奥数-整式加减-第2讲代数式师

第二讲 代数式化简与求值
代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。

代数式的变形、推导、求值是整个初中数学代数部分的基本功。

它综合了数学中的各种常见方法和技巧，既要求我们对基本的公式及其变形要熟记，同时也要灵活掌握各种解题方法，学会分析代数式条件，建立已知和求解之间的关系，为将来进一步的数学思维的培养打下基础。

当然，这部分内容也是初中竞赛常考的内容之一。

一、 基础知识
●
代数式
定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

单独一个数或字母也是代数式。

● 代数式的值
定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

● 列代数式
列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。

列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。

● 求代数式的值
代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。

代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。

求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。

二、 例题
第一部分 列代数式 例1. 轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)，甲乙两码头间相距S 千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。

分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。

解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)
则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S
逆流所用时间是b a -S
，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的
和，即a
b a b
a S
b a S 222S
-=
-+
+
评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。

例2. 一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长。

为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2分钟。

如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。

A 、
2
121t t t t + B 、
2
1212t t t t + C 、
2
1212t t t t + D 、
2
1212t t t t +
分析：这是行程问题中的相遇问题。

解 部队的行军速度为2t a
米/分。

t 1分钟内，队尾的战士比部队多走了a
米，则他的速度为1
12t a t t a
+⋅米/分
=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12t a t a 米/分。

他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷12212121t t t a t a t a a 212
12t t t t +(分) 选C
例3. 某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再作三次降价处理：第一次降价30％．标出“亏本价”．第二次降价30％，标出“破产价”；第三次降价30％，标出“跳楼价”，三次降价处理销售结果如下表．
该商品按新销售方案销售．相比原价全部售完．哪一种方案更盈利?
解题思路 设原价为x,把原价出售金额、新方案销售金额用x 的代数式表示． 提示：新价出售，销售金额=109.375x 〉100x
例4. 某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a(a>O)个成品，且每个车间每天都生产b(b>O)个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个车间原有的和本周生产的所有成品，然后，星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．
(1)这若干名检验员1天检验多少个成品?(用含a ，b 的代数式表示) (2)试求出用b 表示a 的关系式；
(3)若1名质检员1天检验b 5
4
个成品，则质检科至少要派出多少名检验员?
(2002年广州市中考题)
解：（1）（a+2b ）或2(5)3a b +或3b*2；（2）由2(2)2(5)
23
a b a b ++=得a=4b ； （3）
2(2)4
/7.525
a b b +=约等于8（名） 第二部分 代数式求值 例5.
已知当x=-2时，代数式13++bx ax 的值为6，那么当x=2时，代数式13++bx ax 的值是
________． (2001年安徽省中考题)
解：- 4
例6. 已知当7x =时，代数式5
8ax bx +-的值为4，求当7x =时，代数式
5322
a b
x x ++的值？ 解：9 例7.
已知x=2，y=-4时,代数式by ax 213+
+5=1997，求当x=-4，y=-2
1
时，代数式3ax －324by +4986的值．（第13届北京市“迎春杯”竞赛题）
思路点拨 一般的想法是先求出a 、b 的值，这是不可能的(为什么?)解本例的关键是：将给定的x 、y 值分别代人对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系代入求值．1998
例8.
当x=2时，代数式3ax 一bx+1的值等于一17，那么当x=－1时，代数式12ax-3bx 3-5的值等于
_________．
(北京市“迎春杯”竞赛题) 解：22 例9.
已知y=ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ，其中a 、b 、c 、d 、e 为常数．当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35，
那么e 的值是( )．
(吉林省竞赛题)
(A)-6 (B)6 (C)-12 (D)12
解：A
注：例5—例9是整体求值
例10. 已知代数式)1532()62(2
2
-+--+-+y x bx y ax x .
(1)当a=_____，b=______时，此代数式的值与字母x 的取值无关；
(2)在(1)的条件下，多项式3)4a 2(2
222b ab b ab a ++--+（）
的值为______. （北京市中考模拟试题）
解：-3，1；8
例11.
若不论x 取什么值，代数式
3
8ax bx ++（分母不为零）的值都相同，试求a 与b 的关系 解：令x=0带入，推出代数式的值为3
8
，再将x=1代入，得3b=8a
注：例10、11是恒等式求值。

