线性系统的频域分析1频率响应及其描述

G(S) T2S 2 2TS 1 T 1 n
G(j) -T2 2 j2T 1 (1 2 ) j2
n
| G(j) | (1 - 2 )2 4 22
G(j) arctg 2 1- 2
0 0 | G(j) | 1
G(j) 0
1 n | G(j) | 2 G(j) 90 | G(j) | G(j) 180
(2) 查图表法 等M圆图
G(j) U jV
M OA U jV QA 1U jV
M
2
U2 V 2 (1 U )2 V 2
(U M 2 )2 V 2 ( M 2 )2
M 2 1
M 2 1
等N圆图
U jV
1U jV
arctg V arctg V
U
1 U
记tg N,
Im
极
坐
标
图:
当从U0(1
) 时,
G(j
)端
点
的
轨
迹
Re
即为频率特性的极坐标图, 或称Nyquist 图,它不仅
0
表 示 了 实 频 特 性 和 虚 频特 性, 而 且 也 表 示 幅 频 特 性和相频特性.
1
三.典型环节的极坐标图及频率响应
1.比例环节
Gs K G(j ) K
| G(j ) | K
1 2 3
| G(j ) |
1
(1-2 ) 4 22
G(j )
-arctg
2 1-2
0 0 | G(j ) | 1
G(j ) 0
1 n
| G(j ) |
1 2
G(j ) 90
| G(j ) | 0 G(j ) 180
的取值不同, 极坐标图型的形状不同
7.二阶微分环节
第五章 线性系统的频域分析
§1 频率响应及其描述
一．频率特性
R
1.频率特性的基本概念
a.RC网络
UI
C
U0
右图所示的RC 网络的微分方程为
T
dU0 dt
U0
Ui
式中 T RC
U0 (S)
Ui (S)
1 TS 1
设 Ui Asin t 则
U0 (S)
1 Ts
1
s2
A
2
a Ts 1
d1
s j
2
| e-j j
X
e
jt
|
G(j) |
2j
e j
X
e
jt
| G(j ) | X e j(t ) e j(t )
2j
yss (t) Ysin( t )
说明:
1.在稳态求出的输出信号与输入信号的幅值比是的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | G(j ) |
2.输出信号与输入信号的相位差是的非线性函数, 称
由tg(1
2
)
tg1 tg 2 1 tg1tg 2
得
(U 1 )2 (V 1 )2 1 ( 1 )2
2
2N 4 2N
§5 Nyquist稳定判据
一.辅助函数
右图所示系统的闭环传函为
R(s)
C(s)
G
B
(S)
1
G(S) G(S)H(S)
G(s)
开环传函为
G k (S)
G(S)H(S)
b ms m b m-1s m-1 s v (s p1 )(s p2 )
s p
微分方程
传递函数
系统
s j
频率特性
j p
§2 典型环节的频率响应
一.控制系统中常见的典型环节
G(s) K(bms m b m-1s m-1 b1s 1)
a n s n a n-1s n-1 a1s 1
1h
1
1 2
(
n
v
h
)
K
s v i1 Ti s 1 二.极坐标图
Im
0 V( ) 0 Re
6.振荡环节
G(S) n2 S 2 2 nS n2
0 1
G(j ) n2
2
2 n
j
2
n
1
1
(
n
)2
j
2
n
n
12 j 2
(12 )2 (2 )2
n 1 n 2 n 3
U( ) 12 (12 )2 (2 )2
V( ) 2 (12 )2 (2 )2
G(j ) 0
2.积分环节
G(s)
1 s
G(j )
1 j
|
G(j
)
|
1
G(j ) -90
0 | G(j ) | G(j ) -90
