第二章 线性系统的数学描述(1)

df y f ( x ) f ( x0 ) dx
x0
1 d2 f x 2! dx 2
x 2
x0
当Δx很小时，可得
y f ( x) f ( x0 ) df dx x k x
x0
( y kx )
上式是A点处的切线方程。

采用平衡点 A处的切线方程代替非线性方程 y=f(x), 这 就是小偏差线性化的几何意义。
(2-9)
相似系统和相似变量

数学模型相同的各种物理系统称为相似系统；
在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称
为相似变量。

根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结
论可以推广到其相似系统中。

可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难
实现的系统。
弹簧阻尼系统
力F 质量m 粘滞摩擦系数f 弹簧系数k 线位移y 速度v
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为
di (t ) 1 L i (t ) dt Ri (t ) ui (t ) dt C duo (t ) i (t ) C dt
消去中间变量 i(t) ，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
(2-2)
(2-2)式也可以写为
d 2uo (t ) duo (t ) T1T2 T2 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
(2-3)
其中： T1 L R ， T2 RC 。

这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的 系统称为二阶线性定常系统。

例 2-2 ： 图 2-2 是一个由理想运算放大器组成的电容 ui (t ) 和uo (t )分别表示输入量和输出 负反馈电路 。电压 量，试确定这个电路的微分方程式。
机百度文库旋转系统
转矩T 转动惯量J 粘滞摩擦系数f 扭转系数k 角位移 角速度
RLC串联网络
电压u 电感L 电阻R 电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化

为什么要研究非线性方程的线性化问题？

系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。

分析和设计控制系统，首先要建立它的数
学模型。
2. 静态模型和动态模型

静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化缓慢，其 对时间的变化率（导数）可忽略不计时，这些变量间的关
系称为静态关系或静态特性，系统称为静态系统。相应的
数学模型称为静态模型。

静态模型中不含有变量对时间的导数。 动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化率不可忽 略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性，系
2006年度浙江省精品课程
自动控制原理
杭州电子科技大学
“自动控制原理”精品课程课题组 2009. 10
第二章 线性系统的数学描述
引言 2.1 2.2 2.3 2.4
线性系统的时域数学模型 传递函数 ——复数域数学模型 结构图 信号流图
引言
1. 数学模型的含义

数学模型：用数学的方法和形式表示和描 述系统中各变量间的关系。
2.2 传递函数-复数域数学模型
为什么要研究LTI系统的传函表示？ Laplace变换的回顾 传递函数的定义 建立LTI系统传递函数模型的两种途径：微分
方程、卷积公式
传递函数特点和有关概念
一、为什么要研究LTI系统的传函表示？
⑦
对于 t <τ，根据因果系统和零初始条件的约定有g(t-τ)=0, (t <τ), 所以有
c(t ) g (t )r ( )d
0 t
(2-10)
⑧
作变量代换，可得到卷积公式的另一种形式
c(t ) g ( )r (t )d
0 t
(2-11)

结论：(2-1)和(2-10)、(2-11)均为LTI系统的时域模型，且等 价。
b0r ( m) (t ) b1r ( m1) (t ) b2r ( m2) (t )
bm1r (t ) bmr (t ) (2-1)
式中 r(t)：系统的输入信号； c(t)：输出信号； ai(i=1,2,…n) 和 bj(j=0,1,…m) 是由系统的结构 参数决定的系数。
(2-6)
或写成
m d 2 y (t ) dy (t ) 1 y (t ) f (t ) 2 k dt k dt k
(2-7)
思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论

例2-4：图2-4表示一个单摆系统，输入量为零（不加 外力），输出量为摆幅 θ(t)。试建立系统的的运动方 程。
解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同，且输 入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有
ui (t ) 0 d (uo (t ) 0) C 0 R dt
整理后得
duo (t ) RC ui (t ) dt
(2-4)
或者为
T duo (t ) ui (t ) dt
(2-5)
式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统 的微分方程，这是一个一阶系统。
H : r (t ) c(t ),

c(t ) H [r (t )]
其中， c(t) 和 r(t) 是系统的输出和输入（已 知）。

辨识任务：确定算子 H （由系统本身的特性 决定）。

辨识方法：通过已知输入信号作用下系统的 响应，来确定任意输入信号作用下系统的响 应。
优点：零初始条件下，内部结构未知的 LTI 系统，可以通过测量系统的输入及响应的实 验数据，经过一定的处理求得其数学模型。

1、单位脉冲响应建模
①
脉冲函数的概念
A 1
A ,0 t r (t ) 0, t 0, t
r (t ) (t )
0
, t 0 (t ) lim (t ) 0 0, t 0

