浅谈在小学数学中数与代数教学中如何渗透数学思想方法

通过复习，自然数、整数，分数，小数，有无限多个；正 数与负数有无数个，是数不完的。一个数的倍数有无限多 个。教材以“像0、1、2、3……这样的数是自然数”以及 “像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数”利用 描述式定义法来界定自然数、整数的概念。通过省略号来 说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。关于倍 数，教材以7为例，14是7的倍数；77是7的倍数，以此追 问学生：“你还能找到7的其他倍数吗？”让学生从数量 上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。
一、数与代数
《课标》指出：培养学生“用数学的眼光去认识自己所生 活的环境和社会”，学会“数学地思考”，即运用数学知 识、方法去分析事物、思考问题。学生数学学习的重要结 果也不再只是会解多少“规范”的数学题，而是能否从现 实背景中“看到”数学、能否应用数学去思考和解决问题。 可见问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学 的灵魂，数学思想在小学数学中的重要性主要在于：它是 联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，对发展学生 的数学能力、提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
再如一位六年级老师布 置了下面这道课后思考 题。 在作业讲评中，教 师不仅要给出答案，更 重要的是启发学生思考： 你是怎样算的？是怎么 想的？其中运用了什么 思想方法？ 结合上图 引导学生概括出其中的 思想与方法：类比思想、 数学建模思想、极限的 思想、数形结合的思想。
教材首先呈现的是我国古代著名哲学著作 《庄子· 天下》中截取木棍的说法，通过语 言文字的形式为极限思想做铺垫。其次教 材采用几何直观的手段，将语言文字转换 成数学符号。以一张长方形纸条为例，首 先截取它的，再截取剩余部分的，此时剩 下的部分占这张纸条的几分之几？最后再 截取剩余纸条的，那么此时余下的纸条占 这张纸条的多少？可以得出算式： 1/2×1/2=□→□×1/2=□。如果将这张纸 条一直剪下去，那么就会有这样一个算式： 1/2×1/2×1/2……=□，其结果是一个趋 于0的数，但是始终不为0。
（2）数的运算 着重复习整数、小数、分数的四则运算，包括四则运算 的意义、计算方法、运算定律及其应用。 例如新教材将“运算定律、性质”整合在一起学习，就是 要突出“归纳类比”的思想方法，发展学生的直觉思维， 促进学生的学习迁移，实现对“运算定律、性质”的完整 认识。当然在学习过程中还要用到“观察，猜想，验证” 等方法。只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想 方法，教师才会去研究落实相应的教学策略，减少盲目性 和随意性。
三、困惑 在实践研究中，我又面临着如下困惑与思考：
1、新课程将数学思想方法纳入到“知识与技能”这 一教学目标范畴，丰富了数学知识的内涵。但在小 学阶段的“内容和要求”中，对数学思想方法的教 学要求略显笼统，没有明确细化为适合不同学段的 数学思想方法，这给教师的教学把握带来一定困难。
2、对小学生数学学习的评价偏重于传统意义上的“双基”， 体现与运用数学思想方法的数学问题偏少，不便考察教师 对数学思想方法的教学效果和学生的数学素养，对于学生 应用数学思想方法促进创造性数学思维活动的评价有待于 进一步的探索。 3、小学数学知识比较浅显，但蕴含着丰富的数学思想，如 何处理好数学知识教学和思想方法之间的关系，以至形成 适合不同学段进行数学思想方法渗透的教学模式，恐怕更 应作深入的思考与实践。
小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有： 数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、 符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思 想方法。 教学中，要明确渗透数学思想方法的意义，认识数学思想 方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌 握、思想的形成，才能使学生受益终生。
根据比和分数、除法的的关系,猜测出比也有相似的性质— —比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）,继而通 过观察、类比、验证探讨得出“比的基本性质”.事实证明, 通过前后知识的联系,让学生很快得出了“比的基本性质”, 不论是学生对比的基本性质的语言描述,还是对化简比的方 法的总结,都留下了学生成功的印记。学生通过类比迁移的 思想方法对比的基本性质做了研究。
二、如何在小学数学教学中渗透数学思想方法
如何在数与代数这一领域在教学中合理渗透数学 思想方法，下面我将根据自己的理解和思考谈一 点浅见：
（1）数的认识
着重复习小学阶段所学数的概念。纵向：包括自 然数、整数、小数、分数、百分数的有关概念， 以及负数的初步认识；横向：包括数的意义、数 的读写法、数的大小比较、数的性质、数的改写。
浅谈在数与代数教学中如何渗透 数学思想方法
孙家小学 -于湖波