例12. 若a<b<c ，x<y<z ，其中各字母均表示正数，则下面四个代数式的值最大的是( )
A 、ax+by+cz
B 、ax+cy+bz
C 、bx+ay+cz
D 、bx+cy+az
分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。

因为是选择题，故可采用特值排除法来解。

解：∵a<b<c ，x<y<z ，∴可设a=x=1,b=y=2,c=z=3，然后分别代入四个选择支计算得：A 的值是14；B 、C 的值都为13；C 的值为11，故选A
评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。

例13. 已知
()
01221010111112126
2
1a x a x a x a x a x a x x ++++++=+- ，求
281012a a a a a +++++ 的值。

分析 此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。

注意到求的是偶次幂项的系数和，故可将x=1和x= -1分别代入已知等式的两边，得到1
012101112=++++++a a a a a a
和
29
70129101112=+-++-+-a a a a a a a ，相加除以2即可得所求的值。

解 将x=1代入已知等式，得
1
012101112=++++++a a a a a a
将x= -1代入已知等式，得
29
70129101112=+-++-+-a a a a a a a
两式相加，得2(0
281012a a a a a +++++ )=730
∴
281012a a a a a +++++ =365
注：例12、13特殊值法解题
例14. 已知a －2b ＋3c=7，4a ＋3b —2c=3，求代数式5a+12b —13c 的值．
(“五羊杯”竞赛题)
解：-15，代入法或待定系数法 例15.
已知1a b +=，求代数式333a ab b ++的值（北京市中考模拟题）
解：法1，将a=1-b 或b=1-a 代入，得到1
法2，将代数式转化为a+b 的形式，得到1
法3，令a=1，b=0，代入a+b=1，满足已知条件，再代入代数式中得到1 例16.
已知2,1a b b c -=-=，求代数式222a b c ab ac bc ++---的值（北京市中考模拟题）
解：法1，将a=2+b ，c=b-1代入代数式得到7； 法2，利用乘法公式得到7；
注：例14、15、16是代入消元法解题。

（补充题）已知21
16
a a a =++，试求24
2
1a a a ++的值（希望杯训练题） 解：先分析倒数，再考虑乘法公式和11a
a =；答案为
1
24
三、 练习题
**两地相距5千米,甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时(a>b),甲乙都从A 地到B 地去开会，如果甲
比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）.
解：D
1. 如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )．
(“希望杯”邀请赛试题)
(A)b a c 22 (B) ab c 2 (C)2c
ab
(D) 22c b a
解：D
2. 当3x =时，代数式38ax bx ++的值是12，求当3x =时，代数式3
5ax bx +-的值
解：-1
3. 已知代数式2
4352)
(dx x cx bx ax x +++当x=1时，值为1，那么该代数式当x=－1时
的值是( )．
A ．1
B ．一1
C ．0
D ．2
(第11届“希望杯”邀请赛试题) 解：B
4. 已知当x=7时,代数式ax 5+bx-8=8,求x=7时,8
225++x b
x a 的值.
分析 代数式ax 5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b 的值，影响直接代入求值，但通过观察，发
现将x=7代入,可整体地求出75a+7b 的值，从而问题得到解决。

解 由已知条件知：a ⨯75+b ⨯7-8=8，所以a ⨯75+b ⨯7=16
当x=7时，8
225++x b x a =21(a ⨯75+b ⨯7)+8=21⨯16+8=16
评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。

