高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（C ）．A .x e x f =)( B. ||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．A ．),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ．ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ．211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ．211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >． （２）当0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a bξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１）=→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim (sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ．==∞→∞→nn nn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ．=-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ．x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．x x x sin lim 20→B ．x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ．x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim． （２）20222lim xx x x -+-→． 解：20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ． （３）30tan sin lim xxx x -→． 解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim 1+--→＝xx x x x 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６）)111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x （７）x x xtan 0)1(lim +→． 解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx xx x x x x eeee x．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→． 解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xx x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９）n n n ∞→lim ．解： 因为1lim 1limln 1lim ===∞→∞→∞→x x xx x x x eex ，所以n n n ∞→lim =1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ． 解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ， 所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求．4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ． 5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f xx f x ,证明在)1,0(内存在一点,使0)(='''ξf ．证明： 因为 0)(lim 20=→xx f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+=（介于0与之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则． （４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A .x y -=2),(∞+-∞B .x y e =)0,(-∞ C .x y ln =),0(∞+D .x y sin =),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A .)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B.)(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导,且21,x x ∀,当21x x >时,)()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解：011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明： 对任意实数和, 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令x x x f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ，)(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 ||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->,因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增,当1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=,021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增,当0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续,且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos)2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是,最小值是k ---242arccos2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解：c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得：16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解：222)1(11-+-='x x y ,323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时不存在．当01<<-x 或1>x 时,0>''y ,当1-<x 或10<<x 时,0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时,0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的,从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（C ）A ．0x x =是)(x f 的唯一驻点B ．0x x =是)(x f 的极大值点C ．)