：
＝
两＝ ｆ ｛ｓ Ｐ ｛・ ．Ｚ Ｂ 砀 ｛ ｃ Ａ 两 ｏ ｌＩ｝ ｃＺ Ｃ ～ Ｉ Ｉ ．历ｌ Ｐ） ｝ ・ （ ｏ Ｂ ＝ ｝ ＿ ｓ
・
＝
一
ｌ Ｉ尸 Ｉ －１ Ｏ ） 一 Ｐ ： ｌ 一 ． 户 ・ Ｆ ＝ （ Ｐ（ Ｏ ） ０ １ Ｅｌ 十 １ 尸
（）改变题 目的主体研究对象 ，探究新方法 ． ｓ 变式 ７（ 如图 ９ ）已知抛物线 Ｃ；Ｙ ＝ ｘ 点 Ｐ 一，
（）改变 题 目生成 的叙 述方 式 ，调整 已知 、未 １
知
则 ｌ ｊ ∈ ． ＜， ・ ， ｊ １ 故 一 芸 而 ３ Ｂ ２ ６ Ｐ ：
变 式 １（ 图 １ 在长 为 ２的线段 Ｏ 如 ） Ｐ上取一 点 Ｃ
一 ’ 厂 １ ． 一
（ 异于 ０、 Ｐ） 以 ０为 圆心 ， Ｏ ， Ｃ为 半径 作 圆 ０， 过 Ｐ作 、 船 与 圆 ０相 切 ，
对称 ，求 ・Ｂ的最小 值 ． Ｐ
分析 变式 ２ 与变式 ｌ 的实质是完全一致 的，解
略．
（）添加新元素 ，创设新的探究情境 ３
变 式 ３（ 图 ３ 如 ）已知直 线 ， ｘ ４ ６ 与 Ｘ ：３ ＋ ｙ一 ＝０
轴 、Ｙ轴 分 别交于 Ｃ、Ｄ ，点 Ｐ是 线段 Ｃ Ｄ上 的一动
２ ．探究一题多变
当 ｃ ｓ ａ＝一１，即 ＝６ 。 Ｐ Ｐ ｏ２ ０ 时 Ａ—Ｂ的最小值 为
ｌ
一
（）从特殊到一般 ，拓展探究空间 ４
将原 题 中的两 条切 线变 为一 条切线 、一条 割线 ． 变式 ４ （ 图 ４ 如 ）圆 Ｏ为 单位 圆 ，过 圆 Ｏ外一 点
Ｐ作圆 Ｏ的切线 Ｐ Ａ，Ａ为切点 ，连结 Ａ Ｏ并延长交
见Ｐ Ｐ Ａ・ Ｂ无 最值 ．
变 式 ６ 将点 Ｐ的位 置一 般化 ，
－Ｂ又 如 何？ Ｐ
分 析 ①点 Ｐ在 圆 ０外 ， 同变 式 ４ ； ② 点 Ｐ 在 圆 ０ 上 （ 图 ７）， Ｐ 船 ， 如 ＡＪ －
・
ＰＢ ＝ ０ ：
［￣ 一 一 ｉ Ｐ Ｐ ｆ － Ａ． Ｃ也无最 值 ． Ｊ －