| G(j ) | 0 G(j ) 90
3.微分环节
G(s) s G(j ) j
| G(j ) | G(j ) 90
Im
K Re Im
0 Re
d1 d2 c1 cn
s j s j s s1
s sn
y(t) d1e-jt d2e jt c1es1t cnesnt
对于稳定系统,由于极点S1 , S2 , , Sn都有负实部,
所以当t 时
yss (t ) d1e jt d2e jt
d1
G(s)
X s2
b1s b0 (s pnv )
H(s)
选取辅助函数 F(S) 1 G(S)H(S) k(S - Z1 )(S - Z2 ) (S - Zn )
s v (s p1 )(s p2 ) (s pnv )
由此我们看到
GB(S)
F(S)
GK(S)
零点
极点 零点 极点 零点 极点
相同
相同
由上述关系知, 原系统稳定的充要条 有负实部, 现在却变成辅助函数F (S )的
G(j) k(T1 T2 ) j K (1 T1T2 2 ) 1 T 2 2 (1 T 2 2 )
Im K(T1-T2) Re
lim U
0
( )
K
(T1
T2
)
lim V ()
0
二.单位反馈系统的频率响应
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)
G(s)
(1) 向量作图法
C( j ) G( j ) A( )e j () R( j) 1 G( j)
当 线点S 内S以, 而 顺时S 不针通方过向
点 沿的S 运次动数, S 在[F (S )]平面上的映射F 按顺时针方向包围原
滞后- arctgT (相频特性).
2. e e 1
- jarctgT
1T2 2
1
j 1(1 jT )
1 jT
1 1 jT
它描述了网络在正弦输入作用下, 稳态输出时电压幅值
和相角随正弦输入电压频率变化的规律, 称为网络的频
率特性.
3.
1
1 jT
1 TS1 Sj
b.一 般 系 统
G(s) Y ( s) X (s)
T1T2
这时 Im[G(j )] K(T1T2 ) 32
T1 T2 由此得出Nyquist 图与虚轴的交点
例3. 解:
G(S)
K(T1S1) S (T2S 1)
(T2 T1 )
K
| G(j) |
1 T12 2
1 T22 2 G(j) -90 arctgT1 arctgT2 0 | G(j) | G(j) -90 | G(j) | 0 G(j) -90
U( )
Re[(j )]
K 1T2 2
V( )
Im[G(j
)]
-KT 1T 2 2
(U -
K 2
)
2
V2
(
K 1T2 2
-
K 2
)2
K 2T2 2 (1T 2 2 )2
(
K 2
)
2
当0 时为下半圆 G(j )与V( )恒为负
5. 一阶微分环节
G(S) TS 1 G(j ) 1 jT U( ) 1 V( ) T
-1- jT 1 2T2
| G(j) | 1
1T2 2
G(j) -180 arctgT
(-1,j0)
0
0 Re
u() -1 v() -jT
0 | G(j) | 1 G(j) -180
1 T
| G(j) | 1 2 G(j ) -135
| G(j) | 0 G(j) -90
i 1
Ti 2 s 2
1
2iTi s
1
l
(
j 1
js
1)
( S 1
2
(
m
l
)
22
j 1 i
2i i S
1)
G(j) Re[G(j )] Im[G(j )] U() jV()
当 1时, G(j1 )可以用一矢量及其端点坐标来表示 G(j1 ) U(j1 ) jV(1 )
则 | G(j ) | U(1 )2 V (1 )2 G(j ) arctg V(1 )
四．极坐标图举例
例1.