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１）()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x -'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x ,2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大． 解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π)20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6.工厂与铁路线的垂直距离AC 为20km ,点到火车站的距离为100km .欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站与工厂间的运费最省,问点应选在何处？解:设AD x =,与间的运费为, 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中是某一正数． 由0)34005(2=-+='xx k y ,得15=x .由于k y x 400|0==,k y x 380|15==, 2100511500|+==x y ,其中以k y x 380|15==为最小,因此当AD =15=x km 时,总运费为最省．7．宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点的线段AB 的最大值. 设木料的长度为, y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos +=)2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan a bt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理例3.1 证明方程322x x +=-有且仅有一实根.例3.2 设()f x 在[]0,a 上连续，在()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点()0,a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=. 例3.4 证明当0>x 时,x x xx <+<+)1ln(1．习题3.11．选择题（1）函数()f x =）.（Ａ） []0,1 （Ｂ） [1,1]- （Ｃ） [2,2]- （Ｄ）34,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2）下列函数在给定的区间上，满足拉格朗日中值定理条件的是（ ） （Ａ）()f x x =[]1,1- （Ｂ） ()cos f x x = []1,1-（Ｃ）1()f x x=[]1,1- （Ｄ）21,0()1,x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩ []1,1-（3）设()f x 连续可导，且()0f x =有5个不等实根，则()0f x '=至少有（ ）个实根． （Ａ）5 （Ｂ） 1 （Ｃ）4 （Ｄ）3（4）设()f x 在[],a b 连续，在(),a b 内三阶可导，且()0f x =在(),a b 内有5个不等实根，则()0f x '''=至少有（ ）个实根．（Ａ）0 （Ｂ） 1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 2.填空题（1）设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则()0f x '=有 个实根． （2）对函数xy e =在[]0,1上应用拉格朗日中值定理，得到的ξ= ．3．证明方程5321x x x ++=有且仅有一个正实根.4.证明多项式()33f x x x a =-+在[]0,1上至多有一个零点.5.设函数()f x 在闭区间[]0,1上可导,对[]0,1上的任意x 都有0()1f x <<，且对任意()0,1x ∈都有()1f x '≠，证明:在()0,1内有且仅有一个x 使得()f x x =.洛必达法则例3.8 求xx x x x tan tan lim2-→.例3.10 求极限0lim ln x x x +→⋅例3.11 求极限011lim tan x xx →⎛⎫-⎪⎝⎭例3.12 求极限 0lim xx x +→习题3.21．求下列极限 （1）0tan limsin x x x x x→-- （2）2arcsin limsin x x x x x→-（3）011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦（4）lim nx x xe →+∞（其中n 是正整数）（5）sin sin limx ax ax a→-- （6）()111155lim0x ax a a x a→-≠-（7）02limsin x xx e exx x-→---（8）011lim sin x xx →⎛⎫-⎪⎝⎭（9）()tan21lim 2xx x π→- （10）()0lim sin xx x +→函数单调性与极值以及曲线凹凸性例3.19讨论22ln y x x =-的单调区间，并求极值例 3.20 设()()()()121,,f x x x x '=-+∈-∞+∞，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内讨论()f x 的单调性和曲线()y f x =凹凸性例3.21设()f x 有二阶连续导数，()0(0)0,lim1x f x f x→'''==，则（ ）（A ） (0)f 不是)(x f 的极值点，()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点；（B ） (0)f 是)(x f 的极值点，()0,(0)f 也是曲线()y f x =的拐点； （C ） ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点；（D ）(0)f 是)(x f 的极小值点.例3.24 当0x >时，证明不等式3sin 6xx x -<．习题3.41．选择题（1）下面说法正确的是（ ）（Ａ）如果可导函数()f x 在(),a b 内单调增加，那么()0f x '>；（Ｂ）如果可导函数()f x 在0x 处有水平切线，那么()f x 在0x 处取得极值； （Ｃ）如果可导函数在(),a b 内只有唯一的驻点，那么该驻点一定是极值点； （Ｄ）如果可导函数()f x 在0x 处取得极值，那么()0f x '=．（2）函数()f x 在点0x x =处连续且取得极小值，则()f x 在0x 处必有（ ）． （Ａ）0()0f x '=且0()0f x ''>； （Ｂ）0()0f x '=； （Ｃ）0()0f x '=或不存在； （Ｄ）0()0f x ''>． （4）曲线arctan y x x =的图形（ ）（Ａ）在(),-∞+∞内是凹的； （Ｂ）在(),-∞+∞内是凸的； （Ｃ）在(),0-∞内是凸的，在()0,+∞内是凹的； （Ｄ）在(),0-∞内是凹的，在()0,+∞内是凸的． （5）函数21x y e +=的单调增区间为（ ）（A ）(),-∞+∞ （B ） [)0,+∞ （C ） [)1,+∞ （D ） (],0-∞（6）设0a <，则当满足条件（ ）时函数 32()38f x ax ax =++为增函数．（Ａ）2x <-； （Ｂ）20x -<<； （Ｃ）0x >； （Ｄ）2x <-或0x >． （7）设函数()f x 及()g x 都在0x x =处取得极大值，()()()F x f x g x =，则()F x 在0x x = 处（ ）（Ａ）必取得极小值； （Ｂ）必取得极大值；（Ｃ）必不取得极值； （Ｄ）是否取得极值不能确定． 2.