天津泰达枫叶国际学校数学三角形解答题(篇)(Word版 含解析)

天津泰达枫叶国际学校数学三角形解答题（篇）（Word 版 含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．

（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；

（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；

（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=

；（3）75°． 【解析】

【分析】

（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；

（2）∠DCE ＝2αβ

- ．

（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出

∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=

12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】

解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，

又因为CE 是∠ACB 的平分线，

所以1352

ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线，

所以∠ADC ＝90°，

所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°， 所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．

（2）DCE 2αβ

-∠=．

（3）如图，作∠ACB 的内角平分线C E′，

则152DCE αβ

-'==︒∠．

因为CE是∠ACB的外角平分线，

所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11

+

22

ACB ACF

∠∠＝

1

(+)

2

ACB ACF

∠∠＝90°，

所以∠DCE＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．

即∠DCE的度数为75°．

【点睛】

本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．

2．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β

（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及

α+β=120°推导即可；

（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=1

2

(α+β)，在

△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；

（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得

∠CBE+∠CDH=1

2

(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入

∠CBE+∠CDH=1

2

(α+β)计算即可得出一组内错角相等．

【详解】

（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），

∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°

∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，

∵α+β=120°，

∴∠MBC+∠NDC=120°；

（2）β﹣α=60°

理由：如图1，连接BD，

由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，

∴∠CBG=1

2

∠MBC，∠CDG=

1

2

∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG=1

2

∠MBC+

1

2

∠NDC=

1

2

(∠MBC+∠NDC)=

1

2

(α+β)，

在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，

∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，

∴1

2

(α+β)+180°﹣β+30°=180°，

∴β﹣α=60°，

(3)平行，

理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，

∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，