3-4泰勒公式

(Advanced Mathematics)
五、函数图形的描绘
利用函数特性描绘函数图形. 利用函数特性描绘函数图形 确定函数的定义域、值域、间断点 确定函数的定义域、值域、间断点, 判定 函数是否有奇偶性、周期性. 函数是否有奇偶性、周期性 讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性 讨论函数的单调性和极值 曲线的凹凸性 和拐点, 渐近线. 和拐点 渐近线 适当计算曲线上一些点的坐标, 适当计算曲线上一些点的坐标 特别注意 是否与坐标轴有交点. 是否与坐标轴有交点
Pn ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) 2 + ⋯ + a n ( x − x0 ) n≈ f ( x )
需要解决的问题
{
如何提高精度 ?
问题 (1) 系数怎么定 系数怎么定?
(2) 误差 如何估计 表达式是什么 误差(如何估计 表达式是什么? 如何估计)表达式是什么
ξ = x0 + θ ( x − x0 ) (0 < θ < 1),
麦克劳林( 麦克劳林(Maclaurin)公式 )
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)! 带有拉格朗日型余项
x → x0
x → x0
2. 水平渐近线
x → +∞
(平行于 轴的渐近线 平行于x轴的渐近线) 平行于 轴的渐近线
x → −∞
为常数) 为常数 如果 lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b(b为常数) 水平渐近线. 那么 y = b就是 y = f ( x ) 的一条 水平渐近线 如 y = arctan x ,
假设
Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 )
⋯ + an ( x − x0 ) n
0
k = 0,1,2,⋯, n
Pn ( x ) = a0 + a1 ( x0 x0 ) + a 2 ( x 0 x0 ) 2 + − − 0
∵P ( x0 ) = a0 , 又Pn ( x0 ) = f ( x0 ), ∴a0 = f ( x0 ), n ∵P′( x0 ) = a1 , 又Pn ( x0 ) = f ′( x0 ), ∴1⋅ a1 = f ′( x0 ), ′ n
用多项式近似表示函数 回想微分
多项式函数
简单的 熟悉的函数来近似代替复杂函数 的函数来近似代替复杂函数. 简单的, 熟悉的函数来近似代替复杂函数
若f ′( x0 )存在, 在x0附近有
∆y ≈ f ′( x0 )∆x
记 x = x0 + ∆x
f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ≈ f ′( x 0 ) ∆ x
⋯ +f
( n)
( x0 ) ( x − x0 )n n!
2!
f ′′( x0 ) P ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + n 2! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n ⋯ + n!
称为f(x)的 泰勒多项式 的 泰勒多项式. 称为 下面将证明确实可以用 泰勒多项式来逼近 函数 f ( x ),并估计它的误差 并估计它的误差.
令 f ′′( x ) = 0, 得x = −3.
4( x + 1) lim f ( x ) = lim[ − 2] = −2, 水平渐近线 y = −2; 2 x →∞ x →∞ x
4( x + 1) lim f ( x ) = lim[ − 2] = ∞ , 垂直渐近线 x = 0. 2 x →0 x →0 x x = − 3 x = −2 无斜渐近线. 无斜渐近线
f ′′( x0 ) P ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + n 2! n f (n) ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) k ⋯ + ( x − x0 )n = ∑ ( x − x0 ) k! n! k =0
f ( 称为 ( x)按 x − x0 )的幂展开的 n次近似多项式 . n f ( k ) ( x0 ) f ( x) = ∑ ( x − x0 ) k + Rn ( x ) k! k =0
注 1. 当n = 0时,泰勒公式就是拉格朗日中值公式 时 泰勒公式就是拉格朗日中值公式.
2. 在泰勒公式中 若x0 = 0, 则ξ介于0, x之间, 故 在泰勒公式中, ξ可表为 ξ = θx (0 < θ < 1), 这时的泰勒公式 即 这时的泰勒公式,即 的幂(在零点 展开的泰勒公式称为: 按x的幂 在零点 展开的泰勒公式称为 的幂 在零点)展开的泰勒公式称为 麦克劳林( 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式 英 公式
f ′′( x0 ) 0 ′( x0 )( x − x0 ) + f ( x) = f ( x0 ) + f 0 ( x − x0 )2 0 0 0 2! 0 f (n) ( x0 ) f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n + ( x − x0 )n+1 +⋯+ 0 0 n! (n + 1)! (ξ在x0与x之间 ). n阶泰勒公式 阶泰勒公式
x → +∞
lim arctan x =
π
2
π
2
x → −∞
lim arctan x = −
π
2 .
