人教版九年级数学上册抛物线背景下的综合题(教师版)

抛物线背景下的综合题

知识考点：1、二次函数的概念和图像；

2、二次函数的解析式；

3、二次函数的最值；

4、二次函数的性质.

知识补充：1、两点间距离公式：点A 坐标为（x1，y1）点B 坐标为（x2，y2）则AB 间的距离，即线段AB 的长度为 ()()221221y y x x -+-

2、二次函数与一元二次方程的关系：

当 ∆>0时，二次函数图像与x 轴有两个交点；

当 ∆=0时，二次函数图像与x 轴有一个交点；

当 ∆<0时，二次函数图像与x 轴没有交点.

1．已知函数m x m x y 2)3(2

+-+-=（m 为常数）．

（1）试判断该函数的图象与x 轴的公共点的个数；

（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数642++=x x y 的图象上；

（3）若直线y=x 与二次函数图象交于A 、B 两点，当﹣4≤m ≤2时，求线段AB 的最大值和最小值。

1．(1)∵△=(m −3)2+8m=(m+1)2+8>0，

则该函数图象与x 轴的公共点的个数2个， ………………………2分

（2）y=-x 2+（m -3）x+2m

=-（x - ）2+………………………4分 把x=代入y=x 2+4x+6=（x+2）2+2

y=（+2）2+2=+2………………………6分

= ………………………8分

则不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=x 2+4x+6的图像上。

（3）设直线y=x 与y=-x 2+（m -3）x+2m 的交点为A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）,联立方程有： ⎩⎨⎧+-+-==m

x m x y x y 2)3(2得：x 2-(m -4）x -2m=0 ……………9分 ∴x 1 + x 2=m -4,x 1x 2=-2m

∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2

=(m -4）2-4(-2m) ………………………10分

=m 2+16 ………………………11分

（也可用求根公式求得该式） ∴AB =1622 m ………………………12分

∵﹣4≤m ≤2

∴当m=0时，min AB =24，………………………13分 当m=-4时，max AB

=8 (14)

2．已知抛物线y=x 2+bx +c 的对称轴L 交x 轴于点A ．

（1）若此抛物线经过点（1，2），当点A 的坐标为（2，0）时，求此抛物线的解析式； （2）抛物线y=x 2+bx +c 交y 轴于点B ，将该抛物线平移，使其经过点A ，B ，且与x 轴交于另一点C ，若b 2=2c ，b ≤﹣1，设线段OB ，OC 的分别为m ，n ，试比较m 与n +

的大小，并说明理由．

【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）先求得A 、B 点的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=（x ++h ）2++k ，代入A 、B 的坐标，求得，从而求得平移后的解析式为y=（x ++）2+﹣

=x 2+bx +b 2，然后求得C 的坐标，即可求得m=﹣，n=﹣b ，即可判断m 与n +的大小．

【解答】解：（1）根据题意得

解得，

∴此抛物线的解析式为y=x 2﹣4x +5；

（2）由抛物线y=x 2+bx +c 交y 轴于点B ，对称轴l 交x 轴于点A ．

∴B （0，c ），A （﹣

，0）， ∵b 2=2c ，

∴c=

∴y=x 2+bx +c=x 2+bx +

=（x +）2+，

设平移后的抛物线的解析式为y=（x++h）2++k，

∵其经过点A，B，

∴

解得，

∴平移后的抛物线的解析式为y=（x++）2+﹣=x2+bx+b2，

令y=0，则x2+bx+b2=0，

解得x1=﹣，x2=﹣b，

∴C（﹣b，0），

∴m=﹣，n=﹣b

3.如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．

（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；

（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；

（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；

（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．

【解答】解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，

∴C（0，3a），

∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，

∴D（2，﹣a）；

（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣1=2，

∴S△ABD=1

2

×2×a=a，

如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，

把C、D的坐标代入可得

3

2

b a

k b a

=

⎧

⎨

+=-

⎩

，解得

2

3

k a

b a

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=3

2

，

∴E（3

2

，0），

∴BE=

3

3

2

-=

3

2

∴S△BCD=S△BEC+S△BED=1

2

⨯

3

2

×（3a+a）=3a，

∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；