② ③ ④



统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型 。

控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学 模型。
3. 控制系统中常见的三类数学模型

输入输出描述，或外部描述
• 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。

微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。

状态空间描述或内部描述


若非线性函数具有两个自变量，如z=f(x,y)，则在平 衡点展成Talor级数后的线性方程为
f z x f x y y
x0 , y0
x0 , y0

经上述处理，有些非线性关系可以近似用线性关系 表示，简化问题研究。 对于强非线性情况（图 2-5(d) ），不可能对其进行 线性化处理，只能采用非线性理论来分析。（第八 章详细讨论）

复习回顾
控制系统的工程要求 控制系统的建模 机理分析法建立微分方程


输入输出 中间变量及机理分析
弱非线性方程的线性化处理 作业点评

1-4（6）线性时变
二、*实验辨识法建模——单位脉冲响应描述

实验辨识法：利用输入、输出的实验数据 建立系统数学模型的方法 辨识前提：系统是线性定常、零初始条件 （ t ＝ 0 时刻系统的响应及其各阶导数均为 零）。则有
0

⑤
则零初始条件下 LTI 系统在任一输入 r(t) 作用下的响应可近 似表示如下
c(t ) g (t )r ( )
0

⑥
如果脉冲宽度足够小，即ε=dτ，并将和式取为积分式，则有 如下卷积公式
c(t ) g (t )r ( )d
0
其中,τ是输入作用时刻，t是观测系统响应的时刻。
列写系统微分方程的步骤
① ② ③
划分不同环节，确定系统输入量和输出量；
写出各环节（元件）的运动方程；
消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变 量及其各阶导数的方程； 化为标准形式。
④

例2-1：图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试 列写以 ui (t )为输入量，以 uo (t )为输出量的网络微分方程。
几点说明：

控制系统中输出量和输入量通常都是时间的函数；

很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关
系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、
输入量及它们各自对时间的导数或积分；

控制系统的微分方程又称为动态方程或运动方程；

微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，
又称为系统的阶数。
2.
解
对于图2-4所示的单摆系统，根据牛顿运
d 2 d ml 2 l mg sin 0 dt dt
动定律可以直接推出如下系统运动方程
(2-8)
显然方程 (2-8) 是一个二阶的非线性微分方程，
但是在摆幅较小的情况下，单摆运动方程可
以认为是线性的
d 2 d ml l mg 0 2 dt dt
(t )dt 1



(t )dt 1
单位脉冲响应：零初始条件下的LTI在δ(t)作用下的输出; 即g(t)=H[δ(t)]。
如果输入信号为Aδ(t-τ) ，则系统脉冲响应为Ag(t-τ) ;
进一步将作用在系统上的任一分段连续函数用一系列长 方形常值脉冲信号叠加，即
r (t ) r ( ) (t )
不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统


图形化表示：用比较直观的结构图（方块图）和信 号流图进行描述。

注：同一系统的数学模型可以表示为不同的形式， 需要根据不同的情况对这些模型进行选择使用。
求解 线性微分方程 观察
时间响应
拉氏反变换
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换
传递函数
S=jω 频率特性 计算 频率响应
估算
估算
本章将重点讨论以下几类控制系统模型

微分方程 传递函数 方块图（结构图） 信号流图
单位脉冲响应

2.1 线性系统的时域数学模型
目的：从时间域角度，建立系统输入量
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能 具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。
•
•
数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。
由数学模型确定系统性能的主要途径
（给定值）和系统输出量（被控变量）之 间的关系。
两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应
描述。
一．
线性系统的微分方程描述（机理建模法）
SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式
an1c(t ) anc(t )
1.
c( n) (t ) a1c( n1) (t ) a2c( n2) (t )
4. 建立数学模型的两种基本方法

机理分析法： 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学
规律列写出相应的数学关系式，建立模型。

适用于比较简单的系统

实验辨识法：
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法 也称为系统辨识。

适用于复杂系统
5. 数学模型的概括性


输出
输出
O
输入
O
输入
(a) 饱和 输出
(b) 死区 输出
O
输入
O
输入
(c) 间隙
(d) 继电
图2-5 非线性特性
1、对弱非线性的线性化

对于 2-5(a) ，当输入信号很小时，忽略非线 性影响，近似为放大特性； 对于2-5(b)、(c)，当死区或间隙很小时，也 可近似为放大特性。

2、平衡位置的小偏差线性化 考虑输入、输出变量之间的非线性关系 y=f(x),系统经 常工作在平衡点A(x0,y0)处，则A点附近的输入、输出 关系可用Talor级数展开的方法得到，即

例2-3: 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器 的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。
解 根据牛顿运动定律，系统的运动方程为
d 2 y (t ) dy (t ) m ky (t ) f (t ) 2 dt dt