5. 当x=l ，y=一1时，ax+by 一3=0，那么当x=-1，y=1时，ax+by －3=________．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解：-6
6. 已知代数式3ax bx c ++，当0x =时的值为2；当3x =时的值为1；求当3x =-时，代数式的值？ 解：3
7. 如果(x-a) (x-4)-1能够分解成两个多项式x+b 、x+c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a= 8.
已知()5
544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-，
求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5
9. 把26
(1)x x -+展开后得12112
1211210...a x a x a x a x a +++++，则121086420a a a a a a a ++++++的值
为？
解：将x=1和x=-1代入后两式相加，得到365 10. 已知a+b=O ，a≠b，则化简
a b (a+1)+b
a
(b+1)得( )． ** B ．2b C ．+2 D.一2
(第15届江苏省竞赛题)
思路点拔 由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键．D 11. 已知-m+2n=5，那么5(m 一2n)2
+6n 一3m 一60的值为( )．
A ．80
B ．10
C ．2lO
D ．40
（希望杯训练题） 解：A
补充题（机动使用） 例3 已知
776276210(31)......x a x a x a x a x a -=+++++，试求765210......a a a a a a +++++的值
解：x=1代入得128
7．某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a ％，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b ％出售，那么调价后每件衬衣的零售价为( )．
(2001年山东省竞赛题)
解：C
杂题
例8 对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。

现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值。

解 由已知条件知 1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ②
x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③
由③得 a+cd=1 bd=0
因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4 从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4
评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。

12．在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数abc 、bac 、cab 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc
现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来．
(第四届美国数学奥林匹克试题)
解：222()abc N a b c +=++，从而1000+3194>222(a+b+c)>3194;于是15<=a+b+c<=18. 因为222*15-3194=136，222*16-3194=358，222*17-3194=580，222*18-3194=802 其中只有3+5+8=16满足要求，故abc =358
简单的分式求值
例6 若ab=1，求11++
+b b a a 的值
分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出
b a 1
=
，然后直接代入计算；如利用ab=1
巧秒地将式子中的“1”代换成ab ；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a 或b ，然后化成同分母进行计算。

解法1 由ab=1得b a 1=，从而11++
+b b a a =1111111111
=++=+++=+++b b b b b b b b b
解法2 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b b b b ab a a 解法3 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b
b b b b ab ab
评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了 “1”的代换，“1”的代换是恒等变形中的常用技巧之一。

例7 若a 、b 、c 全不为零，且
1
1,11=+=+
c b b a 求证：11
=+a c (1978丹东市数学竞赛试题)
分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b ，因而可设法从两已知等式
中消去b 。

证明：由
a b b a -==+
1111得，由
c b c b 1111-==+得 两式相乘得
()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c a 1111 整理得c a c a =
+1 去分母得ac+1=a ，因为a ≠0，故两边同除以a 得
11
=+
a c
评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。

课外小故事
让自己做点琐事
——学会缓解职业压力
哲理的故事
有位商界新贵，因神经极度紧张而看了数月心理医生，情况并无好转。

晚上他吞下安眠药后，仍抱住计
算机工作，同时语无伦次地打电话遥控他美国的生意，手心冷汗不绝。

一个朋友劝他每天找一件琐事来做，而且做的时候全心全意地专注此事，其他什么都不想。

他回答也妙，说：“想不出自己能有什么琐事可做。

”
也许这才是问题。

他的事全是重要的，连打场球都是商场心理战，午饭和晚间应酬更不必说。

最可怕的是，他早上从家里开车到公司，直至坐到了办公室位子上，都还完全想不起自己究竟是如何把车一路开过来的，脑子里这种空白越来越多。

朋友问他公司里可有一盆案头植物?有的话不妨每天抽出15分钟好好照顾它，除了浇水，还可买点洁
白的沙粒，覆盖在泥土表面，再准备一小块儿干净的布，细心地抹抹叶子，甚至吹一阵口哨给它享受享受。

“别人会以为我疯了。

”他说。

朋友告诉他，美国有位富商，每发觉自己精神陷入紧张状态，就会从抽屉里拿出块布来钉纽扣，而钉满纽扣的布已有好几幅了。

如今花样多了，那个首富削铅笔、做折纸、拍摄窗外风景，甚至给下属画素描。

这些都是都市紧张一族的解压方法。

其实，无论你精神是否紧张，你都能找一件琐事来好好体会一下平静处事的美好感觉。