九年级上下册数学培优讲义

DS 金牌数学专题一 一元二次方程㈠
★知识点精讲
1.一元二次方程的概念
⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.
⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .
2.一元二次方程的解法
⑴直接开平方法：针对()
()02≥=+an n a m x
⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a
注：
① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；
②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.
⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.
⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.
注：
⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使
用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.
⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.
典型例题讲解及思维拓展
●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .
⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .
拓展变式练习1
1.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.
2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .
●例2 解下列方程：
⑶0182=+-x x ⑵()()2
221239x x -=-
拓展变式练习2
解下列方程:
⑶8632+-=x x ⑵()()2
221239x x -=-
⑶()()1232=--x x ⑶()2
22596x x x -=+-
⑸04)32(5)23(2=+-+-x x ⑹()()02123122
=++-+x x
⑺()2223n n m x m x =+-- ⑻a x a ax x -=+-222
●例3 已知0132=-+x x ，求
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.
拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()2
1122
3-+---x x x 的值.
2.已知0132=+-a a ，求2219294a a a ++
--的值.
■ 巩固训练题
一、填空题
1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，
则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .
3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.
4.若4
12+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.
5.已知06522=--y xy x ，则y
x 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.
二、解答题
1. 解下列方程：
⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292
=-+x
⑶20x x -
= ⑶ 0813642=+-x x
⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-
2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.
（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？
（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？
■思维与能力提升
1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.
2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.
3.已知()012009200720082
=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()
2003b a +.
4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS
为无理数.
■ 补充讲解
■反思与归纳
DS 金牌数学专题二 一元二次方程㈡
★知识点精讲
1.一元二次方程根的判别式
⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .
⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：
⇔>∆0方程有 的实数根；⇔=∆0方程有 的实数根；
⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根.
2.根系关系（韦达定理）
⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有
a
b x x -=+21，a
c x x =⋅21 ⑵ 推论：
如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：
()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212
212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：
⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.
4.常见题型
⑴ 面积问题；
⑵ 平均增长（降低）率问题；
⑶ 销售问题；
⑷ 储蓄问题.
典型例题讲解及思维拓展
●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.
1.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.
2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.
●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的
值： ⑶
2112x x x x + ⑶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -
1. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：
⑶ 321231x x x x + ⑶ 1
12112+++x x x x ⑶ 21x x -
2.已知关于x 的方程()024
122=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.
●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．
（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？
拓展变式练习3
1. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.
2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.
3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数
．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).
⑴求y与x的函数关系式；
(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？
(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
■巩固训练题
一、填空题
1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为 ，m = .
2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，1222
2
=-x x ，则=21x x .
3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .
4.以2与－6为根的一元二次方程是 .
5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.
6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 . 二、解答题
1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.
2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
■思维与能力提升
1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根？
2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且
132
22121=++x x x x ，(
)()
021
12
1
1=+++
x x x
x ，求q p +的值.
4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的 最小值.
■补充讲解
■反思与归纳
DS 金牌数学专题三
反比例函数
★知识点精讲
1.反比例函数
⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫 做 ，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质
0>k 0<k
反 比 例 函 数 图 象
性 质
两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而
两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而
⑶ k 的几何意义
=AOBP S 矩形_________.
=∆AOP S Rt __________.
3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点
⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．
①当 时，直线与双曲线有两个交点． ②当 时，直线与双曲线有一个交点．
y P(m,n) A
o
x
B
③当 时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用
① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合
典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1
232
)12(---=k k
x k y 的图像经过二、四象限.
⑴求k 的值.
⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.
拓展变式练习1
1.若反比例函数2
2)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值
是 .
2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，
（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数
，、为其图象上的两点，若
时，
，则的取值范围是___________.
1y 2y 3y x k y 2
2--=k 1y 2y 2
1
3y 1y 2y 3y
●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象相交于A 、B 两点.
（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当x 为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
拓展变式练习2
1. 如图，一次函数1
22
y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上
一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k
y k x
=>的图象于
Q ，32
OQC S ∆=，求k 的值和Q 点的坐标.
2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；
1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.
x y
O A P C Q
B
O
x
y
B
A D C 3.已知函数2
2
1y y y +
=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，4
37
=
y .求y 关于x 的函数关系式.
●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点
A 作A
B ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；
②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.
拓展变式练习3
1.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=∆ABO .
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；
（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.
