概率论与高等数学的关系

概率论与高等数学的关系

摘要:概率论和高等数学是数学领域的两大分支，高等数学是基础，它在概率论的基本定义

中起到了非常重要的作用，其积分思想，极限思想在概率论中的概率密度，随机变量的分布以及大数定理中得到了充分展现。而概率论是高等数学进一步的延伸和拓展，运用概率论的解题思路和方法能够轻松解决高等数学中的某些难题。

关键词： 概率论思想 积分思想 极限思想 级数 应用

The relationship between probability theory and higher mathematics

Abstract: the probability theory and mathematics are the two branch of mathematics,

mathematics is the foundation, it is the basic definition of probability theory which plays a very important role, the thought of integral, probability density limit thought in probability theory, random variables and large number theorem have been fully demonstrated. While the probability of higher mathematics is to extend and expand further, the thinking and method of probability theory can easily solve some problems in higher mathematics problems.

Keywords :The thought of probability theory The integral thought Limit thought Series Application

1 高等数学思想在概率论定义

中的应用

1.1 积分思想在概率论定义中的应用 下面我们通过积分思想在概率密度中的

定义进行说明

定义：若对随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负函数f （x ），使对于任意实数x 有 F

（

x ）=

⎰

∞

-x

x

t f d )(，

（1） 则称X 为连续型随机变量，其中f （x ）称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(Density function)。由（1）式知道连续型随机变量X 的分布函数F （x ）是连续函数.即其是通过在函数上积分得出来的， 由分布函数的性质F =0，F （+

∞）=1及

F （x ）单调不减，知F （x ）是一条位于直线y =0与y =1之间的单调不减的连续（但不一定光滑）曲线，且具有以下性质：

1°f (x )≥0；

2°

⎰

+∞

∞

-x x f d )(=1；

3°P {x 1＜X ≤x 2}=F (x 2)

F (x 1)=

⎰

2

1

d )(x x x x f (x 1≤x 2)；

4°若f (x )在x 点处连续，则有F ′

(x )=f (x ). 由2°知道，介于曲线y =f （x ）与y =0之间的面积为1.由3°知道，X 落在区间间（x 1，x 2］的概率P {x 1＜X ≤x 2}等于区（x 1，x 2］上曲线y =f （x ）之下的曲边梯形面积.由4°知道，f （x ）的

连续点x 处有 f(x)=

.

}{)()(lim lim

00x x x X x P x x F x x F x x ∆∆+≤<=∆-∆++

+

→∆→∆

积分思想的应用实例： 设随机变量X 具有密度函数

f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.

,

0,43,

22,30,

其他x x x kx （1） 确定常数k ；（2） 求X 的分布函数F

（x ）；（3） 求P {1

}.

解 （1）由⎰

∞

∞

-x x f d )(=1,得

x x

x kx d )22(d 433

0⎰⎰-+=1,解

得k =1/6,故X 的密度函数为

f (x )=⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤.

,0,43,

22,30,6其他x x x x

(2) 当x <0时，F （x ）=P {X ≤

x }=

⎰

∞

-x

t t f d )( =0;

当0≤x <3时，F （x ）=P {X ≤

x }=

⎰

∞

-x

t t f d )(=

⎰

⎰∞

-+0

d )(d )(x

t t f t t f =

12d 62

0x t t x

=⎰;

当3≤x <4时，F （x ）=P {X ≤

x }=

⎰

∞

-x

t

t f d )(=

30

3

()()()x f t dt f t dt f t dt -∞

++⎰

⎰⎰

=

2

3

3(2)23;624

x t t x dt dt x +-=-+-⎰

⎰

当x ≥4时，F （x ）=P {X ≤

x }=⎰∞-x

t t f d )(=⎰⎰⎰⎰∞

-+++030

43

4

d )(d )(d )(d )(x

t

t f t t f t t f t t f

=t t

t t d )2

2(d 6433

0⎰⎰-+ =1. 即F （x ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<.

4,1,43,324,

30,12

,0,02

2

x x x x x x x

(3) P {1

7/2

F (1)=41/48.

1.2 极限思想在概率论定义中的应用

大数定律中的极限思想：

伯努利大数定律：设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0，有

lim 1n n P p n με→∞

⎛⎫

-<=

⎪⎝⎭

（5）

此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。也就是说，当N 趋于无限大的时候，随机事件的频率近似于它的概率。很显然，这正是极限