π
2
水平渐近线: 水平渐近线: y =
, y=−
作图举例
4( x + 1) 例 作函数 f ( x ) = − 2 的图形 . 2 x 解 D = { x | x ≠ 0}, 非奇非偶函数 非奇非偶函数, 4( x + 2) f ′( x ) = − , f ′′( x ) = 8( x + 3) . x3 x4 令 f ′( x ) = 0, 得驻点 x = −2,
4( x + 1) f ( x) = −2 2 x
f ′( x ) = −
4( x + 2) x3
8( x + 3) f ′′( x ) = x4
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点 列表确定函数单调区间 凹凸区间及极值点和拐点: 凹凸区间及极值点和拐点
x ( −∞ ,−3) − 3 ( −3,−2) − 2 (−2,0) −
f ′( x )
f ′′( x ) f ( x)
0
不存在
(0,+∞ )
− −
0
拐点
(−3,− 26 ) 9
− +
0
+ +
− +
极小值
−3
间 断 点
x
4( x + 1) ′ f ( x) = − 2 f ( x) x2 f ′′( x )
( −∞ ,−3) − 3 ( −3,−2) − 2 (−2,0) −
渐近线
定义 当曲线 y = f ( x )上的一动点 P沿着曲线 移向无穷点时 , 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零 , 那么直线 L 就称为曲线 y = f ( x ) 的 一条渐近线. 一条渐近线. (垂直于 轴的渐近线 垂直于x轴的渐近线) 1.垂 1.垂直渐近线 (垂直于x轴的渐近线)
当对余项要求不高时, 可用皮亚诺型 当对余项要求不高时 可用皮亚诺型余项 皮亚诺
f (k ) ( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] ∴ f ( x) = ∑ k! k=0 带有皮亚诺型 带有皮亚诺型余项 称为 ( x)按 x − x0 )的幂展开的 f (
n
. 的n阶泰勒公式
Pn ( x ) ≈ f ( x ), Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ).
2.泰勒(Taylor)中值定理 .泰勒 中值定理 泰勒( 泰勒(Taylor)中值定理 )
若 f ( x ) 在( x0 ∈) ( a , b )内有 ( n + 1) 阶导数 ,
则当 x ∈ (a , b )时, f ( x )可表为( x − x0 )的一个 n次
一次多项式
f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
f (x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )+ o( x − x0 )
当x → x0时,其误差是比( x − x0 )高阶的无穷小 .
以直代曲
. 如下图） 如 当 | x | 很小时 , e x ≈ 1 + x , ln(1 + x ) ≈ x（如下图）
如果 lim + f ( x ) = ∞ 或 lim − f ( x ) = ∞
那么 x = x0就是y = f ( x ) 的一条 垂直渐近线 垂直渐近线. 1 1 , lim =∞ 如 y= ( x + 2)( x − 3) x → −2 ( x + 2)( x − 3) 1 = ∞ 垂直渐近线: x = −2, x = 3. lim 垂直渐近线: x → 3 ( x + 2 )( x − 3 )
− 3 − 2 − 1O
•
•
•
•
•
1
2
x
•−2 • −3
泰勒(Taylor) 公式 第四节 泰勒
泰勒(Taylor)（英）1685-1731 （ 泰勒
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、其它应用
麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746) 英 麦克劳林
一、泰勒公式的建立
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 ≤ M | x − x0 |n+1 ( n + 1)! (n + 1)! Rn ( x ) 及 lim n = 0 x → x0 ( x − x ) 0 皮亚诺型 即Rn( x) = o[( x − x0 )n ]. 皮亚诺型余项
近似公式
( n) ′′(0) 2 f f (0) n x +⋯+ x f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x + 2! n!
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x 2! n! + o( xn ) 带有皮亚诺 皮亚诺型 带有皮亚诺型余项
称为 ( x)按 x − x0 )的幂展开的n阶泰勒公式 f ( . f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 )
(n + 1)!
拉格朗日型余项
若x ∈ (a , b )时, | f
( n+1)
( x ) |< M
皮亚诺( 皮亚诺(Peano,G.(意) ( 1858-1932) )
同理 1⋅ 2⋅ a2 = f ′′( x0 ) ⋯ ⋯, n!⋅an = f (n) ( x0 ) 1 (k ) 得 ak = f ( x0 ) (k = 0,1,2,⋯, n) 代入 Pn ( x )中得 k! f ′′( x0 ) P (x) = f ( x0 )+ f ′( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x0 )2 n
二、几个初等函数的麦克劳林公式 (0 < θ < 1) x +
例 求f ( x ) = e x的n阶麦克劳林公式. 麦克劳林公式.
0Baidu Nhomakorabea
不存在
水平渐近线: 水平渐近线:
− −
0
拐点
+
−
0
极小值
+
( 0,+∞ )
+
y
间 断 点
−
+
y = − 2,
f ( x)
垂直渐近线: 垂直渐近线: x = 0. 极小值 f (−2) = −3 拐点 (−3,− 补充点
26 ) 9
作图
•6
•1
(1 − 3 ,0), (1 + 3 ,0), ( −1,−2), (1,6), ( 2,1).
y y
y=e
x
y= x
y = ln(1 + x)
y = 1+ x
O
x
O
x
一次多项式
f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) ≈ f (x)
不足: 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计 精确度不高； 误差不能定量的估计.
如何估计误差 ? 希望 在x0附近 用适当的高次多项式 用适当的高次多项式
多项式 与一个余项 Rn ( x )之和 :
f ( n+1) (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 (ξ在x0与x之间). 其中 ( n + 1)!
f ′′( x0 ) f (x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + Rn (x) +⋯+ n!