线性规划与单纯形法
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一、线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理 论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特 别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策 变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为 广泛了。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、 商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领 域都可以发挥作用。它已是现代科学管理的重要手段 之一。
s.t. a21x1+a22x2+….+a2nxn (=, )b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn (=, )bm x1, x2, …., xn 0
线性规划问题的简写形式
n
max Z c j x j j 1
n
a ij x j b i j1
x
j
0
i 1,2,... m j 1,2,..., n
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
线性函数
+
线性等式 线性不等式
线性规划
例1.2 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见下图)，流经第一化
工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂 之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
• 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4 万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二 化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求， 河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
第1工厂投污水的水： 质 (2要x1)求 2 500 1000
第2工厂投污水的水： 质要求
[0.8(2x1)(1.4x2)] 2
500200
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
将一般线性规划化成标准型
四点要求: ➢ 求max ➢ 等式约束 ➢ bi 0 ➢ xi 0
(1) 若目标函数是求最小值: min Z = CTX 令 Z’ = Z, 则化成 max Z’= CTX
注意: 因为 min Z = max(Z ) 所以变换后的最优解不变，最优值变号。
(2) 若约束条件是不等式
1)若约束条件是“ ” 不等式， 则不等式左边 “加上” 非负的松驰变量；
如：2X1+2X2≤12 令X3=12-2X1-2X2 则有 2X1+2X2+X3=12
2)若约束条件是“ ” 不等式， 则不等式左边 “减去” 非负的松驰变量。
如：10X1+12X2≥18 令X4=10X1+12X2-18则有 10X1+12X2-X4 =18 为了使添加松驰变量不影响原来的目标，添
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
加松驰变量在目标函数中的系数为0。
(3) 若约束条件右面的某一常数项 bi<0, 这时只要在 bi 相对应的约束方程两边乘 1。
bm
0 0 0= ... 0
线性规划问题的标准形式
max Z = c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn = b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn = bm x1, x2, …., xn 0 其中：bi 0, i=1, 2,…., m.
• 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化 工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第 二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。
• 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理 多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费 用最小。
建模型之前的分析和计算
设：
第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
线性规划的矩阵形式
max Z = CTX s.t. AX=b X0
Biblioteka Baidu
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
a11 a12 …. a1n A = a21 a22 …. a2n
……………………………
am1 am2 …. amn
c1 c2 C=
…
cn
x1 x2 X=
…
xn
b1 b = b2
……….
➢ 有一个要达到的目标，是决策变量的线性函数， 实现最大化或最小化。
➢ 有使用各种资源的约束条件，用等式或不等式 表示。
线性规划模型的表示形式
• 一般形式 • 简写形式 • 矩阵形式 • 标准形式 • 将一般线性规划化成标准形
线性规划问题的一般形式
max(min) Z = c1x1+c2x2+…..+cnxn a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理 论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特 别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策 变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为 广泛了。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、 商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领 域都可以发挥作用。它已是现代科学管理的重要手段 之一。
s.t. a21x1+a22x2+….+a2nxn (=, )b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn (=, )bm x1, x2, …., xn 0
线性规划问题的简写形式
n
max Z c j x j j 1
n
a ij x j b i j1
x
j
0
i 1,2,... m j 1,2,..., n
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
线性函数
+
线性等式 线性不等式
线性规划
例1.2 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见下图)，流经第一化
工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂 之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
• 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4 万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二 化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求， 河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
第1工厂投污水的水： 质 (2要x1)求 2 500 1000
第2工厂投污水的水： 质要求
[0.8(2x1)(1.4x2)] 2
500200
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
将一般线性规划化成标准型
四点要求: ➢ 求max ➢ 等式约束 ➢ bi 0 ➢ xi 0
(1) 若目标函数是求最小值: min Z = CTX 令 Z’ = Z, 则化成 max Z’= CTX
注意: 因为 min Z = max(Z ) 所以变换后的最优解不变，最优值变号。
(2) 若约束条件是不等式
1)若约束条件是“ ” 不等式， 则不等式左边 “加上” 非负的松驰变量；
如：2X1+2X2≤12 令X3=12-2X1-2X2 则有 2X1+2X2+X3=12
2)若约束条件是“ ” 不等式， 则不等式左边 “减去” 非负的松驰变量。
如：10X1+12X2≥18 令X4=10X1+12X2-18则有 10X1+12X2-X4 =18 为了使添加松驰变量不影响原来的目标，添
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
加松驰变量在目标函数中的系数为0。
(3) 若约束条件右面的某一常数项 bi<0, 这时只要在 bi 相对应的约束方程两边乘 1。
bm
0 0 0= ... 0
线性规划问题的标准形式
max Z = c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn = b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn = bm x1, x2, …., xn 0 其中：bi 0, i=1, 2,…., m.
• 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化 工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第 二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。
• 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理 多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费 用最小。
建模型之前的分析和计算
设：
第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
线性规划的矩阵形式
max Z = CTX s.t. AX=b X0
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C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
a11 a12 …. a1n A = a21 a22 …. a2n
……………………………
am1 am2 …. amn
c1 c2 C=
…
cn
x1 x2 X=
…
xn
b1 b = b2
……….
➢ 有一个要达到的目标，是决策变量的线性函数， 实现最大化或最小化。
➢ 有使用各种资源的约束条件，用等式或不等式 表示。
线性规划模型的表示形式
• 一般形式 • 简写形式 • 矩阵形式 • 标准形式 • 将一般线性规划化成标准形
线性规划问题的一般形式
max(min) Z = c1x1+c2x2+…..+cnxn a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数