回归分析的基本思想及其初步应用

新课标数学选修1－2

1．1回归分析的基本思想及其初步应用

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析以解决实际应用问题．了解最小二乘法的推导，解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想，了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析．掌握利用计算器求线性回归直线方程参数及相关系数的方法．

2．过程与方法

通过收集数据作散点图，分析散点图，求回归直线方程，分析回归效果，利用方程进行预报．

3．情感、态度与价值观

培养学生利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系．

●重点难点

重点：回归分析的基本方法、随机误差e的认识、残差图的概念、用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．

难点：回归分析的基本方法、残差概念的理解及拟合效果的判定、非线性回

归向线性回归的转化．

教学时要以残差分析为重点，突出残差表和R2的计算，通过举例说明相关关系与确定性关系的区别，说明回归分析的必要性及其方法．借助例题使学生掌握作散点图、求回归直线方程的方法，通过作残差图、计算R2让学生掌握拟合效果的判断方法．对于非线性回归问题重点在如何转换，引导学生分析总结转化方法和技巧，从而化解难点．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课建议教师采取探究式教学，把“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，把“给出知识”的过程转变为“引起活动，让学生探究知识的过程”，把“完成教学任务”转向“促进学生发展”，让学生成为课堂上的真正主人．在教学中，知识点可由学生通过探索“发现”，让学生充分经历探索与发现的过程，并引导学生积极解决探索过程中发现的问题．教学中不要以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，例题的解答也要由学生探讨、教师点拨，共同完成．要注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理能力．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生探讨，从而引出回归分析、线性回归模型、刻画回归效果的有关概念及解决方法．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上分析回答例题1的问题，并总结规律方法，完成变式训练．引导学生分析例题2，根据图中的数据计算系数，求出回归方程，列出残差表，求出R2并判断拟合效果，完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法，并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．通过老师启发引导，完成例题3，并要求学生借鉴例题3的解法完成变式训练．引导学生分析例题3，让学生作出散点图，观察相关性，引出问题，即如何使问题转化为相关关系并用线性回归分析二者关系．

课标解读

1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系．(重点)

2．会求回归方程，掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模

型．(重点、难点)

线性回归模型

一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

转速x(转/秒)1614128

每小时生产有缺

陷的零件数y(件)

11985 1.

【提示】

2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？

【提示】有．

3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？

【提示】可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．(1)回归直线方程：y

^＝b^x ＋a^，其中：

b^＝∑

i＝1

n

(x i－x)(y i－y)

∑

i＝1

n

(x i－x)2

，a

^＝y－b^x，x＝1

n

∑

i＝1

n

x i，

y＝1

n

∑i＝1

n

y i.

(2)变量样本点中心：(x，y)，回归直线过样本点的中心．

(3)线性回归模型：y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，a和b是模型的未知参数，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．

刻画回归效果的方式

残差

对于样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)的随机误差的估计值e^i＝y i－y^i，

称为相应于点(x i，y i)的残差

残差图利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称

为残差图

残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高

残差平方和残差平方和为∑

i＝1

n

(y i－y^i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好

相关指

数R2R2＝1－

∑

i＝1

n

(y i－y^i)2

∑

i＝1

n

(y i－y)2

，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，

R2越接近于1，表示回归的效果越好

回归分析的有关概念

①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学

方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系

^＝b^x＋a^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因表示；③通过回归方程y

为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检

验．

其中正确命题的个数是()

A．1B．2C．3D．4

【思路探究】可借助于线性相关概念及性质逐一作出判断．

【自主解答】①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程y^＝b^x＋a^的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．【答案】 C

1．解答例1中④时，必须明确具有线性相关关系的两个变量间才能求得一个线性回归方程，否则求得的方程无实际意义．因此必须先进行线性相关性判断，后求线性回归方程．

2．回归分析的过程：

(1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点；

(2)由样本点形成散点图，判断是否具有线性相关关系；