“数与代数”是《数学课程标准》标准设计的四个学习领域之 一。在这个内容领域中，把以往数学与计算、代数初步知识、 量与计量的部分内容进行了适当的整合与更新，形成新的学 习内容。新课程中这一领域的主要内容包括：数的认识，数 的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；用字母表示数， 等量关系；简单方程等。
比如在讲质数、合数的概念教学 中让学生用小正方形拼长方形， 把质数、合数的概念潜藏在图形 操作（如右图），明白“质数个” 小正方形只能拼成一个长方形， 而“合数个”小正方形至少能拼 成两个不同形状的长方形（含正 方形），渗透数形结合的思想， 再通过给这些数分类，引入质数、 合数的概念，渗透分类思想。
（5）式与方程 着重复习用字母表示数、简单的方程及应用。
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特 定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如 数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行 推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的 浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。
如：鸡兔同笼， “今有鸡兔同笼， 上有35头，下有94 足。问鸡、兔各几 何?”这是一道反 映特定的数量关系 的、形象而有趣的 算题。
Hale Waihona Puke 在这个思考过程中，首先让学生从头的个数和腿的数 量上构建数学模型，然后采用逐步逼近的数学思想方法， 通过演绎推理和归纳推理不断地验证假设，直到得到答案。 在模型的变幻中用数学的思维方式解释推理，最终形成假 设的数学方法，培养和锻炼学生的推理能力。 数学思想方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能 力的桥梁。教师应站在数学思想方法的高度，以数学知识 为载体，兼顾学生的年龄特点，遵循过程性、反复性、系 统性和显性化的渗透原则，在教学预设、新知探究和小结 复习等途径予以适时地挖掘、提炼和应用，促进学生数学 知识和思想方法地均衡发展，延伸他们的数学学习。
(2)假设法，假设笼中全是兔，就应该有4x35只足，比实际多4×35－94只足，将兔替换成鸡， 每替换1只，就少2只足，因此，(4×35－94)÷(4－2)=23 (只)……鸡，35－ 23=12(只)……兔。
(3)半其足，设想每只鸡处于“金鸡独立”的状态，每只兔都处于“玉兔拜月”的状态，那么， 每只鸡都是1只足，每只兔都是2只足。此时，足的总数比头的总数多几，就表明有几只 兔，进而求出鸡的只数。即：94÷2－35=12(只)……兔，35－12=23(只)……鸡。
（3）量与计量
着重复习小学阶段所学的量，包括长度、面积、体积、容积、 质量、时间等计量单位的进率以及同一种量不同单位的改写。 通过研究长度计量单位之间的转换，迁移到面积，体积，容 积的转化。例如1米=10分米，而在教学生1平方米=多少平 方分米的时候，先让学生自己去猜测，然后让学生理解1平 方米其实就是1米×1米得来的，因此把1米换成10分米，1米 ×1米=10分米×10分米，得出1平方米=100平方分米。学生 在学习的过程中应用了代换的数学思想。
(1)列等量关系式，鸡＋兔=35；鸡×2＋兔×4=94。
假设鸡有1只，则兔有34只，足有138只，不合题意。将1只兔替换成鸡，足就减少2只， 变成136只，不合题意。再假设鸡有10只，则兔有25只，足有120只，仍不合题意。再假 设鸡有20只，则兔有15只，足有100只，还多6只，不合题意。再将3只兔替换成鸡，正 好符合题意。
在“看谁算得巧”一课时，学生计算“1100÷25”主要采用了 以下几种方法：①竖式计算 ②1100÷25＝（1100×4）÷ （25×4 ③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11× （100÷25）⑤1100÷25＝1100÷100×4 ⑥1100÷25＝ 1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引 导学生比较上述方法的异同，结果发现方法①是通法，方法 ②——⑥是巧法。方法②——⑥虽各有千秋，方法③、④、 ⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换，方法⑤类似于估算 中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用 学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种 方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而 获得对数学知识和方法的本质把握。
（4）比与比例
着重复习比和比例的基本知识及其应用以及正反比例的 概念。
在教学《比的基本性质》一课时,我不是简单地给出定义,而 是尽可能完整地再现形成定义之前的分析、综合、比较和 概括等思维过程,揭示隐藏其中的思想方法.本课是学生已经 掌握了商不变的性质和分数基本性质的基础上教学的.六年 级的学生有一定的推理概括能力,他们完全可以根据比与分 数、除法的关系,推导出比的基本性质,所以这节课我充分调 动的思维,先用两组判断题唤起学生对商不变的性质、分数 的基本性质的回忆.