光学第一章 - 费马原理与变折射率光学

n1 sin i1 n2 sin i2
n1 sin i1 n2 sin i2
临界角 (critical angle)
当光从光密介质射向光疏介质（n1>n2)时， 如果入射角大于（全反射）临界角iC, 入射光将全部返回光密介质，发生全反射 (total internal reflection)。
第一章 费马原理与变折射率光学
第一章 费马原理与变折射率光学
一、惠更斯原理 二、费马原理 三、成像 四、共轴球面光具组傍轴成像 五、薄透镜 六、理想光具组理论 七、矩阵光学 八、光学仪器简介 九、像差 十、光纤及变折射率光学
第一章 费马原理与变折射率光学
一、惠更斯原理 二、费马原理 三、成像 四、共轴球面光具组傍轴成像 五、薄透镜 六、理想光具组理论 七、矩阵光学 八、光学仪器简介 九、像差 十、光纤及变折射率光学
惠更斯原理的不足:
不能回答光振幅或光强的传播问题; 不能回答光位相的传播问题。
惠更斯－菲涅耳原理 光场衍射理论的诞生
惠更斯原理的精华:
次波源的概念。
第一章 费马原理与变折射率光学
一、惠更斯原理 二、费马原理 三、成像 四、共轴球面光具组傍轴成像 五、薄透镜 六、理想光具组理论 七、矩阵光学 八、光学仪器简介 九、像差 十、光纤及变折射率光学
◈折射定律和速度比
光粒子说：
sin i1 v2 const sin i2 v1
1850年傅科和斐索测量了光速， 光波动说又一次得到了证实。
折射率：
In optics the refractive index or index of refraction n of a substance (optical medium) is a dimensionless number that describes how light, or any other radiation, propagates through that medium. It is defined as n=c/v, where c is the speed of light in vacuum and v is the speed of light in the substance.
(t) (t+t)
(t+t) (t)
(t+t) (t)
相控阵雷达
相位控制阵列雷达 Phased Array Radar
惠更斯原理导出折射定律 i1 i2
v1
c n1
v2
c n2
入射角为i1的平面波，波前为ABC
v1 n1 v2 n2
C
i1 B
B0
A
C’
C→C’
的时间：t
CC v1
'
B’
A’
i2
定的相邻路径（邻域函数），y(0, x)=y(x)则是真实路径。
引入 J J d, y y d
极值条件要求 J=0
f d f 0 y dx y '
例: 假设大气的光折射率n只依赖于高度y, 利用费马原理导出在 大气中光线轨迹的微分方程；
【解】 根据费马原理，光程的变分为零．
L y(x)
二. 费马原理(Fermat’s Principle)
几何光学的基础是前面所提到三个实验定律。 费马却采用光程的概念高度概括地把它们归结成 一个统一的原理。
*原理表述 *数学表达 *导出反射定律、折射定律 *费马原理与成像 *费马原理的评述
17世纪的一位法国数学家，提出了 一个数学难题，使得后来的数学家一筹 莫展，这个人就是费马(1601—1665)。
虚光程 虚光程的计算：
V1
V2 L(NiQ') n'NiQ'
Vi
L(QM1N1)+L(N1V1) L(QM 2N2 ) L(N2V2 )
L(N1V1) n '(V1Q ' N1Q '), L(N2V2 ) n '(V2Q ' N2Q '), V1Q ' V2Q '
L(QM1N1) L(N1Q') L(QM2N2 ) L(N2Q') L(QMi Ni ) L(NiQ') ...
平面波(plane wave)：波面是一些平行平面的波。 球面波(spherical wave)：波面是一些同心球面(可
以是球面的一部分)的波。 波线(ray)：沿波传播方向的射线 光线
在各向同性的媒质中，波线 ⊥ 波面。
Wave surface(波面) Wavefront(波前) Ray(波线) 波前
费马原理：光线沿光程为平稳值的路径而传播。
P
Q
P
L(QP) n(r)ds
Q (l)
平稳值的三种基本的含义：
平稳值
极小值 常见情况， 常数 成像系统的物像关系 极大值 个别现象
费马原理的数学表达式
P
路径积分 L(QP) n(r)ds L(l)
Q (l)
积分是路径(l)的泛函，平稳值要求变分为零。
y
Q(x1, y1)
A
i1
n1
M(x, 0)
n2
i2
B
根据费马原理，
L=0, L对x的一阶导数为零；
x P(x2,y2)
dL dx
n1
y12
x x1 (x x1)2
n2
x2 x
0
y22 (x2 x)2
dL dx
n1
QA QM
n2
PB PM
n1 sin i1 n2 sin i2
0
要点： 反射光线在入射面内， 反射角(i’)等于入射角(i)， 光程最短。
3、折射定律 y
Q(x1, y1)
A
i1
n1
M(x, 0)
x
n2
i2
B
P(x2,y2)
(1)折射光线在入射面内，方法和反射定律推导一样。 (2)入射角和折射角的关系；
QMP的光程：
L n1QM n2 MP n1 y12 (x x1)2 n2 y22 (x2 x)2
A →A’:
AA'
v2
t
v2 v1
CC
'
由C’点向圆A作切线C’A’
次波面的公切面：A’B’C’
次波中心和切点的连线AA’折射光的传播方向， 折射角为i2:
sin
i1
CC AC
' '
,
sin i2
AA ' AC '
v2 v1
CC ' AC '
证明：B点的次波t时刻的波前也和AA’相切。
折射定律：
sin i1 v1 const sin i2 v2
定义 n c
v
真空中的光速 介质中的光速
宏观表现
v c, n
0 ,
n
n1 sin i1 n2 sin i2
n 0
真空中的波长 介质中的波长
微观机制 n （常见介质n ）， P 0 E
色散
n n()
线性介质中,时间频率 f=f0
Every point on a propagating wavefront serves as the source of spherical secondary wavelets, such that the wavefront at some later time is the envelope of these wavelets.