2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．
3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y x
k 的图象上，且点A 、B•的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． （3）求△AOB 的面积．
O x
y
A C D
B
●例4 若一次函数12-=x y 和反比例函数x k y 2=的图象都经过点（1，1）．
⑴求反比例函数的解析式；
⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．
拓展变式练习4
1.已知反比例函数x k y 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数图像经过（a ，b ）（a ＋1，k b +）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；
（3）利用（2）的结论，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，所符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
2. C 、D 是双曲线x m
y =在第一象限内的点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于 A 、B 两点，设C 、D 坐标分别是(1x ，y 1)、(2x ，y 2)，连结OC 、OD.∠AOD=∠BOC=α，
作CE⊥y 轴 ，DF⊥x 轴，且31==OF DF
OE CE ，
10=OC . ⑴求C 、D 的坐标和m 的值.⑵求OCD S ∆.
⑶双曲线上是否存在一点P ，使得POD POC S S ∆∆= 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
3.已知双曲线()0163
>=x y x
，与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于点P 、Q ，连结OP 、OQ.
⑴求证：ΔOAQ≌ΔOBP
⑵若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA=a ，(0<a <1)，CD⊥AB 于D ，DE⊥OB 于E.①a 为何值时，CE=AC ？②在线段OA 上是否存在点C ，使点CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.
x
y
C
D
A B E
F O
A ． x y O
B ． x y O
C ．
x y O D ． x y O
■巩固训练题
一、选择题 1.函数x k y =
的图象经过点（－4，6），则下列各点中在x
k y =图象上的是（ ） A.（3，8） B.（3，－8） C.（－8，－3） D.（－4，－6） 2.已知反比例函数)0(<=
k x
k
y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）
A.正数
B.负数
C.非正数
D.不能确定 3.已知点P 是反比例函数()0≠=
k y x
k 的图像上任一点，过P•点分别作x 轴，
y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．±2 D．4
4.如图，已知函数k
y x
=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的
大致图象为（ ）
5.已知关于x 的函数()1-=x k y 和y=-k
x
(k ≠0),它们在同一坐标系内的图像
大致是下图中的( )
二、解答题
1.如图，正比例函数()0>=k kx y 与反比例函数
x
k y =
的
图象交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．
2.制作一种产品，需先将材料加热到60C ︒后，再进行操作，设刻材料温度为y C ︒，从开始加热计算的时间为x 分钟，据了解，该材料加热后，温度y 与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C ︒，加热5分钟后温度达到60C ︒. ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系；
⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C ︒时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？
3.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3-）， 点B 的坐标为（－6，0）.
（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；
（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数x y 36=的图像上，求a 的值；
（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）. ①当α=30时点B 恰好落在反比例函数x k y =的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.
y x
O
5
60
15
■思维与能力提升
1、如图，在直角坐标平面内，函数x m
y =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，
()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD 、DC 、CB ．
（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；
（2）求证：DC AB ∥；
（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．
2.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在()5.01，
C 处，两直角边分别与y x ，轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线29+=kx y 与双曲线
)0(>=m y x m
的交点．
（1）求m 和k 的值；
（2）设双曲线)0(>=m y x
m 在B A ,之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于N M ,两点，请
探究是否存在点P 使得AB MN 21=，写出你的探究过程和结论．
B A ，
y
O
N
M C
P
3.如图，已知直线AB 交两坐标于A 、B 两点，且OA=OB=1，点P （a 、b ）是双曲线x y 21=上在第一象内的点过点P 作PM⊥x 轴于M 、PN⊥y 轴于N ．两垂线与直线AB 交于E 、F ．
（1）写出点E 、F 的坐标（分别用a 或b 表示） （2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 表示）； （3）△AOF 与△BOE 是否相似？请说明理由；
（4）当P 在双曲线x y 21=上移动时，△OEF 随之变动，观察变化过程，△OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．
■补充讲解
■反思与归纳
DS 金牌数学专题四
直角三角形的边角关系㈠
★知识点精讲
1.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______tan =A ；锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cot =A .
2.坡比、坡角
①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做________，用字母i 表示，即
________=i ，坡面与水平面的夹角α叫________，即_______tan =α. ②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的_______和________的比称为坡度或坡比，坡度是坡角的_______，坡度______，坡面越陡. 3.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______sin =A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cos =A .
4.在ABC Rt ∆中，若︒=∠+∠90B A ，则A sin 与A cos 的关系是_______，由此可得()_______90sin =-︒A ，()_______90cos =-︒A .
典型例题讲解及思维拓展
● 例1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果125
tan =A ，且24=AC ，求：
⑴BC 和AB 的长；
⑵A sin 和A cos 的值.
拓展变式练习1
1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果135
tan =A ，且26=AC ，求：
⑴BC 和AB 的长； ⑵A sin 和A cos 的值.
2.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是BC 上的一点，34tan =∠ADC ，21tan =B ，
BD=5，求AD 的长.
3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 的中点，且BC=AC ，求CDA ∠tan 和DAC ∠sin 的值.
●例2.如图，某县为了增强防洪能力，加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝.要讲大坝加高1米，背水坡的坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，问大坝的横截面积增加了多少平方米？增加了多少立方米土方？
拓展变式练习2
1. 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度.
2. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度3:1
i，
斜坡CD的坡度为c，求斜坡AB的坡角(精确到'1），坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到1.0m)
3. 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，斜坡DC 的坡度为i 1，在其一侧加宽DF=7.75米，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，斜坡FE 的坡度为i 2(i 1<i 2).设路基的高DM=h 米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF 的面积为s 米2. (1)已知i 2=1:1.7，h=3米,求ME 的长.
(2)不同路段的i 1、i 2、、、h 是不同的，请你设计一个求面积S 的公式(用含i 1、i 2的代数式表示).
● 例3. 计算
︒+︒-︒
-︒︒30tan 345sin 260cos 45cos 30sin
拓展变式练习3 1.计算下列各题：
⑴()()2
1
2
1145sin 260tan 130sin 2-︒+︒---︒-； ⑵()21
2
321+-+÷
-x x x ，其中︒-︒=60cos 245sin 4x .
2. 在ABC ∆中，若(
)
0cos 1tan 2
2
3=-+-B A ，其中A ∠、B ∠均为锐角，
求C ∠的度数.
3. 已知31tan =α且α为锐角，求α
αα
αcos sin 2cos 2sin 3+-的值.
■巩固训练题
1.已知211
(sin )sin 22
αα-=-，则锐角α的取值范围是 .
2.在△ABC 中，90C ∠=︒且两直角边a b 、满足22560a ab b -+=，则
sin A = .
3.如图，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且4
tan 3
B =，A
C 上有一点E ，满足2:3AE EC =:，那么tan ADE ∠= .
二.解答题
1.如图，在四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC CDA ∠=∠=︒,2CD =，3BC =，求AB 的长.
2. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
(1) 如图 (1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.
(2)如图 (2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.
(3)如图 (3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转 △DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα 的值.
A B E F
C D 图 (1)
A B E F C
D 图 (2)
A B
() (F )
C D 图 (3) E
α
■ 思维与能力提升
在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c . ⑴若()A A 22
sin sin =，()A A 22
cos cos =，请根据三角形函数的定义证明：
①1cos sin 22=+A A ； ②B
B
B cos sin tan =.
⑵根据上面的两个结论解答：
①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值；
②若2tan =B ，求B B B
B sin cos 2sin cos 4+-的值.
■ 补充讲解
■反思与归纳
DS金牌数学专题五直角三角形的边角关系㈡
★知识点精讲
1.仰角、俯角：
①当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的角叫；
②当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的角叫.
2.方位角：指北或指南方向与_____________所成的夹角叫方位角.
典型例题讲解及思维拓展
●例1.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
拓展变式练习1
1.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30︒，B村的俯角为60︒（如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732
==
，）
Q
B C P
A
450 60︒
30︒
图7
2.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．
（计算结果精确到0.1米，参考数据．）
3.在数学活动课上，
九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°； （2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；
（3）量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）
23 1.732≈≈
60o
4.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离. 结果保留根号，参考数据：
4
2615sin -=
︒，
4
2615cos +=
︒，3215tan -=︒，
3215cot +=︒.
● 例2. 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60方
向上，港口D 在港口A 北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．
拓展变式练习2
1.根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.
（o o o sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）
2.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递， 途经A 、B 、C 、D 四地，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东
75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最后结果．．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）
A C
B
3.如图，A 、B 、C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A 、B 两个粮
仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的53
支援C
粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的52
支援C 粮仓，这时A 、B 两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=） （1）A 、B 两处粮仓原有存粮各多少吨？ （2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，
问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？ （3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．
■巩固训练题 一、选择题
1. 已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°
北
南 西
东
C
B A
26
2.如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900，∠Ａ＝300，Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）
32353A 53333
、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
3.已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，
40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）
A ．sin 40m
B ．cos 40m
C ．tan 40m
D ．
tan 40
m
4.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ） A ．
154
B ．1
4
C ．15
D ．４
5.已知α为锐角，则ααcos sin +=m 的值（ ） A ．1>m B ．1=m C ．1<m D ．1≥m
6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半 圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）
A ．43
B ．34
C ．4
5
D ．35
7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是（ ）
A.
2
1
B. 2
C. 55
D. 25
8.已知ABC ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（ ） A. 3
5
B. 45
C. 53
D. 34
9. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）
A ．4.5m
B ．4.6m
C ．6m
D ．8m
10.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水
塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）．
Ａ.250ｍ Ｂ．2503ｍ Ｃ．500
33
ｍ Ｄ．2502ｍ．
A O B
东
北
A D
B E 图6 i =1:
C 二.解答题
1. 如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里处，小岛C 位于港口O 北 偏西60°方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏西30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用一小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送.
⑴快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？
⑵快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
2. 如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅 直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）。