填空题(1) 函数331y x x =-+的单调减区间为 ； 曲线331y x x =-+的凹区间为 . (2)函数32()31f x x x =++在区间[]3,1-上的最小值为 . （3）设()f x 在[]15,x x 上有连续导数，且()f x '则()f x 在()15,x x 内的极小值点为(4)函数3()1f x x ax =-+在点1x =处取极小值，则a = . （5）方程3310x x -+=，有 个实根. 3．确定下列函数的单调区间．（1）223y x x =-+ （2）()cos 02y x x xπ=+≤≤（3）x y x e -=+ （4）y =4．讨论下列函数确定的曲线的凹凸性和拐点． （1）3223124y x x x =+-+ （2）()523539y x x =+-5．证明下列不等式：（1）.证明：当1x >时，x e ex >.（2）证明：当01x <<时，22ln 1x x ->. （3）证明：当0x >时，()2ln 12xx x -<+.（4）证明：当02x π<<时，sin cos x x x >.（7）证明：当0x >时，13x≥-．6．求函数()32()11f x x =-+的极值． 7．求函数y x =在闭区间[]5,1-上的最大值和最小值．9．已知32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，求a 和b ．10．当a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处必有极值，它是极大值还是极小值，并求此极值．13．求内接于半径为R 的球圆柱体的体积的最大值.14.在半径为R 的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积的最大值.15. 设有一块边长为a 的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，问小正方形边长为多少时盒子的容积最大？.16.抛物线22(0)y px p =>和直线x a =(0)a >的内接矩形（一边在x a =上）的宽E F 为多少时，其面积最大？。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
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a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
大一高数 微分中值定理与导数的应用高等数学作业与练习册(第三章习题)
1第三章 微分中值定理与导数的应用本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用．重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明．难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明．基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等．第一节 微分中值定理1．填空与选择：（1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）（A ）xe xf =)(； （B ）||)(x x f =；（C ）21)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ）（A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导；（C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数．（3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ）（A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ）（A ）x x f y ∆'=∆)(；（B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ；2（D ）在x x x ∆+,之间的任一点ξ，均有x f y ∆'=∆)(ξ．（5）若)(x f 在),(b a 内可导，且12,x x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ ）（A ）()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中b a <<ξ； （B ）11()()()()f b f x f b x ξ'-=-，其中b x <<ξ1； （C ）2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中21x x <<ξ； （D ）22()()()()f x f a f x a ξ'-=-，其中2x a <<ξ．（6）设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有_____ 个实根, 分别位于区间 中． 2．证明：当1x ≥时，恒等式222arctan arcsin 1x x xπ+=+成立．3．设函数()f x '在[,]a b 上连续,且()()0f a f b <，()0((,))f x x a b '≠∈．证明函数()f x 在区间(,)a b 内有唯一零点．4．证明：方程0xx e +=在区间(1,1)-内有唯一的根．35．设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数，(1)(1)0f f =-=，又)()(2x f x x F =．证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)("=ξF ．6．证明下列不等式：（1）当1,0n a b >>>时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-．（2）当π<<x 0时，x xx cos sin >．7．设)(x f 是],[b a 上的正值可微函数．证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ．48． 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，证明在(0,1)内存在一点c ，使 ()2()()cf c f c f c ''+=．本节作业总结：5第二节 罗比达法则1．填空与选择：（1）能用罗必塔法则求极限的是（ ）（A ）4314lim21-+-→x x x x ； （B ）xx x x x ln ln lim++∞→；（C ）xx x x sin 1sinlim2→； （D ）xx xxx e e e e --+∞→+-lim ．（2）下列各式运用洛必达法则正确的是（ ）（A ）==∞→∞→nn nn n e n ln limlim 11lim=∞→n n e ；（B ）=-+→xx x x x sin sin lim∞=-+→xx x cos 1cos 1lim；（C ）xxxx xx x x x cos 1cos1sin2limsin 1sinlim02-=→→不存在；（D ）x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e．（3）=→xx x 3cos 5cos lim2π．（4）=++∞→xxx arctan )11ln(lim．（5）0lim (sin )xx x +→= ．（6）)tan 11(lim 2xx xx -→= ．2． 利用罗必塔法则求下列各极限：（1）123lim23231+--+-→x x x x x x ．（2）lim(0)m m nnx ax a a x a→-≠-．6（3）2ln()2limtan x x xππ+→-． （4）2222limxx xx -+-→．