概率论与高等数学的关系

概率论与高等数学的关系
摘要:概率论和高等数学是数学领域的两大分支，高等数学是基础，它在概率论的基本定义
中起到了非常重要的作用，其积分思想，极限思想在概率论中的概率密度，随机变量的分布以及大数定理中得到了充分展现。

而概率论是高等数学进一步的延伸和拓展，运用概率论的解题思路和方法能够轻松解决高等数学中的某些难题。

关键词： 概率论思想 积分思想 极限思想 级数 应用
The relationship between probability theory and higher mathematics
Abstract: the probability theory and mathematics are the two branch of mathematics,
mathematics is the foundation, it is the basic definition of probability theory which plays a very important role, the thought of integral, probability density limit thought in probability theory, random variables and large number theorem have been fully demonstrated. While the probability of higher mathematics is to extend and expand further, the thinking and method of probability theory can easily solve some problems in higher mathematics problems.
Keywords :The thought of probability theory The integral thought Limit thought Series Application
1 高等数学思想在概率论定义
中的应用
1.1 积分思想在概率论定义中的应用 下面我们通过积分思想在概率密度中的
定义进行说明
定义：若对随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负函数f （x ），使对于任意实数x 有 F
（
x ）=
⎰
∞
-x
x
t f d )(，
（1） 则称X 为连续型随机变量，其中f （x ）称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(Density function)。

由（1）式知道连续型随机变量X 的分布函数F （x ）是连续函数.即其是通过在函数上积分得出来的， 由分布函数的性质F =0，F （+
∞）=1及
F （x ）单调不减，知F （x ）是一条位于直线y =0与y =1之间的单调不减的连续（但不一定光滑）曲线，且具有以下性质：
1°f (x )≥0；
2°
⎰
+∞
∞
-x x f d )(=1；
3°P {x 1＜X ≤x 2}=F (x 2)
F (x 1)=
⎰
2
1
d )(x x x x f (x 1≤x 2)；
4°若f (x )在x 点处连续，则有F ′
(x )=f (x ). 由2°知道，介于曲线y =f （x ）与y =0之间的面积为1.由3°知道，X 落在区间间（x 1，x 2］的概率P {x 1＜X ≤x 2}等于区（x 1，x 2］上曲线y =f （x ）之下的曲边梯形面积.由4°知道，f （x ）的
连续点x 处有 f(x)=
.
}{)()(lim lim
00x x x X x P x x F x x F x x ∆∆+≤<=∆-∆++
+
→∆→∆
积分思想的应用实例： 设随机变量X 具有密度函数
f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.
,
0,43,
22,30,
其他x x x kx （1） 确定常数k ；（2） 求X 的分布函数F
（x ）；（3） 求P {1<X ≤72
}.
解 （1）由⎰
∞
∞
-x x f d )(=1,得
x x
x kx d )22(d 433
0⎰⎰-+=1,解
得k =1/6,故X 的密度函数为
f (x )=⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤.
,0,43,
22,30,6其他x x x x
(2) 当x <0时，F （x ）=P {X ≤
x }=
⎰
∞
-x
t t f d )( =0;
当0≤x <3时，F （x ）=P {X ≤
x }=
⎰
∞
-x
t t f d )(=
⎰
⎰∞
-+0
d )(d )(x
t t f t t f =
12d 62
0x t t x
=⎰;
当3≤x <4时，F （x ）=P {X ≤
x }=
⎰
∞
-x
t
t f d )(=
30
3
()()()x f t dt f t dt f t dt -∞
++⎰
⎰⎰
=
2
3
3(2)23;624
x t t x dt dt x +-=-+-⎰
⎰
当x ≥4时，F （x ）=P {X ≤
x }=⎰∞-x
t t f d )(=⎰⎰⎰⎰∞
-+++030
43
4
d )(d )(d )(d )(x
t
t f t t f t t f t t f
=t t
t t d )2
2(d 6433
0⎰⎰-+ =1. 即F （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<.
4,1,43,324,
30,12
,0,02
2
x x x x x x x
(3) P {1<X ≤7/2}=F （
7/2
F (1)=41/48.
1.2 极限思想在概率论定义中的应用
大数定律中的极限思想：
伯努利大数定律：设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有
lim 1n n P p n με→∞
⎛⎫
-<=
⎪⎝⎭
（5）
此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。

