高中数学-归纳推理

解：分别把n=1,2,3,4代入an1
an 1 an
得:
1
1
1
1
a2 2 , a3 3 , a4 4 , a5 5
归纳:
1 an n
可用数学归纳法证明 这个猜想是正确的.
例2.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
1.每次只能移动一个金属片;
2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多
少次? 2
1
3
分析： 我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其 中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数。
设 an为把 n 个金属片从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 把第1个金属片从1到3.
n＝2时，a2＝3
把第1个金属片从1到2; 把第2个金属片从1到3;
把第1个金属片从2到3.
n＝3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，
a3 31 3
a2 1 a2
把上面两个金属片从1到2; 把第3个金属片从1到3; 把上面两个金属片从2到3.
分
纳
析
结 论
3，归纳推理的特点:
1. 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得 的结论是属未知的一般现象,该结论超越了前提所包 容的范围。 2.归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实, 还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学 证明的工具。注意：归纳推理的结论不一定成立
4，归纳推理的作用：发现新事实、获得新结论
例1:观察下图,可以发现 1 2 3 4 5 6
1=12， 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+…5+…7+9=25=52，
1你+能3否+从…中+归(2纳n出－一1般)性=n法2则．?
例1、由下图可以发现什么结论？
费马猜想：任何形如 22n 1(n N*）的数都是质数． 半个世纪之后，欧拉发现第5个费马数：
F5 225 1 4294967297
641 6700417, 并不是素数。
从而推翻了费马猜想。
练习:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
• 1+3=4=22，
• 1+3+5=9=32，
• 1+3+5+7=16=42，
• 1+3+5+7+9=25=
52，
• ……
猜想：前n个连续正奇数的和等 于n的平方，即
1+3+…+(2n－1)=n2
例2.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16Байду номын сангаас
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间
的关系式为： F＋V－E＝2 欧拉公式
——归纳推理
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
1742年哥德巴赫观察到
4 22 6 33 8 3 5 10 3 7 5 5 12 5 7 14 3 11 7 7 20 3 17 7 13 30 13 17
猜想：
任何 一个大于2的偶数总可以表示成两个质数之和。
任何 一个不小于6的偶数总可以表示成两个奇质数之和。
到一般的推理。
例如:由铜、铁、金等金属能导电,
归纳出:一切金属都能导电. 统计学中，通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，
进而对整体做出推断，这也是归纳推理。 注意：归纳推理的结论不一定成立
2，归纳推理的一般步骤：
• ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳
整理；
• ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； • ⑶ 检验猜想即证明。
a 1 a 把第3个金属片从1到3;
2
2 把上面两个金属片从2到3.
2
1
3
n=1时, a1 1 n=2时, a2 3 n=3时, a3 7 a2 1 a2 n=4时, a4 a3 1a3 15
2
1
3
n=1时, a1 1 n=2时, a2 3 n=3时, a3 7 a2 1 a2 n=4时, a4 15 a3 1 a3
2
1
3
设 an为把 n 个金属片从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 把第1个金属片从1到3.
n＝2时，a2＝3
把第1个金属片从1到2; 把第2个金属片从1到3;
把第1个金属片从2到3.
n＝3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，
a3 3 1 3 把上面两个金属片从1到2;
L an 2an1 1
1,
n1
an
2an1
1,
n
2
构造法 an +1=2（an-1+1）
数列{an+1}是首项为2公比为2的等比数列
an 1 2n
an 2n 1
法国数学家费马观察到： 221 1 5,
222 1 17, 223 1 257, 224 1 65 537 都是质数
n ＝1时，a1＝1 把第1个金属片从1到3.
2
1
3
设 an为把 n 个金属片从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 把第1个金属片从1到3.
n＝2时，a2＝3 把第1个金属片从1到2;
把第2个金属片从1到3; 把第1个金属片从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个金属片从1号针移到3号针的最少次数，则
法2、构造法 取倒数得：
1 1 1
an1
an
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
归纳推理的一般步骤：
观
具
体
察
归
猜 测
事 例
分
纳
析
结 论
例5.如图所示有三根针和套在一根针上的若干金属片.按
下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
2 例如：3
2 3
1 1
,
2 3
2 3
2 2
,
2 3
2 3
3 3
,
由此我们猜想:
b a
bm am
(a,b, m均为正实数）
1，定义：由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征
的推理,或者由个别事实概括出一般结论
的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
5、归纳推理的一般模式:
S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
6、归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
• ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
归纳推理的一般步骤：
观
具
体
察
归
猜 测
事 例