G(s)
Baidu Nhomakorabea
K s(Ts 1)
试绘制其Nyquist图。
解:
G(j )
K j (1 jT )
| G(j) | K 1T2 2
G(j) -90 arctgT
0 | G(j) | G(j) -90
| G(j) | 0 G(j) -180
G(j
) - j -KT 1T2 2
K (1T2 2 )
U(
)
Re[G(j
)]
-
KT 1 T 2
2
V(
)
Im[G(j )]
-k (1T2 2 )
-(kT,j0)
lim U() kT lim V() 0
0
0
Im
0 Re
例2. 解:
G(S) K S2 (1T1S)(1T2S)
G(j )
K
(j ) 2 (1 jT1 )(1 jT2 )
在开环频率响应G( j)Nyquist图中
G( j1 ) (1 )
QA 1 G( j1 ) [1 G( j1 )] (1 )
Im
A(1 )
G( j1 ) 1 G( j1 )
OA QA
-1 (1 )
(1 )
G( j) 1 G( j)
(1 )
Q
(1 )
(1 )
A
O Rm
(1 )
0
Im
4.惯性环节
G(S)
K TS 1
G(j
) K jT 1
K (1 jT ) 1T 2 2
| G(j ) | K G(j ) -arctgT 1T2 2
0 | G(j ) | K G(j ) 0
0
Re
1 T
1 T
| G(j ) |
2 2
K
0.707 K
G(j ) 45
| G(j ) | 0 G(j ) 90
(1,j0)
8.延时环节
G(S) e-s
G(j) e-j cos - jsin
=0
u() cos v() -sin
| G(j) | 1 G(j) -
u 2 () v2 () 1
极坐标图为一 9.不稳定环节
单位圆, 端点在单
位圆上无
限循环
Im
G(S)
1 TS -1
G(j
) 1 jT-1
d2
s - j
d1
1 Ts
1
s2
A
2
(s
j ) s j
-1 A
2j 1 jT
1 2j
1
1 T 2 2 e jarctgT
d2
1 Ts
1
s2
A
2
(s
j )
s j
1 A
2j 1 jT
1 2j
1
1 T 2 2 e jarctgT
1 a
AT 2
a
Ts 1 s2
2
(Ts 1)
s 1
T
| G(j ) |
K
2 1 T12 2 1 T2 2 2
G(j ) -180 arctgT1 arctgT2
0 | G(j ) |
G(j ) -180
| G(j ) | 0
G(j ) -360
G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )]
令 Re[G(j )] 0 得 1
2
(s j ) S-j
- G(-j )X
2j
d2
X G(s) s 2 2
(s - j ) S j
G(j )X
2j
G(j ) | G(j ) | e j
G(j )
G(-j ) | G(-j ) | e-j
- G(-j )
| G(j ) || G(-j ) |
yss (t)
-|
G(j )
G(s) B( s)
B( s)
A( s) ( s s1 )( s s2 ) ( s sn )
Y(s)
B( s)
X (s)
( s s1 )( s s2 ) ( s sn )
X(t) xsint
X(s)
x s2 2
Y(S)
B( s)
x
( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) (s j )(s - j )
1 T 2 2
U0 (t)
e a
t
T
T
d1e jt
d 2e jt
lim
t
U
0
(t
)
d1e jt
d 2e jt
A sin( t arctgT)
1T2 2
这里应用欧拉公式 sin e j e j
2j
说明:
1.网络的稳态输出仍是正弦电压, 其频率与输入电压相同,
幅值是输入电压的1 1T 22 (幅频特性), 相角比输入电压
件 全是部G零B (点 S )的均全具部有极负点实部均。具
二.幅角原理
设F (S)是复变量的多项式之比, 除在S平面的有限个奇
点外, 为单值连续正则函数.又设P为F (S)极点数目, Z为F (S)
的零点数目, 其中包括重极点与重零点数目, 以及F (S)的全
部极点与零点均分布在S平面的封闭轨 F (S)的任何极点与零点. 在这种情况下,
为相频特性.它描述在稳态情况下,当系统输入不同频率
的谐波信号时, 其相位产生超前( 0)或滞后( 0)的
特性. 3.幅频特性和相频特性总称为频率特性, 记为
G(j ) G(j ) ejG(j )
4.频率特性的求取 G(j ) G(s) sj
结论 : 频率特性和传递函数以及微分方程一样, 也 表征了系统的运动规律, 这就是频率响应能 够从频率特性出发研究系统的理论依据。