（5）1cos 1lim 2--→x exx ．（6）)1(lim 2x x x x -+⋅+∞→．（7）2)(arcsin 1sin lim x x e xx --→．（8）)111(lim 0--→xx e x．7 （9）x x xtan 0)1(lim +→ ．（10）+2lim arctan xx x π→∞⎛⎫⎪⎝⎭．（11）xx xx xx ln 1lim 1+--→．（12）nn n ∞→lim．本节作业总结：8第三节 泰勒公式1．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．3．求函数1()f x x=按(1)x +的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式．4．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．95．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．本节作业总结：10第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空与选择：（1）函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增加的（ ）（A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）无关条件．（2）设()f x =，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （B ）[)2,,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；（C ）(),1-∞； （D ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（3）下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数．（A ）xy -=2，),(∞+-∞； （B ）xy e =，)0,(-∞；（C ） x y ln =，),0(∞+； （D ）x y sin =，),0(π．（4）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时,)()(21x f x f >, 则( )（A ）任意0)(,>'x f x ； （B ）任意0)(,≤-'x f x ； （C ）)(x f -单调增； （D ）)(x f --单调增． （5）若点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，则（ ）（A ）必有0()f x ''存在且等于零； （B ）必有0()f x ''存在但不一定等于零； （C ）如果0()f x ''存在，必等于零；（D ）如果0()f x ''存在，必不等于零．（6）若点()1,0是曲线322y ax bx =++的拐点，则（ ）（A ）1,2a b ==； （B ）1,3a b ==-； （C ）0,3a b ==-； （D ）2,2a b == （7）曲线()523539y x x =+-的凹区间为 和 ．（8）曲线exy x -=的拐点为 ．（9）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则11xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 ．2．确定下列函数的单调区间： （1）82y x x=+．（2）23(1)y x x =-．3．列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间．4．证明下列不等式： （1）当0x >时，arctan ln(1)1x x x+>+．12（2）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．（3）当0x >且1x ≠时，13x>-．5．讨论方程ln x ax =（其中0a >）有几个实根？6．利用凹凸性证明： 当π<<x 0时, πxx >2sin ．137． 设)(x f 在),(b a 内二阶可导，且0)(0=''x f ，其中),(0b a x ∈，则,(0x ))(0x f 是否一定为曲线)(x f 的拐点？举例说明．本节作业总结：14第五节 函数的极值与最大值最小值1．填空与选择：（1）设)(x f 在点0x 可导．则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的（ ）（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件．（2）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ ）（A ）0x x =是)(x f 的唯一驻点； （B ）0x x =是)(x f 的极大值点； （C ）)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负；（D ）)(x f ''不为零．（3）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( )（A ）取得极大值； （B ）取得极小值； （C ）无极值； （D ）不一定有极值．（4）设00()()0f x f x '''==，0()0f x '''>，则下列选项正确的是( )．（A ）0()f x '是'()f x 的极大值； （B ）0()f x 是()f x 的极大值； （C ）0()f x 是()f x 的极小值；（D ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．（5）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为 ，最小值为 ．（6）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内可导，且0()1(0)0,l i m s i n2x f x f x →''==-，则)0(f 是)(x f 的极___ __值．2． 求下列函数的极值：（1）()3/223xx x f -=．15（2）x x x f 1)(=．3．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）14123223+-+=x x x y ，]4,3[-．（2）y x =+[0,4]．4．过椭圆12222=+by ax 上位于第一象限的点(,)M x y 引切线，此切线与坐标轴构成一个直角三角形，使此三角形的面积为最小，求(,)M x y ．5．某厂每批生产某种商品x单位的费用为()5200=+，得C x x到的收益是2R x x x=-，问每批生产多少单位时才能使()100.01利润最大？本节作业总结：6．工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km．欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省,问D点应选在何处？1617第六节 函数图形的描绘1．求22)1(x x y -=的渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形．本节作业总结：18第七节 曲率1．填空：（1）曲线9)2()1(22=-+-y x 上任一点的曲率为 ，b kx y +=上任一点的曲率为__ __．（2）曲线ln y x =在点 处曲率半径最小，曲率半径为 ．（3）曲线x e x y +=sin 的弧微分=ds ． 2．求常数c b a 、、，使c bx ax y ++=2在0=x 处与曲线xe y =相切，且有相同的凹向与曲率． 3． 曲线弧)0(sin π<<=x x y 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径．