也就是说，当N 趋于无限大的时候，随机事件的频率近似于它的概率。

很显然，这正是极限
的思想。

2 概率论思想在解决高等数学问题中的应用
极限、积分、级数是高等数学中的重要内容，而这些内容也是后续课程复变函数、概率论与数理统计等学习的基础。

高等数学中经常会遇到求极限求积分，判断级数的敛散性及级数求和的问题，这些问题同样可以运用概率论中的知识求解。

2.1 概率思想在极限中的应用
极限是研究高等数学的基础，所以也是学习微分、积分的基础，有关极限 的计算尤为重要。

在高等数学中曾探讨过许多有关极限的求法，比如定义法，等价无穷小量代换法，泰勒公式法等等用于解决一些比较简单的极限问题。

对于某些特殊的极限问题，可以寻找特殊的解法，用一种全新的思想审视极限问题-把概率方法应用到极限的求法中会有意想不到的效果。

在学习过的概率论中，随机变量是贯穿始终的知识点。

随机变量分为两种，一种是离散型的随机变量，它们的分布列有代表的是0-1分布、二项分布、泊松分布、几何分布，此种分布列具有正则性，即
1
()1i
i p x ∞
==∑，可以利用它的这种性质来解
决一些极限问题。

例如我们可以利用离散型随机变量的正则性求极限 详细例子如： 设
3111
1
[1]2!3!
!
n n a e n n -+=
++++
，求lim n n a →∞
解 这是一个求数列极限较复杂的问题，首先把n a 写成,n n b c 两个数列的积。

令
n b =
1
n n
+，n c =3111
[1]2!3!!e n -+
+++，而n c =21111[1]2!3!
!
e e n --+
+++
现在构造概率模型，设随机变量X 服从λ=1的泊松分布
由离散型随机变量的概率分布列的正则性即
1
()1i
i p x ∞
==∑，那么，
1
011!
k e k ∞
-==∑ 所以lim n n c →∞
=2e - lim
n →∞
1
1
1
!k e k ∞
-=∑=21
(1)e e ---，
lim n →∞n b =
1
n n
+=1 所以，lim lim n n n n a b →∞
→∞
=lim n n c →∞
⋅21(1)e e --=-
我们所举得例子中用到了泊松分布，泊松分布是离散型随机变量分布中的一个重要分布，利用它的一些性质以及中心极限定理来处理一些非常复杂的极限计算问题，可使计算的难度大大减小，提高解题效率。

2.2 概率思想在级数中的应用
级数也是高等数学中的一个难点，数项级数的问题一般包含两个：判断级数的敛散性 ；求收敛级数的和。

如果把概率的思想运用到级数中，级数是无穷多项序列的和，那么要用到离散型的随机变量的特殊分布
及一些性质。

2.2.1利用概率论知识去判断级数的敛散
性
例如：判断级数21
22[ln(1)]!k
n k k ∞
=++∑的敛散
性.
解 对于级数21
2
ln(1)k k ∞
=+∑，当k →∞时
有, 22
22
ln(1)~k k + 故
222
2lim lim ln(1)
k k k k u k k →∞
→∞
=⋅+
222lim k k k →∞=20=>
由极限审敛法知，
2
1
2
ln(1)k k ∞
=+
∑收敛. 对于级数12!
k
k k ∞
=∑,若用纯高等数学中的方法,
也很容易判断它是收敛的， 由正项级数的达朗贝尔判别法知：
112!lim (1)!2k k k k k
u k u k ++→∞=⨯+ 2
lim
011
k k →∞==<+
现在用概率的方法判断级数12!
k
k k ∞
=∑的敛散
性，不仅能判断出它是收敛的，还能计算出它的值。

因为级数2
02!
k k e k ∞
-=∑是泊松分布和，故可知
2
021!
k k e k ∞-==∑，因此，202!
k
k e k ∞
==∑，2121!
k
k e k ∞
==-∑ 所以显然级数
1
2
!k
k k ∞=∑是收敛的，故原级数21
22[ln(1)]!k
k k k ∞
=++∑是收敛的. 级数的求和问题是高等数学中的一大难点，因为有些级数序列即使发现了它的规
律，但是仍找不到正确的方法求和，这使很多学生在做这一类题目中陷入困境。

有一种方法即构造概率模型法可以轻松应付这类题。

2.2.2 构造古典概率模型求级数的和
例如： 求无穷级数
222222
22
11111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1
33434534+-+--++-
-的和
解 创造概率背景：现有一个黑暗的箱子，箱子里放有大小型号完全相同的黑、白、红三个颜色的小球。

有放回地让一个学生取球两次。

如果两次取的都是红球，那么他将获奖，活动结束，否则他将受到惩罚。

这时，再向箱中加一个白球，再次让此生有放回地摸球两次，若都是红球，则活动结束，否则受到惩罚，并向箱中再加一白球，如此循环至无穷，求此生获奖的概率。

这时就把级数
求和题转换成了求概率的应用题。

如果该生第一次就获奖，那么获奖的概率12
111
333p =
⨯= 如果该生第一次没获奖，第二次获了奖，那么他获奖的概率222
11(1)34p =-
⨯ 若该生前两次连续受到惩罚，第三次获奖的概率3222111
(1)(1)345
p =-
-那么该生获奖的概率为
222222
2
1
111111
1
(1)(1)(1)(1)(13343453k k p +∞
==
+-+--++-
-∑
这恰好是要求的级数的和。