1 c
L(QP )
或
L(QP) ct
光程的另一角度认识— 光程等于传播时间乘以真空光速。
思考题：反射光束、折射光束的等光程性
反射光束：L(A1AA’1)= L(B1BB’1) =L(C1CC’1) 折射光束：L(A1AA2) = L(B1BB2) =L(C1CC2) 反过来，等光程性可以推出折射定律和反射定律
变分法
变分法的基本问题是确 定函数y(x),从而使积分
x2
J f y(x), y '(x), xdx x1
具有极值。 式中 y(x) 称为应变量，
y(x)+1(x)
变
分
路
径
y(x)
变分路径
y(x)+2(x)
y '(x) dy / dx
x1
x2 x
用y(, x)=y(0, x)+(x)表示用无限小参量 标记的某组特
b
n( y)ds
b
n( y)
1 y2 dx
a
a
不显含x
d dx
(
f
y
f ) y
f x
y
f y
d dx
(yf )
y
'
f y
d dx
(
yf )
0
f
y f y
c0
n( y) 1 y2
c0
若为路径的切线和铅垂线所构成的角度，即
y dy cot , sin 1

dx
1 y2
若如果折射率n是位置的连续函数，则 n(y)sin const
将光在介质中通过的几何路程折算为真空中通过的路程
（Q→P)光程的表达式：
同一种均匀介质：L(QP) nl 比如透镜组：
l n
P
Q
L(QP) n1l1 n2l2 nili
n2
n3
n1 l2
l3
l1
Q
i
n4
l4 P
变折射率介质：
n(r)
P
L(QP) Q n(r)ds
P ds
Q
光程与相位差
P N
M
Q
Q→M →N →… →P,相位逐点落后；
( P)
即：
(Q)
2
(
1
l1
2 2
l2
)
i
2 i li
(P) (Q) 2
0
i
nili
2 0
L(QP )
光程与时差
QP的传播时间：
t tP tQ
i
ti
i
li vi
P N M Q
介质中光速用真空光速和折射率代替：
t 1
c
i
nili
这 道 题 是 这 样 的 ： 当 n>2 时 ， xn+yn=zn 没有正整数解。在数学上这称为“费马大 定理”。
为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次 悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但 是300多年过去了，至今既未获得最终证明， 也未被推翻。
即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100 万时，费马大定理是正确的。
若应用到分界面上,就得到折射定律 n1 sin1 n2 sin2
费马原理 (极大值)
Q
半球镜面反射 光程为最大值：
L(QP)=2.82R
最小值为直线 QP=2R
C
P
R
费马原理 (极小值：三个实验定律）
1、光在均匀介质中直线传播
2、反射定律
Q
P
i i’
M （待定点）
M’ M”
Q’ （Q的镜像点）
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几 何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿 奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了 关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子 赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
光程(optical path length)： 光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的乘积。
波面
*
Spherical wave
波线
Plane wave
球面波
抛物面波 平面波
惠更斯原理
光扰动同时到达的空间曲面称为波面或波前， 波前上的每一点都可以看成一个新的扰动中心， 称为子波源或次波源。
次波源向四周发出次波(secondary wavelet)。 下一时刻的波前是这些大量次波面的公切面， 或称为包络面； 次波中心与其次波面上的那个切点的连线方向 给出了该处光传播方向。
由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公 布结果，于是留下数学难题中少有的千古之谜。
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律 师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书， 哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学， 直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极 少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思 想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的 思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他 读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的 评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数 学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为 “业余数学家之王”。
P
n(r)ds 0，或 L(l) 0
Q (l)
A light ray in going from point Q to point P must traverse an optical path length that is stationary with respect to variations of that path.
iC arcsin(n2 / n1)
钻石之光彩夺 目乃是由于它 的高折射率及 小临界角时的 光线容易在其 中发生全反射。
4.费马原理（常数：成像——物象等光程性）
同心光束 同心光束 （几何光学） L(QM1N1Q ') L(QM 2N2Q ') L(QMi NiQ ')
球面波 球面波 等相位面 - 等光程 （波动光学）
一、惠更斯原理 (Huygens’ Principle） C. Huygens(1629—1695)
波的几何描述
波面(wave surface)：波在同一时刻到达的各点组成 的面。一个波面上各点是同时开始振动的，具有相 同的相位，波面又称同相面。 波前(波阵面)(wavefront)：最前沿的波面。