本节作业总结：19第三章 自测题1．填空与选择： （1）设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在a 点处( )（A ）()f x 的导数存在 , ()0f a '≠且； （B ）()f x 取得极大值；（C ）()f x 取得极小值； （D ）()f x 的导数不存在．（2）已知()f x 在[,]a b 可导，且方程()0f x =在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么()0f x '=在(,)a b （）根（A ）必有； （B ）可能有； （C ）没有；（D ）无法确定．（3）已知)(x f 对一切x 满足xe xf x x f x --='+''1)]([3)(2．若0)(0='x f （00≠x ），则（ ）．（A ）)(0x f 是)(x f 的极大值； （B ）)(0x f 是)(x f 的极小值；（C ）))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；（D ）)(0x f 不是)(x f 的极值，且))(,(00x f x 也不是曲线)(x f y =的拐点．（4）011lim cot sin x x xx →⎛⎫-=⎪⎝⎭． （5）函数)1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加． （6）曲线2(2)(3)1x x y x -+=-的渐近线是 ．（7）曲线42y ax x =-拐点的横坐标为1x =，则常数a = ． 2．求下列极限： （1）0lim ln (0)mx x xm +→>．20（2）sin 0lim xx x+→．（3）2)1ln(sin 1tan 1limxx x xx x -++-+→．3．欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？4．当02x <<时，证明：24ln 23x x x x ≥+-．215．已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-．6．考研题练练看：（1）（2012年数学一，4分）曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3． （2）（2011年数学一，4分）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）（A ）(1,0)； （B ）(2,0)； （C ）(3,0)； （D ）(4,0)．（3）（2010年数学二，4分）曲线322+1xy x =的渐近线方程为 ． （4）（2012年数学一，10分）证明：21lncos 112x xx x x++≥+-(11)x -<<．（5）（2011年数学一，10分）证明：110ln(1)lim zex x x -→+⎛⎫⎪⎝⎭．22（6）（2010年数学二，10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且100(1)3f f ==（），，证明：存在11(0,),(,1)22ξη∈∈，使得22()()f f ξηξη''+=+．（7）（2011年数学一，10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数,其中k 为参数．本章作业纠错与总结：23数学家生平简介： 罗尔：罗尔是法国数学家．1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎．罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得．1682年，他解决了数学家奥扎南提出的一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员．1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水．此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世．罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程0)(=x f 的两个相邻的实根之间，方程0=')x (f 至少有一个根． 1846年，尤斯托．伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理． 拉格朗日：拉格朗日（Lagrange ），法国数学家、物理学家，1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎．17岁时，在偶然读到哈雷的一篇介绍牛顿微积分的短文《论分析方法的优点》后，对数学产生了兴趣．1753年他尚未从都灵炮兵学校毕业，就担任了该校数学课教学工作，1755年9月成为该校教授．1756年经欧拉推荐，被提名为柏林科学院通讯院士．1759年成为柏林科学院院士，1776年被评为彼得堡科学院名誉院士，1783年成为都灵科学院名誉主席及伦敦皇家学会会员．1795年任新成立的巴黎高等师范学院数学教授，巴黎理工学院的第一位几何教授与第一任校长．后被路易十六授与伯爵爵位．拉格朗日是18世纪的伟大科学家，他在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，研究力学和天文学的主要目的是为了表明数学分析的威力。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ．4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
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>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用的习题库（201511）
《⾼等数学》第三章微分中值定理与导数的应⽤的习题库（201511）第三章微分中值定理与导数的应⽤⼀、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以⾄少存在⼀点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
厦门理工学院高数答案练习题微分中值定理与导数的应用
高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系 专业 班 姓名 学号§3.1 微分中值定理一．选择题1． 在区间[]1,1-上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ](A)()2321f x x =+ （B ）()211f x x=- （C ）()f x = （D ）()2132f x x x =-+ 2． 若)(x f 在),(b a 内可导,1x 、2x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使得 [ C ] （A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （b a <<ξ）； （B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ （b x <<ξ1）； （C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）； （D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ （2x a <<ξ）3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] （A ）212)(xxx f +=,[1,1]- （B ）x x f =)(,[1,2]- （C ）254)(23-+-=x x x x f , [0,1] （D ）)1ln()(2x x f +=,[0,3]4．