在每次不同的试验中，该生没获奖的概率分别为：2113-
，2
1
14-，，2
1
1n -
，
则没有一次获奖的概率为：
222111
(1)(1)
(1)
34n
---
22211
1
lim[(1)(1)(1)]34n n
→∞---
2222223141
1
lim()34n n n
→∞---=⋅ =222
(24)(35)(1)(1)lim 34n n n n →∞⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⋅⨯ =2222
234(1)lim 34n n n n →∞⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ =22
23(1)
lim 3n n n n →∞⨯⨯⨯+⨯
=2(1)
lim 3n n n →∞+
=
23
因为没有一次获奖的概率为
23
，所以获奖的概率为
1
3
.所以无穷级数的和为222222
222211*********(1)(1)(1)(1)(1)(1)33434534(1)3
n n +-+--++---+=
+
随机变量的另一种形式是连续型的，代表性分布有正态分布、指数分布、均匀分布。

连续型随机变量密度函数的正则性
()1p x +∞
-∞
=⎰
，期望公式
()()()E X xp x d x +∞
-∞
=⎰
，及方差公式
2()(())()()Var X x E X p x d x +∞
-∞
=-⎰。

观
察上式三个公式都含有积分号，这就把概率的知识与积分巧妙联系在一起。

2.3 概率思想在积分中的应用
由概率论中的连续性随机变量的密度函
数的正则性即
()1p x dx +∞
-∞
=⎰
，随机变
量的数字特征，期望和方差都与积分有着密切的联系，二者相互补充，相互渗透。

因此可以借助于随机变量的这些特点求某些积分的计算。

我们将通过讨论如何利用连续型随机变量的正则性求积分来说明 例如：求积分
20
32
x
e dx +∞
-⎰
的值 解 从此积分形式上看出,接近指数函数，可
以把它的形式转化成20
324x
e dx +∞-⎰,再利用
正则性去处理.
设X 是随机变量，且服从参数为2的指数分布。

那么由正则性知
20
324x
e dx +∞-⎰=33144⨯=，所以2032x
e dx +∞
-⎰=34. 此题中的定积分也可以用简单的换元法得出结果,所以显示不出利用概率方法的优越性。

但还有一些定积分形式非常复杂,用纯高等数学的方法就不能得心应手,这时可以考虑用某个分布的期望与方差来解决，经常用到的是正态分布。

3 总结
概率论和高等数学是数学的两个分支，它们之间有本质的区别也有密切的联系。

在
学习概率论时，高等数学是基础。

概率论学完后又反过来补充高等数学。

本文给出了概率思想在解决极限、积分和级数中的应用,
可以看出概率论的知识点与高等数学的知
识点融合在一起,的确能为计算带来简洁。

概率思想在解决极限、积分、级数问题时，总是利用这些问题构造概率模型，使问题落在某一个分布或某一事件上，再利用这些分布的性质或事件的属性完成对问题的解决。

在学习中应多挖掘它们内在的联系，体会数学的博大精深。

4 [参考文献]
[1]峁诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004年7月.1-459.
[1] Mao poem song, Cheng Ming, Pu Xiao Long. Probability theory and mathematical statistics [M]. Beijing: Higher Education Press, 2004 July.1-459.
[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2001年10月.1-354. [2] of the Tongji University Department of Applied Mathematics. Mathematics [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001 October.1-354.
[3]熊丹.例谈概率论在积分计算中的其巧妙应用[J].科技信息,2007年第9期:142-142.
[3]Xiong Dan on probability theory in the calculation of the ingenious application of [J]. science and technology information, 2007 ninth period: 142-142.
[4]卓泽强，魏文玲，李小龙。

概率思想在高等数学计算中的应用研究[J].科技资
[4] Zhuo Zeqiang, Wei Wenling, Bruce Lee. The idea of probability calculation of Higher Mathematics in the application research of [J]. technology.
讯,2010年第20期:196-197.
News, 2010 twentieth period: 196-197.
[5]张志民,陈书琴.概率方法在数学分析中的应用[N].周口师专学报,1991年3月第11卷第1期:44-48.
[5] Zhang Zhimin, Chen Shuqin. Journal of probabilistic methods in mathematical analysis and application [N]. Zhoukou Teachers College, 1991 March eleventh volume first issue: 44-48.。