第三章 环
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所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。
§２交换律、单位元、零因子、整环
例３ 高等代数中一个数域Ｆ上一切n阶方阵对于矩阵的 加法和乘法来说做成一个有单位元的环，
则当 n 2 时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。
如
A
1 1
0 0
0,
B
1 1
1 1
0
但ＡＢ＝０
§２交换律、单位元、零因子、整环
定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之 一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。
a 0, ab ac b c a 0,ba ca b c
证明：因为Ｒ没有零因子，所以由 a 0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得 b c 0 即 b c 消去律成立。
１、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个不等零的元都逆元。 定义 一个交换除环叫做一个域。
§３除环、域
除环的性质： １、除环无零因子。
第三章 环与域
加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域
§1加群、环的定义
定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运 算叫做加法，并且用称号+表示。
因此在加群里n个元a1, a2 ,L , an 的和有意义，这个和
§２交换律、单位元、零因子、整环
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a0
所以由消去律知若 a 0 则 b 0
所以环Ｒ没有零因子。
推论 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去 律也成立。
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个环Ｒ叫做一个整环，若
１、乘法适合交换律： ab ba
则有运算规则： (a b)c ac bc c(a b) ca cb
§1加群、环的定义
0a a0 0 （0为Ｒ中零元） (a)b a(b) ab (a)(b) ab a(b1 b2 L bn ) ab1 ab2 L abn
２、Ｒ有单位元１: 1a a1 a
3、Ｒ没有零因子： ab 0 a 0或b 0
其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如整数环是一个整环。
§３除环、域
例１Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为：
a a a, aa a
则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。
例２全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成 一个环，显然对于任意一个非０有理数a，都有逆元a-1。 定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若
6 44 7n 4 48 规定: na a a L a
(n)a (na), 0a 0
则有： ma na (m n)a
mgna mnga
0a a0 0（0为Ｒ中零元） n(a b) na nb (a)b a(b) ab (a)(b) ab
n
n
用符号 ai 即： ai a1 a2 L an
iBiblioteka Baidu1
i 1
加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示
则有运算规则： 0 a a 0 a
a a a a 0
(a) a ac bc ba
§1加群、环的定义
(a b) a b, (a b) a b
§２交换律、单位元、零因子、整环
例２ Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法 如下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。
若n不是素数，则 n ab, na, nb
[a] 0,[b] 0 但 [a][b] [ab] [n] [0]
ee' e e'
所以性质成立。
注一个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定 a0 1
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如
ab ba 1
逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。
证明：设a有两个逆元b和b’，则
bab ' b(ba ') b1 b (ba)b ' 1b ' b '
§1加群、环的定义
定义 一个集合Ｒ叫做环，假如
1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来 说作成一个交换群； ２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的；
３、关于乘法满足结合律：a(bc) (ab)c
a(b c) ab ac ４、关于乘法与加法满足分配律：(b c) ba bc
m
n
ai bj a1b1 L a1bn L amb1 L ambn
i1 j1
(na) b a(nb) n(ab)
§1加群、环的定义
规定：
6 7n 8
an aaL a
则有： aman amn (am )n amn
§２交换律、单位元、零因子、整环
所以性质成立。
注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外 其余元都滑逆元。
§２交换律、单位元、零因子、整环
用a-1表示a的逆元，且规定 an (a1)n
则对任何整数都有 aman amn
(am )n amn
定义 若在一个环Ｒ里
a 0,b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
定义 一个环Ｒ叫做交换环，假如
ab ba
其中a,b为Ｒ中任意元。
所以有：anbn (ab)n
定义 一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有
ea ae a
其中a为Ｒ中任意元。 注：不是所有环都有单位元，如下例。
§２交换律、单位元、零因子、整环
例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成 一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯 一的。 证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有
§２交换律、单位元、零因子、整环
例３ 高等代数中一个数域Ｆ上一切n阶方阵对于矩阵的 加法和乘法来说做成一个有单位元的环，
则当 n 2 时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。
如
A
1 1
0 0
0,
B
1 1
1 1
0
但ＡＢ＝０
§２交换律、单位元、零因子、整环
定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之 一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。
a 0, ab ac b c a 0,ba ca b c
证明：因为Ｒ没有零因子，所以由 a 0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得 b c 0 即 b c 消去律成立。
１、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个不等零的元都逆元。 定义 一个交换除环叫做一个域。
§３除环、域
除环的性质： １、除环无零因子。
第三章 环与域
加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域
§1加群、环的定义
定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运 算叫做加法，并且用称号+表示。
因此在加群里n个元a1, a2 ,L , an 的和有意义，这个和
§２交换律、单位元、零因子、整环
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a0
所以由消去律知若 a 0 则 b 0
所以环Ｒ没有零因子。
推论 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去 律也成立。
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个环Ｒ叫做一个整环，若
１、乘法适合交换律： ab ba
则有运算规则： (a b)c ac bc c(a b) ca cb
§1加群、环的定义
0a a0 0 （0为Ｒ中零元） (a)b a(b) ab (a)(b) ab a(b1 b2 L bn ) ab1 ab2 L abn
２、Ｒ有单位元１: 1a a1 a
3、Ｒ没有零因子： ab 0 a 0或b 0
其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如整数环是一个整环。
§３除环、域
例１Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为：
a a a, aa a
则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。
例２全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成 一个环，显然对于任意一个非０有理数a，都有逆元a-1。 定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若
6 44 7n 4 48 规定: na a a L a
(n)a (na), 0a 0
则有： ma na (m n)a
mgna mnga
0a a0 0（0为Ｒ中零元） n(a b) na nb (a)b a(b) ab (a)(b) ab
n
n
用符号 ai 即： ai a1 a2 L an
iBiblioteka Baidu1
i 1
加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示
则有运算规则： 0 a a 0 a
a a a a 0
(a) a ac bc ba
§1加群、环的定义
(a b) a b, (a b) a b
§２交换律、单位元、零因子、整环
例２ Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法 如下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。
若n不是素数，则 n ab, na, nb
[a] 0,[b] 0 但 [a][b] [ab] [n] [0]
ee' e e'
所以性质成立。
注一个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定 a0 1
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如
ab ba 1
逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。
证明：设a有两个逆元b和b’，则
bab ' b(ba ') b1 b (ba)b ' 1b ' b '
§1加群、环的定义
定义 一个集合Ｒ叫做环，假如
1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来 说作成一个交换群； ２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的；
３、关于乘法满足结合律：a(bc) (ab)c
a(b c) ab ac ４、关于乘法与加法满足分配律：(b c) ba bc
m
n
ai bj a1b1 L a1bn L amb1 L ambn
i1 j1
(na) b a(nb) n(ab)
§1加群、环的定义
规定：
6 7n 8
an aaL a
则有： aman amn (am )n amn
§２交换律、单位元、零因子、整环
所以性质成立。
注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外 其余元都滑逆元。
§２交换律、单位元、零因子、整环
用a-1表示a的逆元，且规定 an (a1)n
则对任何整数都有 aman amn
(am )n amn
定义 若在一个环Ｒ里
a 0,b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
定义 一个环Ｒ叫做交换环，假如
ab ba
其中a,b为Ｒ中任意元。
所以有：anbn (ab)n
定义 一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有
ea ae a
其中a为Ｒ中任意元。 注：不是所有环都有单位元，如下例。
§２交换律、单位元、零因子、整环
例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成 一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯 一的。 证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有