设)(x f ，)(x g 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有 [ A ] （A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 二．填空题1． 对函数r qx px x f ++=2)(在区间],[b a 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的ξ 2． 若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则()0f x '=有 3 个根,它们分别位于区间 （0,1）; (1,2); (2,3) 内. 三．证明题1． 当0a b <<，试证：ln b a b b ab a a--<< 证：令=)(x f x ln ， 可知 )(x f 在],[b a 连续，在),(b a 上可导由拉格朗日定理可知，存在 ),(b a ∈ξ 使得 a ba b a b a b f ln ln ln )(1))(('=-=-=-ξξ 又b a <<<ξ0， 所以ab 111<<ξ， 且 0)(>-a b ， 即ln b a b b ab a a--<<。
中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
高等数学3.1----微分中值定理习题带答案
37第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、填空题1.函数221y x x =-+在[1,1]-上满足拉格朗日中值定理的ξ=0.2.函数32()29123f x x x x =-+-的驻点为121,2x x ==.3.在曲线33(11)y x x x =--≤≤上，平行于连接曲线弧两端点的弦的切线方程为提示：曲线的两端点分别为(1,2),(1,2)--，从而切线斜率为2-，又 233y x '=-，2332x ∴-=-即33x =±，∴切点33,,33⎛⎛-⎝⎝∴切线方程为22y x y x +=+=-.二、单项选择题1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是A .A．256,y x x=-+[2,3]B.e ,xy x -=[0,1]C.y =[0,2]D.1,51,5x x y x +<⎧=⎨≥⎩，[0,5]提示：选项C 在点1x =不连续，选项D 在点5x =不连续，选项B 中使e (1)xy x -'=-为零的点为1(0,1)∉.2.函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的ξ=B .A.0B.1C.12D.323.设1,0,()a b ab f x x<<=，则a x b <<时，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立的ξC .38A .只有一点B.只有两点C.不存在D.是否存在与,a b 取值有关三、解答题1.已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==.求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-.证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()00,00,F f ==()()110F f ==，即()()01F F =；由罗尔定理可得，在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'=；故()()0f f ξξξ'+=，即()()f f ξξξ'=-．2.证明恒等式πarctan arccot 2x x +=.证明：令()arctan arccot f x x x =+，则()2211011f x x x'=-=++，故(),f x C =()x -∞<<+∞．令0x =得π2C =，所以πarctan arccot 2x x +=．3.试用拉格朗日中值定理证明：当1x >时，不等式e e xx >成立.证明：令()e xf x =，则()f x 在区间[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一点(1,)x ξ∈，使得e e e (1)xx ξ-=-，由于1ξ>，所以e e ξ>，从而e e e (1)e(1)x x x ξ-=->-，即e e xx >．4.证明方程510x x +-=只有一个正实根.证明：令()51f x x x =+-，则()()01,11f f =-=；由零点定理得，函数()f x 在()0,1内至少有一个零点．故方程510x x +-=至少有一正实根．下面证明唯一性（反证法）．假设有两个正实根()1212,x x x x <，则()()120f x f x ==．又()f x 在[]12,x x 上连续，在()12,x x 内可导，由罗尔定理可得，至少存在一点()12,x x ξ∈，39使得()0f ξ'=，即4510ξ+=，不成立，从而假设不成立，所以方程510x x +-=只有一个正实根.。
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB. x ln lnC.xln 1D. )2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间[2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 12.函数21,y x =+在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D. 1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【】A.13±B. 13C. 13- D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小C.单调减小，单调增加D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
《高等数学》第三章-微分中值定理与导数的应用的习题库(201511)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（ ） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（ ）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题(附答案)
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题 （每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。
3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。
5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0_______。
3微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2． 求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ． 证明： 因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ． 证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=， 故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。